苏科版八年级下期中测试卷（苏科八下第7～10章：概率统计+平行四边形+分式）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

苏科版八年级下期中测试卷答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B D D C A C C 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【解答】解：A既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， B不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．旭日东升 B．守株待兔 C．只手遮天 D．水中捞月 【分析】根据随机事件的概念进行判断． 【解答】解：A、旭日东升是必然事件，选项正确，符合题意； B、守株待兔是随机事件，选项错误，不符合题意； C、只手遮天升是不可能事件，选项错误，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，选项错误，不符合题意． 故选：A． 3．（3分）为了了解我市今年6000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的成绩进行统计，下列说法： ①这6000名学生的成绩的全体是总体； ②500名考生是总体的一个样本； ③样本容量是500名． 其中说法正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【解答】解：①这6000名学生的初中毕业考试数学成绩的全体是总体，故原说法错误，不符合题意； ②500名考生的初中毕业考试数学成绩是总体的一个样本，故原说法错误，不符合题意； ③样本容量是500，故原说法错误，不符合题意； 故选：D． 4．（3分）把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．扩大4倍 【分析】利用分式的约分即可解决问题． 【解答】解：把分式中的x和y都扩大2倍可得， 是分式的2倍， 故选：B． 5．（3分）下列说法错误的是（　　） A．图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 【分析】由平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质依次判断可求解． 【解答】解：A、图形的平移后，每组对应点之间的距离相等，故选项A不符合题意； B、图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，故选项B不符合题意； C、两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形，故选项C不符合题意； D、两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段被对称轴垂直平分，故选项D符合题意； 故选：D． 6．（3分）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，AB＝4，AD＝6，则EC长为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】由平行四边形的性质可得BC∥AD，BC＝AD，AD＝BC＝6，由角平分线的性质和平行线的性质可得BA＝BE＝4，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD，AD＝BC＝6， ∴∠FAD＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BA＝BE， ∵AB＝4， ∴BE＝4， ∴CE＝BC﹣BE＝2， 故选：D． 7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接BG．下列结论：①∠FGE＝120°；②AG⊥BD；③DG＝BG；④AG＝DE+BE，其中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据旋转的性质，可得∠ABF＝60°，∠A＝∠D，根据三角形的内角和，可得∠AFB＝90°，判断①；根据旋转的性质，三角形的内角和，平角的性质，可得∠FGE＝120°，判断②；连接AD，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，可得△ABG≌△ADG，判断③；连接CE，根据旋转的性质，可得 AC＝DE，BC＝BE，根据等边三角形的判定和性质，可得△BCE是等边三角形，CE＝BE，根据三角形三边的关系，可得 BE＝CE＞CG+GE，进行判断④即可． 【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE， ∴∠ABF＝60°，∠A＝∠D， ∵∠A＝30°，∠A+∠ABF+∠AFB＝180°， ∴30°+60°+∠AFB＝180°， ∴∠AFB＝90°， ∴AG⊥BD； ∴②正确； ∴∠DFG＝90°， ∵∠A＝∠D＝30°， ∴∠DGF＝60°， ∴∠FGE＝120°， ∴①正确； 连接AD， ∵AB＝BD，∠ABF＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB＝60°， ∵∠A＝30°， ∴∠DAF＝30°， 在△ABG和△ADG中， ， ∴△ABG≌△ADG（SAS）， ∴DG＝BG， ∴③正确； 连接CE， 由旋转可得：AC＝DE，BC＝BE， ∵AG＝AC+CG， ∴AG＝DE+CG， ∵∠CBE＝60°，BC＝BE， ∴△BCE是等边三角形， ∴CE＝BE， ∵∠FGE＝120°， ∴BE＝CE≥CG+GE， ∴AG≠DE+BE， ∴④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：C． 8．（3分）新疆吐鲁番的某葡萄干加工厂引进智能烘干技术后，大幅提升了生产效率，现在平均每天比技术升级前多加工30公斤葡萄干，且现在加工500公斤葡萄干所需的时间与升级前加工400公斤葡萄干所需时间相同，设技术升级前每天加工x公斤葡萄干，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】设技术升级前每天加工x公斤葡萄干，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合“现在加工500公斤葡萄干所需的时间与升级前加工400公斤葡萄干所需时间相同”，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设技术升级前每天加工x公斤葡萄干，则现在平均每天加工（x+30）公斤葡萄干， 依题意，得． 故选：A． 9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【分析】由题意已知，AD∥BC，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，列出等式可求解． 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞5，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝5，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】连接FN并延长，使ND＝NF，连接AD，ED，证明△AND≌△BNF（SAS），得出AD＝BF，∠DAN＝∠FBN，证明△ADE为等边三角形，得出DE＝AD＝5，根据中位线性质得出． 