第16讲 二次根式的加减（5个知识清单+8类热点题型讲练+分层练习） -2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第16讲 二次根式的加减 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01同类二次根式.....................................................................................................................................................................3 题型02二次根式的加减运算.........................................................................................................................................................5 题型03二次根式的混合运算.........................................................................................................................................................8 题型04分母有理化.......................................................................................................................................................................10 题型05已知字母的值，化简求值...............................................................................................................................................12 题型06已知条件式，化简求值...................................................................................................................................................15 题型07比较二次根式的大小.......................................................................................................................................................18 题型08二次根式的应用................................................................................................................................................................21 分层练习.........................................................................................................................................................................................24 夯实基础.........................................................................................................................................................................................24 能力提升.........................................................................................................................................................................................35 知识点1．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点2．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点4．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点5．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法. 题型01同类二次根式 1．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，化简各组二次根式后，根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解：A、，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； B、，所以与不是同类二次根式，故此选不项符合题意； C、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．由同类二次根式的定义可得：，解方程可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． ∴． 故答案为：1． 3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】(1)； (2)；． 【知识点】二次根式有意义的条件、最简二次根式的判断、同类二次根式 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案； 根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可； 本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． 题型02二次根式的加减运算 4．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的运算．根据合并同类二次根式、二次根式的乘方、二次根式的性质以及算术平方根的性质可以判断． 【详解】解：不能合并，故选项A不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； 不能化简，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末） ． 【答案】3 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式．利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：3． 6．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和二次根式的性质计算，然后进行有理数的加减运算； （3）先根据二次根式的性质化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 题型03二次根式的混合运算 7．（23-24八年级下·江苏常州·期末）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的除法、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用合并同类二次根式法则，二次根式的乘法、除法法则，二次根式的性质逐项判定即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意； B． ，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算正确，符合题意， 故选：D． 8．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了二次根式的化简与求值，估算无理数的大小，利用算术平方根的意义求得值是解题的关键． 利用算术平方根的意义求得值，再利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴的整数部分为 1 ，小数部分为．即， 则． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）（1）计算：     （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】该题考查了解分式方程和二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先计算零次幂、绝对值和乘法，再合并即可； （2）根据解分式方程的步骤求解即可； 【详解】解：（1） ； （2） 去分母，得：， 化简，得， 解得：， 经检验是原方程的解． 故原分式方程的解是． 题型04分母有理化 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】负整数指数幂、利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质进行化简，负整数指数幂．熟练掌握分母有理化，利用二次根式的性质进行化简，负整数指数幂是解题的关键． 根据分母有理化，利用二次根式的性质进行化简，负整数指数幂对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，正确，故A不符合要求； ，正确，故B不符合要求； ，正确，故C不符合要求； ，错误，故D符合要求； 故选：D． 11．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则； ． 则＝ ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式以及分式的运算，先将代入得到原式，再根据分母有理化的方法将分式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）比较与的大小，并证明． 【答案】，证明过程见解答． 【知识点】分母有理化、实数的大小比较 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，实数大小比较，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 将原式进行分母有理化可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：， 证明：将原式进行分母有理化可得：，， ， ， 题型05已知字母的值，化简求值 13．