专题1 代数推理-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练

参考答案与重难题解析·数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 二轮专题培优练 1　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 专题一　 代数推理 1. C　 【解析】A. 8 的因数有:1,2,4,8;1+2+4 = 7,8 不是“完 美数”,故 A 错误;B. 18 的因数有:1,2,3,6,9,18;1+2+3+ 6+9 = 21,18 不是“完美数”,故 B 错误;C. 28 的因数有:1, 2,4,7,14,28;1+2+4+7+14 = 28,28 是“完美数”,故 C 正 确;D. 32 的因数有:1,2,4,8,16,32,1+2+4+8+16 = 31,32 不是“完美数”,故 D 错误. 2. C　 【解析】∵ a-b+1 = 0,∴ b=a+1,∵ 0<a+b+1<1,∴ 0<a+ a+1+1<1,即 0<2a+2<1,∴ -1<a<- 1 2 ,故选项 A 错误. ∵ b=a+1,-1<a<- 1 2 ,∴ 0<b< 1 2 ,故选项 B 错误. 由-1<a< - 1 2 得,-4<4a<-2,由 0<b< 1 2 得,0<4b<2,∴ -2<2a+4b< 1,故选项 C 正确,选项 D 错误. 3. D　 【解析】A. 左上角的数字为 a-1,不正确;B. 左下角的 数字为 a+6,不正确;C. 右下角的数字为 a+7,不正确;D. 方框中 4 个位置的数相加 = a+a- 1+a+ 6+a+ 7 = 4a+ 12 = 4(a+3),结果是 4 的倍数,正确. 4. -2　 【解析】∵ -1,-2,-3,-4 每个数字在每一行、每一列 和每一宫中都只出现一次,∴ 第一列中间两个只能是-1, -3,∵ 在第二行已经出现- 3,∴ 第一列第二行只能填- 1, ∴ 第一列第三行填-3. ∵ 第四行中间两个只能填- 2,- 3, ∵ -3 在第二列已经出现,∴ 第四行第二列只能填-2,∴ 第 四行第三列填- 3. ∵ 第二列的两个空格只能填- 1,- 4, ∵ -4 在第三行已经出现,∴ 第三行第二列只能填-1,∴ 第 一行第二列只能填-4. ∵ 第三列两个空格只能填- 2,- 1, ∵ -2 在第一行已经出现,∴ 第三列第一行只能填-1,∴ A 处填-2. 5. 9,144　 【解析】当 n= 2 时,只有{1,2}一种取法,则 k = 1; 当 n= 3 时,有{1,3}和{2,3}两种取法,则 k = 2;当 n = 4 时,有{1,4},{2,4},{3,4},{2,3}四种取法,则 k= 3+1 = 4 = 4 2 4 ;故当 n = 5 时,有{1,5},{2,5},{3,5},{4,5},{2, 4},{3,4}六种取法,则 k = 4+2 = 6;当 n = 6 时,有{1,6}, {2,6},{3,6},{4,6},{5,6},{2,5},{3,5},{4,5},{3,4} 九种取法,则 k= 5+3+1 = 9 = 6 2 4 ;依次类推,当 n 为偶数时, k= (n-1)+(n-3)+…+5+3+1 = n 2 4 ,故当 n = 24 时,k = 23+ 21+19+…+5+3+1 = 24 2 4 = 144. 6. B　 【解析】对于①:整式串 1:m,m+ 1 2 n,m+n,有 21 +2-1 = 3(个);整式串 2:m,m+ 1 4 n,m+ 1 2 n,m+ 3 4 n,m+n;m+ 1 4 n =m+ 1 22 n,m+ 1 2 n=m+ 2 22 n,m+ 3 4 n =m+ 3 22 n,共有 22 +2-1 = 5(个);整式串 3:m,m+ 1 8 n,m+ 2 8 n,m+ 3 8 n,m+ 4 8 n,m+ 5 8 n,m+ 6 8 n,m+ 7 8 n,m+n;共有 23 +2-1 = 9(个),由此得 到整式串 4,有 24 +2-1 = 17(个)整式,故①正确. 对于②: 根据规律,得到整式串 9 从左往右第 2 个整式是 m+ 1 29 n, 整式串 10 从左往右第 2 个整式是 m+ 1 210 n. 它们的差为(m + 1 29 n)-(m+ 1 210 n)= 1 29 n- 1 210 n= 1 210 n. 故②错误.