【解答】解：连接FN并延长，使ND＝NF，连接AD，ED，如图所示： ∵N为AB的中点， ∴AN＝BN， ∵∠AND＝∠BNF， 在△AND和△BNF中， ， ∴△AND≌△BNF（SAS）， ∴AD＝BF，∠DAN＝∠FBN， ∴AD∥BC， ∴∠DAC+∠C＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠DAC＝60°， ∵AD＝BF，AE＝BF＝5， ∴AE＝AD， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE＝AD＝5， ∵M为EF的中点，ND＝NF， ∴． 故选：C． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠﹣1　 ． 【分析】根据分式有意义的条件可得x+1≠0，求解即可． 【解答】解：由题意得：x+1≠0， 解得：x≠﹣1． 故答案为：x≠﹣1． 12．（3分）将分式化为最简分式的结果为 　　 ． 【分析】分子、分母约去3a2即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 13．（3分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球　32　 个． 【分析】用黑球个数除以黑球频率求得球的总个数，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，盒中球的总个数约为840（个）， 则白球个数约为40﹣8＝32（个）， 故答案为：32． 14．（3分）某省于24﹣25年实行新高考“3+1+2”方案．“3”是指语文数学外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科．这样，新高考方案中最多出现 　12　 种考试科目组． 【分析】根据可能性大小或乘法原理得出结论即可． 【解答】解：∵“3”是指语文、数学、英语三门必考科目， ∴只有1种选择， ∵“1”是指考生在物理和历史两门中必须选一科， ∴有物理和历史2种选择， ∵“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门中选择两科， ∴有化学+生物，化学+思想政治，化学+地理，生物+思想政治，生物+地理，思想政治+地理6种选择， ∴新高考方案中最多出现1×2×6＝12（种）考试科目组， 故答案为：12． 15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 　4　 ． 【分析】根据菱形面积的计算公式求得AC，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝4.5， ∴OA＝OC，BD＝2OB＝9， ∵S菱形ABCD＝36， ∴， ∴AC＝8， ∵AH⊥BC，OA＝OC， ∴∠AHC＝90°，O为AC的中点； 在Rt△AHC中，O为AC的中点 ∴． 故答案为：4． 16．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝120°，点M为菱形ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝4，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 　2　 ． 【分析】取BC中点K，连接MK，过D作DN⊥BC交BC的延长线于N，判定△CBH≌△MBK（SAS），推出MK＝CH，得到DM+CH＝DM+MK，由含30度角的直角三角形的性质得到CNCD＝2，DNCN＝2，由勾股定理求出DK＝2，由三角形三边关系定理得到DM+MK≥DK，即可得到DM+CH的最小值． 【解答】解：取BC中点K，连接MK，过D作DN⊥BC交BC的延长线于N， ∴BKBC， ∵H是MB中点， ∴BHBM， ∵四边形ABCD是边长为4的菱形， ∴CD＝BC＝BM＝4，∠BCD＝∠A＝120°， ∵∠CBH＝∠MBK， ∴△CBH≌△MBK（SAS）， ∴MK＝CH， ∴DM+CH＝DM+MK， ∵∠DCN＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CDN＝90°﹣60°＝30°， ∴CNCD＝2，DNCN＝2， ∵CKBC＝2， ∴NK＝CK+CN＝4， ∴DK2， ∵DM+MK≥DK＝2， ∴DM+CH≥2， ∴DM+CH的最小值为2． 故答案为：2． 17．（3分）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M在OA边上，且OM＝2AM，若在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为　或或　 ． 【分析】由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，因为不确定哪个角是直角，所以分情况讨论，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设点，则AP＝a，，根据勾股定理求出CP2，MP2，CM2，根据∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，可以得到这三条边的关系，解之即可． 【解答】解：如图，△ABC是“智慧三角形”，CD是中线，， ∴BD＝CD＝AD， ∴∠B＝∠BCD，∠A＝∠ACD， 又∠A+∠B+∠BCD+∠ACD＝180°， ∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°， ∴“智慧三角形”是直角三角形， ∵矩形OABC中，，，OM＝2AM， ∴，，，， ∴， 设点，则AP＝a，， ①若∠CPM＝90°，如图， 在Rt△BCP中，， 在Rt△MPA中，MP2＝MA2+AP2＝5+a2， 在Rt△MCP中，CM2+MP2＝CP2， ∴， 解得， ∴； ②若∠CMP＝90°，如图， 由①知：， 整理得， 解得或． ∴或． 综上，P的坐标为或或， 故答案为：或或． 18．（3分）关于x的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于y的分式方程的解是不小于﹣6的整数，则满足条件的所有整数a的值的和是　﹣18　 ． 【分析】由题意分别解不等式组的两个不等式，根据“该不等式组的解中至少包含三个整数”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程，结合“该分式方程的解是不小于﹣6的整数”，得到a的值进而即可得到答案． 【解答】解：解不等式3x﹣3≤2x+4得x≤7， 解不等式x﹣a≤2x﹣3a得x≥2a， 由条件可知该不等式组至少有整数解5，6，7， 则有2a≤5，解得， 解分式方程得： 且y≠1， ∵该分式方程的解是不小于﹣6的整数， ∴，则a的值为3的倍数，且， ∴，且a≠0， ∵， ∴，且a为3的倍数，a≠0， 则整数a的值为﹣9或﹣6或﹣3， 即满足条件的所有整数a的值之和为﹣9﹣6﹣3＝﹣18． 故答案为：﹣18． 三．解答题（共10小题，满分76分） 19．（8分）解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可； （2）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可． 