对于③:根据 题意,整式串 1:m,m+ 1 2 n,m+n 的和为(21 + 1)m+ 2 1 +1 2 n, 对于整式串 2:m,m+ 1 4 n=m+ 1 22 n,m+ 1 2 n =m+ 2 22 n,m+ 3 4 n=m+ 3 22 n,m+n 的和为(22 +1)m+2 2 +1 2 n,整式串 3:m,m+ 1 8 n,m+ 2 8 n,m+ 3 8 n,m+ 4 8 n,m+ 5 8 n,m+ 6 8 n,m+ 7 8 n,m+n 的和为(23 +1)m+2 3 +1 2 n. 由此得到,经过 2 024 次操作后, 整式串 2 024 的和为(22 024 +1)m+2 2 024 +1 2 n. 故③正确. 7. (1)解:∵ 1 a + 1 b = 2 a-b , ∴ a +b ab = 2 a-b , ∴ (a+b)(a-b)= 2ab, 即 a2 -b2 = 2ab, ∴ ab a2 -b2 = 1 2 ; (2)证明:∵ a2 -b2 = 2ab, ∴ a 2 b2 -1 = 2a b , ∴ a 2 b2 -2a b +1 = 2, ∴ (1- a b ) 2 = 2. 8. 解:假设 4n-2 = x2 -y2 ,其中 x,y 均为自然数. 分下列三种情形分析: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 参考答案与重难题解析·数学2　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ①若 x,y 均为偶数,设 x = 2k,y = 2m,其中 k,m 均为自 然数, 则 x2 -y2 = (2k) 2 -(2m) 2 = 4(k2 -m2 )为 4 的倍数, 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为偶数; ②若 x,y 均为奇数,设 x = 2k+1,y = 2m+1,其中 k,m 均为 自然数, 则 x2 -y2 = (2k+ 1) 2 -( 2m+ 1) 2 = 4( k2 -m2 +k-m) 为 4 的 倍数, 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为奇数, ③若 x,y 一个是奇数一个是偶数,则 x2 -y2 为奇数, 而 4n-2 是偶数,矛盾,故 x,y 不可能一个是奇数一个是 偶数, 由①②③可知,形如 4n-2(n 为正整数)的正整数 N 不能 表示为 x2 -y2(x,y 均为自然数) . 9. (1)证明:解法一:∵ 3m+n= b a ,mn= c a , ∴ b=a(3m+n),c=amn, 则 b2 -12ac = [a(3m+n)] 2 -12a2mn =a2(9m2 +6mn+n2 )-12a2mn =a2(9m2 -6mn+n2 ) =a2 (3m-n) 2 , ∵ a,m,n 是实数, ∴ a2 (3m-n) 2 ≥0, ∴ b2 -12ac 为非负数; 多解法 解法二:∵ 3m+n= b a ,mn= c a , ∴ -(3m+n)= - b a ,3mn= 3c a , ∴ x1 = -3m 和 x2 = -n 是关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+3c = 0 的根, ∴ b2 -12ac≥0, ∴ b2 -12ac 为非负数. (2)解:m,n 不可能都为整数. 理由:若 m,n 都为整数,其可能情况有:①m,n 都为奇数; ②m,n 中至少有一个为偶数. ①当 m,n 都为奇数时,则 3m+n 必为偶数, 又∵ 3m+n= b a , ∴ b=a(3m+n), ∵ a 为奇数, ∴ a(3m+n) 必为偶数,这与 b 为奇数矛盾; ②当 m,n 中至少有一个为偶数时,则 mn 必为偶数, 又∵ mn= c a , ∴ c=amn, ∵ a 为奇数, ∴ amn 必为偶数,这与 c 为奇数矛盾; 综上所述,m,n 不可能都为整数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专题二　 方程与不等式含参问题 类型 1　 一次方程含参问题 1. D　 【解析】∵ (a-1)x+(a+2)y+5-2a= 0,∴ ax-x+ay+2y+ 5-2a= 0,∴ (x+y-2)a = x-2y-5,∴ 所有这些方程的公共 解与关于 x,y 的二元一次方程组 x+y-2 = 0, x-2y-5 = 0{ 的解相同,∴ 这个公共解是 x= 3, y= -1.{ 2. B 　 【 解 析 】 ∵ 关 于 x、 y 的 二 元 一 次 方 程 组 为 3x-y= 4m+1①, x+y= 2m-5②,{ ①-②,得 2x- 2y = 2m+ 6,∴ x-y = m+ 3, ∵ x-y= 4,∴ m+3 = 4,∴ m= 1. 3. 