【解答】解：（1）， 方程两边乘以x﹣1，得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1）， 去括号，移项，得：﹣x﹣3x＝﹣3﹣2+2， 合并同类项，得：﹣4x＝﹣3， 系数化为1，得：， 经检验，是原分式方程的解， （2）， ， 方程两边乘以（x+2）（x﹣2），得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8， 去括号，移项，得：x2﹣x2+2x＝8﹣4， 合并同类项，得：2x＝4， 系数化为1，得：x＝2， 经检验，x＝2是原分式方程的增根， 故原分式方程无解． 20．（6分）先化简，再求值：，其中m是使得一次函数y＝（m﹣2）x+m+3 图象经过第一、二、四象限的整数． 【分析】根据题意，先对分式进行化简，再结合一次函数图象所过的象限，得到m的值，即可得到结果． 【解答】解： •（m+3） （m+3） ， ∵一次函数y＝（m﹣2）x+m+3 图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴﹣3＜m＜2， ∵m为整数， ∴m为﹣2，﹣1，0，1， ∵m为﹣2，0，1时分式无意义， ∴m＝﹣1， ∴2． 21．（6分）已知：如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2． 求证：AE＝CF． 【分析】先由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DAE＝∠1，而∠1＝∠2，于是∠DAE＝∠2，根据平行线的判定得到AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE＝CF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠DAE＝∠2， ∴AE∥CF， ∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF． 22．（6分）学校为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，计划开展阳光体育锻炼活动．学校准备开设以下四个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一项，并将选择项目的抽样调查结果绘制成如下不完整的统计图，请你结合图中信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是 　100　 人； （2）在扇形统计图中，B对应的圆心角为 　108　 度； （3）已知该学校共有2000名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少？ 【分析】（1）直接利用排球的人数÷所占百分比＝总人数，即可得出答案； （2）用总人数减去A、C、D的人数求出选择乒乓球的人数，利用360°乘B的人数所占百分比进而得出答案； （3）利用总人数乘选择篮球的人数所占百分比即可． 【解答】解：（1）本次调查的学生人数是12÷12%＝100（人）； 故答案为：100； （2）本次调查的学生中选择B（乒乓球）的人数为100﹣32﹣26﹣12＝30（人）， ∴在扇形统计图中，B对应的圆心角为360°100%＝108°； 故答案为：108； （3）2000100%＝520（人）， 答：估计全校选择篮球的人数是520人． 23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题： （1）将△ABC先向右平移5个单位再向下平移5个单位得到图形△A1B1C1，画出图形△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 　（3，﹣3）　 ； （2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标． 【分析】（1）依次将点A、B、C先向右平移5个单位再向下平移5个单位得到点A1、B1、C1，再依次连接即可，然后由图可直接得到A1的坐标； （2）依次将点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转90°得到点A2、B2、C2，再依次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，两对对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心的位置． 【解答】解：（1）如图△A1B1C1即为所求， 如图，点A1（3，﹣3）， 故答案为：（3，﹣3）． （2）如图△A2B2C2，即为所求； （3）如图， 连接A1A2，C1C2，利用网格分别作A1A2，C1C2的垂直平分线，交于点P， 即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为（5，0）． 24．（8分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ （3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？ 【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系，等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量； （2）关系式为：102≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105； （3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可． 【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元， ， 解得：m＝9， 经检验，m＝9是原方程的根且符合题意， 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元． （2）设购进A款汽车x辆， 102≤7.5x+6（15﹣x）≤105， 解得：8≤x≤10， ∵x的正整数解为8，9，10， ∴共有3种进货方案：A款汽车8辆，B款汽车7辆；A款汽车9辆，B款汽车6辆；A款汽车10辆，B款汽车5辆． （3）设总获利为W元，购进A款汽车x辆， W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a， 当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同． 25．（8分）图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF． （2）在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM． （3）在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN＝45°． 【分析】（1）利用网格特征连接AP，BP并延长，即可作以点P为对称中心的平行四边形ABEF； （2）取格点E，连接AE交BC于点M，即可作四边形ABCD的边BC上的高AM； （3）取格点E，P，Q，连接AE，PQ，ED，PQ与ED交于点F，连接AF并延长交CD于点N即可． 【解答】解：（1）如图①中，平行四边形ABEF即为所求； （2）如图②中，高AM即为所求； （3）如图③中，点N即为所求． 