6(答案不唯一)　 【解析】 2x+3y= 3+a①, x+2y= 6②,{ ①-②得,x+y = a-3. ∵ x+y>2 2 ,∴ a-3>2 2 ,解得 a>2 2 +3. ∵ 4 < 8 < 9 ,∴ 2<2 2 <3,∴ 5<2 2 + 3< 6,∵ a 取整数值,∴ a 可取 大于 5 的所有整数. 4. 解:(1)依题意得 x+y= 0,∴ n= 0, 则有 x+y= 0, 2x-y= 6,{ 解得 x= 2, y= -2;{ (2)解 x+y= 3n, 2x-y= 6{ 得 x=n+2, y= 2n-2,{ 由题意得 n+2>0, 2n-2>0,{ 解得 n>1. 类型 2　 分式方程含参问题 1. x= 4　 【解析】∵ 关于 x 的分式方程 1 x-4 - m 4-x = 1(m 为常 数)有增根,∴ x-4 = 0,∴ x= 4. 2. C 　 【解析 】 由 题 意, 去 分 母 得, mx - 1 = 2 ( x - 1 ), ∴ (m-2)x= -1. ①当 m-2 = 0 时,即当 m = 2 时,0×x = -1, ∴ 此方程无解,∴ 分式方程mx -1 x-1 = 2 也无解,符合题意. ② 当 m-2≠0 时,x = -1 m-2 . 而此时分式方程mx -1 x-1 = 2 无解, ∴ -1 m-2 -1 = 0,∴ m= 1. 检验:将 m = 1 代入 m-2,得 m-2 = -1≠0,符合题意. 综上,满足题意的 m 的值为 1 或 2. 避坑神招 遇“含参分式方程无解”,要分类讨论,分式化为整式方程后, ①整式方程无解;②整式方程的解是原分式方程的增根. 3. D　 【解析】方程两侧同乘(x+2)得,a = x+2-3,∴ x = a+1, ∵ 解为负数,∴ a+1<0,即 a<-1,要使分式有意义,x≠-2, 即 a+1≠-2,∴ a≠-3. 4. C　 【解析】去分母得,m+x-2 = -x,解得 x = 2 -m 2 ,由分式方 程的解是非负数,得到2 -m 2 ≥0,且2 -m 2 - 2≠0,解得 m≤2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 二轮专题培优练·数学 专题一　 代数推理 专 题 一 代 数 推 理 1. (2024 宜宾)如果一个数等于它的全部真因数(含单位 1,不含它本身)的和,那么这个数称为完 美数. 例如:6 的真因数是 1,2,3,且 6 = 1+2+3,则称 6 为完美数. 下列数中为完美数的是( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 8 B. 18 C. 28 D. 32 2. (2024 安徽)已知实数 a,b 满足 a-b+1 = 0,0<a+b+1<1,则下列判断正确的是 ( C ) A. - 1 2 <a<0 B. 1 2 <b<1 C. -2<2a+4b<1 D. -1<4a+2b<0 3. (2023 宜昌)在日历上,某些数满足一定的规律. 如图是某年 8 月份的日历,任意选择其中所示的 含 4 个数字的方框部分,设右上角的数字为 a,则下列叙述中正确的是 ( D ) 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 第 3 题图 A. 左上角的数字为 a+1 B. 左下角的数字为 a+7 C. 右下角的数字为 a+8 D. 方框中 4 个位置的数相加,结果是 4 的倍数 4. 如图是一个宫格图,图中实线划分的区域是一个宫,共有 4 个宫,每一宫又被虚线分为四个小 格. 根据图中已经给的提示数字,在其他的空格上填入数字-1,-2,-3,-4. 使-1,-2,-3,-4 每 个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次. 则图中点 A 位置所填的数字为　 -2　 . -2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -3 A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -4 -1 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 4 题图 5. (2024 成都)在综合实践活动中,数学兴趣小组对 1 ~ n 这 n 个自然数,任取两数之和大于 n 的取 法种数 k 进行了探究. 发现:当 n= 2 时,只有 1{ ,2}一种取法,即 k = 1;当 n = 3 时,有 1{ ,3}和 2{ , 3}两种取法,即 k= 2;当 n= 4 时,可得 k= 4;……. 若 n= 6,则 k 的值为　 9　 ;若 n= 24,则 k 的值 为　 144　 . 