26．（8分）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为， 所以是的“关联分式”． （1）请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则，， ∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； （3）①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：　　 ； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【分析】（1）根据新定义，仿照示例，即可判断是否为关联分式； （2）仿照示例，可得到分式的“关联分式”； （3）先求出分式的“关联分式”，再根据其规律，得到方程组，解方程组，即可得到结果． 【解答】解：（1）分式与分式是“关联分式”，理由如下： ∵， ， ∴分式与分式是“关联分式”； （2）的关联分式为N， ， （）N， ， N， 故答案为：； （3）①设分式的“关联分式”为N， ， （）N， N； ②若是的“关联分式”， ∴， ∴， ∴， ∴m，n的值分别是． 27．（10分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF． 请回答：在图2中，∠GAF的度数是 　45°　 ． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度． （2）如图4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝　135°　 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值． 【分析】阅读材料：根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得∠GAB＝∠EAD，然后求出∠GAF＝∠BAF+∠EAD，再根据∠EAF＝45°计算即可得解； （1）过点A作AF⊥CB 交CB的延长线于点F，可得四边形AFCD是正方形，然后设BE＝x，根据上面的结论表示出BF，再求出CE、BC，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； （2）过点A作AF⊥CA，取AE＝AC，连接BF，CF，由勾股定理可求CF的长，由“SAS“可证△EAB≌△CAD，可得CD＝BF，由三角形的三边关系可得． 【解答】解：阅读材料： 根据旋转△ABG≌△QDE， ∴∠GAB＝∠EAD，AG＝AE， ∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAE＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAF+∠GAB＝45°，即∠GAF＝45°； （1）过点A作AF⊥CB 交CB的延长线于点F， ∵AD∥BC，∠D＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠D＝90°， ∵AD＝CD＝10， ∴四边形AFCD是正方形， ∴CF＝10， 根据上面结论，可知BE＝DE+BF， 设BE＝x， ∵DE＝4， ∴BF＝BE﹣DE＝x﹣4， ∴CB＝CF﹣BF＝10﹣x+4＝14﹣x， CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6， ∵∠C＝90°， ∴CE2+CB2＝BE2， ∴36+（14﹣x）2＝x2， 解得：x， 故BE； （3）过点A作AF⊥CA，取AF＝AC， 连接BF，CF， ∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°+∠BAC， ∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝90°+∠BAC， ∴∠BAF＝∠DAC， 又∵AC＝AF，AB＝AD， ∴△FAB≌△CAD（SAS）， ∴BF＝CD， ∴线段CD有最大值时，只需BF最大即可， 在△BCF中，BF≤BC+CF， 当B、C、F三点共线时， BF取最大值，此时BF＝BC+CF， 在等腰直角三角形ACF中AC＝AF＝4，∠ACF＝45°， ∴CFAC＝4， ∵CB＝6， BF最大为：46，即CD最大值为46，此时∠BCA＝180°﹣∠ACF＝135°． 故答案为：135°． 28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A—B—C向终点C运动． （1）点B的坐标为 　（4，8）　 ； （2）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S； （3）当点P运动到线段BC上时，连接PM、BM，若∠ABM＝2∠PMC，求P的运动时间t的值． 【分析】（1）由点A坐标可得AH＝6、OH＝8，由勾股定理可得OA＝10，根据菱形的性质可得边长为10，据此即可求解； （2）分两种情形：如图2﹣1中，当0≤t＜5时，如图2﹣2中，当5＜t≤10时，连分别求解即可； （3）设∠PMC＝α，推出∠ABC＝90°+2α，求得∠BAC＝∠BCA＝45°﹣α，推出∠BPM＝45°，得到△BPM是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：（1）∵A（﹣6，8）， ∴AH＝6、OH＝8， ∴， ∵四边形ABCO是菱形， ∴AB＝OA＝10，AB∥OC， ∵AH＝6， ∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4， ∴B（4，8）； 故答案为：（4，8）； （2）连接BM， 如图2﹣1中，当0≤t＜5时， ∵A（﹣6，8），C（10，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 则有，解得， ∴直线AC的解析式为yx+5， ∴M（0，5）， ∴OM＝5， ∴MH＝OH﹣OM＝8﹣5＝3， ∴． 如图2﹣2中，当5＜t≤10时， ∵四边形ABCO是菱形， ∴∠OCM＝∠BCM， ∵CO＝CB，CM＝CM， ∴△OCM≌△BCM（SAS）， ∴∠MOC＝∠MBC＝90°， ∴MB⊥BC， ∴， 综上所述，； （3）∵BH＝4，MH＝3，∠BHM＝90°， ∴， ∵∠ABM＝2∠PMC， ∴设∠PMC＝α， ∴∠ABM＝2α， ∴∠ABC＝90°+2α， ∴， ∴∠BMC＝90°﹣∠BCA＝45°+α， ∵∠PMC＝α， ∴∠BPM＝∠PMC+∠BCA＝45°， ∴∠BMP＝45°， ∴∠BMP＝∠BPM， ∴BM＝BP＝5， ∴P的运动时间t的值为秒． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/10 15:34:51；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版八年级下期中测试卷 考试时间：100分钟； 满分：130分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．旭日东升 B．守株待兔 C．只手遮天 D．水中捞月 3．（3分）为了了解我市今年6000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的成绩进行统计，下列说法： ①这6000名学生的成绩的全体是总体； ②500名考生是总体的一个样本； ③样本容量是500名． 其中说法正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（3分）把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．扩大4倍 5．（3分）下列说法错误的是（　　） A．图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 6．（3分）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，AB＝4，AD＝6，则EC长为（　　） A．1 B． C． D．2 7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接BG．下列结论：①∠FGE＝120°；②AG⊥BD；③DG＝BG；④AG＝DE+BE，其中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 8．（3分）新疆吐鲁番的某葡萄干加工厂引进智能烘干技术后，大幅提升了生产效率，现在平均每天比技术升级前多加工30公斤葡萄干，且现在加工500公斤葡萄干所需的时间与升级前加工400公斤葡萄干所需时间相同，设技术升级前每天加工x公斤葡萄干，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞5，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝5，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为（　　） A． B．2 C． D．3 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）将分式化为最简分式的结果为 　 　 ． 13．（3分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球　 　 个． 14．（3分）某省于24﹣25年实行新高考“3+1+2”方案．“3”是指语文数学外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科．这样，新高考方案中最多出现 　 　 种考试科目组． 15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 　 　 ． 16．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝120°，点M为菱形ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝4，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 　 　 ． 17．（3分）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M在OA边上，且OM＝2AM，若在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为　 　 ． 18．（3分）关于x的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于y的分式方程的解是不小于﹣6的整数，则满足条件的所有整数a的值的和是　 　 ． 三．解答题（共10小题，满分76分） 19．（8分）解分式方程： （1）； （2）． 20．（6分）先化简，再求值：，其中m是使得一次函数y＝（m﹣2）x+m+3 图象经过第一、二、四象限的整数． 21．（6分）已知：如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2． 求证：AE＝CF． 22．（6分）学校为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，计划开展阳光体育锻炼活动．学校准备开设以下四个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一项，并将选择项目的抽样调查结果绘制成如下不完整的统计图，请你结合图中信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是 　 　 人； （2）在扇形统计图中，B对应的圆心角为 　 　 度； （3）已知该学校共有2000名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少？ 23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题： （1）将△ABC先向右平移5个单位再向下平移5个单位得到图形△A1B1C1，画出图形△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 　 　 ； （2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标． 24．（8分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ （3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？ 25．（8分）图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF． （2）在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM． （3）在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN＝45°． 26．（8分）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为， 所以是的“关联分式”． （1）请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则，， ∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； （3）①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：　 　 ； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 27．（10分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF． 请回答：在图2中，∠GAF的度数是 　 　 ． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度． （2）如图4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝　 　 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值． 28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A—B—C向终点C运动． （1）点B的坐标为 　 　 ； （2）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S； （3）当点P运动到线段BC上时，连接PM、BM，若∠ABM＝2∠PMC，求P的运动时间t的值． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$