1 二轮专题培优练·数学 专 题 一 代 数 推 理 6. 已知两个整式:m,m+n,将这两个整式进行如下操作: 第 1 次操作:用这两个整式的和除以 2,将结果放在这两个整式之间,可以得到一个新的整式 串,记为整式串 1:m,m+ 1 2 n,m+n; 第 2 次操作:在整式串 1 中,用相邻两个整式的和除以 2,将结果放在这两个整式之间,又得到 一个新的整式串,记为整式串 2:m,m+ 1 4 n,m+ 1 2 n,m+ 3 4 n,m+n,以此类推,可以得到整式串 3, 整式串 4,…… 明明同学对此展开研究,得到以下 3 个结论: ①整式串 4 共有 17 个整式; ②整式串 9 从左往右第 2 个整式减去整式串 10 从左往右第 2 个整式的差为- 1 210 n; ③经过 2 024 次操作后,整式串 2 024 的和为(22 024 +1)m+2 2 024 +1 2 n. 以上 3 个结论正确的有 ( B ) A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 7. 代数推理:若实数 a、b 满足 1 a + 1 b = 2 a-b . (1) 求 ab a2 -b2 的值; (2) 求证:(1- a b ) 2 = 2. (1)解:∵ 1 a + 1 b = 2 a-b , ∴ a +b ab = 2 a-b , ∴ (a+b)(a-b)= 2ab, 即 a2-b2 = 2ab, ∴ ab a2-b2 = 1 2 ; (2)证明:∵ a2-b2 = 2ab, ∴ a 2 b2 -1= 2a b , ∴ a 2 b2 -2a b +1= 2, ∴ (1- a b ) 2 = 2. 2 二轮专题培优练·数学 专 题 一 代 数 推 理 8. (2024 安徽节选)请认真阅读下面的命题和部分证明过程. 问题:如何证明命题“像 2,6,10,14,…这些形如 4n-2(n 为正整数)的正整数 N 不能表示为 x2 -y2(x,y 均为自然数)” . 证明:假设 4n-2 = x2 -y2,其中 x,y 均为自然数. 分下列三种情形分析: ①若 x,y 均为偶数,设 x= 2k,y= 2m,其中 k,m 均为自然数, 则 x2 -y2 =… 请你将上述证明过程补充完整. 解:假设 4n-2=x2-y2,其中 x,y 均为自然数. 分下列三种情形分析: ①若 x,y 均为偶数,设 x= 2k,y= 2m,其中 k,m 均为自然数, 则 x2-y2 =(2k) 2-(2m) 2 = 4(k2-m2)为 4 的倍数. 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为偶数; ②若 x,y 均为奇数,设 x= 2k+1,y= 2m+1,其中 k,m 均为自然数, 则 x2-y2 =(2k+1) 2-(2m+1) 2 = 4(k2-m2+k-m)为 4 的倍数, 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为奇数; ③若 x,y 一个是奇数一个是偶数,则 x2-y2 为奇数; 而 4n-2 是偶数,矛盾,故 x,y 不可能一个是奇数一个是偶数; 由①②③可知,形如 4n-2(n 为正整数)的正整数 N 不能表示为 x2-y2(x,y 均为自然数) . 9. (2024 福建)已知实数 a,b,c,m,n 满足 3m+n= b a ,mn= c a . (1)多解法 ∙∙∙ 求证:b2 -12ac 为非负数; (2)若 a,b,c 均为奇数,m,n 是否可以都为整数? 说明你的理由. (1)证明:解法一:∵3m+n= b a ,mn= c a ,∴ b=a(3m+n),c=amn, 则 b2-12ac =[a(3m+n)] 2-12a2mn=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn=a2(9m2-6mn+n2)= a2(3m-n) 2, ∵ a,m,n 是实数,∴ a2(3m-n) 2≥0,∴ b2-12ac 为非负数; 其他解法见答案册 PX (2)解:m,n 不可能都为整数. 理由:若 m,n 都为整数,其可能情况有:①m,n 都为奇数;②m,n 中至少有一个为偶数. ①当 m,n 都为奇数时,则 3m+n 必为偶数, 又∵3m+n= b a ,∴ b=a(3m+n),∵ a 为奇数,∴ a(3m+n) 必为偶数,这与 b 为奇数矛盾; ②当 m,n 中至少有一个为偶数时,则 mn 必为偶数, 又∵mn= c a ,∴ c=amn, ∵ a 为奇数,∴ amn 必为偶数,这与 c 为奇数矛盾; 综上所述,m,n 不可能都为整数. 3