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知，，则的值等于（　　） A．0 B．4 C． D．16 【答案】D 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】根据完全平方公式可得，再将x和y的值代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式． 14．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）海伦公式是古希腊数学家海伦给出的求三角形面积的公式，用符号表示为，其中a，b，c表示三角形的边长，s表示三角形的面积，.利用这个公式计算：当时，s= ． 【答案】3 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】先将代入求得p，然后再将它们代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用二次根式的运算法则是解答本题的关键． 15．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1），，求代数式的值． （2）先化简，再求值． ，其中，． 【答案】（1） （2）， 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式等知识点，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解题的关键． （1）先求出和的值，再把变成，最后代入求出答案即可； （2）先根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则对原式进行化简，然后求出的值，再代入原式即可求出答案． 【详解】解：（1），， ， ， ； （2），， ， 当，时， ， 原式． 题型06已知条件式，化简求值 16．（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键． 17．（2023八年级下·江苏·专题练习）已知，，则代数式的值是 ； 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、利用二次根式的性质化简、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据题中条件，利用二次根式性质化简，代入求值即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 18．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为正数数， ∴ ． 题型07比较二次根式的大小 19． 比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式大小比较，先求出与的平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即前者大， 故选：A． 20．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 21．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为．求证： (1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． (2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 【答案】(1)①；②；③ (2)见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、比较二次根式的大小、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式 【分析】（1）①根据完全平方公式可得①的结果； ②根据二次根式的性质可得②的结果； ③比较结果①与结果②可得两个代数式的大小关系. （2）选择其中任意一种解答即可. 【详解】（1）① 故答案为：    . ②， 故答案为：. ③∵ ∴ ∴ 故答案为：>． （2）选择①．推导思路如下： 由，且，得．    配方，得， ∴ 即   ∴   选择②．推导思路如下： 由，得， 则，即．     因为， 所以，即． 【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式进行配方，以及运用平方差公式进行因式分解的内容，灵活运用因式分解解决问题是解题的关键. 题型08二次根式的应用 22．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 23．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理，根据题意画出示意图，设，过点C作，构造直角三角形，由勾股定理求出三角形的高，即可求解． 【详解】解：如图，设，过点C作， 设，则， 在中，，则， 在中，，则， ， ， ， ， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度满足关系式（不考虑风速的影响，的值取），已知小杰家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间． (2)小华说他家所住楼层的高度是小杰家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小杰家抛出，从他家抛出的物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的2倍，小华的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)不正确，理由见解析． 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中时间与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简 ． （1）根据小杰家楼层高度，代入高空抛物下落时间与高度关系公式，通过二次根式运算得出结果， （2）先根据小华家高度是小杰家2倍，算出小华家高度，再代入关系式求出落地时间，然后与小杰家物品落地时间相比，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得，． ∴（秒） ∴小杰家所住楼层物品落地的时间2秒． （2）解：不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的倍， ∴． 将的值代入公式中，得： ∴，   即小华家物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的倍，而不是倍．因此，小华的说法不正确． 夯实基础 一、单选题 1．计算：的值为（　　 ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算．先去括号，再按运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接运用乘法公式求解即可. 【详解】解：． 故选C. 【点睛】本题考查了乘法公式在二次根式中的应用，熟练掌握平方差与完全平方公式是解题的关键. 3．把所有的同类二次根式作为一组，则在二次根式、、、、中，同类二次根式有（       ）. A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】先把各式化成最简二次根式，再找出其中的同类二次根式即可. 【详解】解：∵，已经是最简二次根式，，已经是最简二次根式，， ∴其中的同类二次根式有与，与共2组. 故选C. 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的化简，难度不大，熟知同类二次根式的定义、熟练掌握二次根式的化简是解题的关键. 4．如图，边长为1的正方形网格图中，点，都在格点上，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出AB，再减去BC可得AC的长． 【详解】解：由图可知： AB==， ∵BC=， ∴AC=AB-BC==， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB的长． 5．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加减法和二次根式的乘法法则即可得出答案，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 6．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质先把各项中不是最简二次根式的化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、，所以是同类二次根式，故本选项符合题意； D、，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和同类二次根式的定义，属于基本题型，明确同类二次根式的概念、掌握化简的方法是解题的关键． 7．能够使与是同类最简二次根式的x值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可 【详解】根据题意得： ，且，， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键 8．对于二次根式，以下说法不正确的是 A．它是一个正数 B．是一个无理数 C．是最简二次根式 D．它的最小值是3 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，根据非负数的性质，逐一判断． 【详解】解：当时，，是一个有理数，故选B． ∵x2+9总是正数， ∴当x=0时, 二次根式==3，是个有理数， ∴A,C,D正确，B错 故选B. 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则与完全平方公式即可求解． 【详解】= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则与完全平方公式的运用． 10．计算的值为 ． 【答案】1. 【分析】根据平方差公式得出x﹣（x﹣1），求出即可． 【详解】原式=x﹣（x﹣1）=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用法则进行计算是解答此题的关键． 11．若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 12．化简： ． 【答案】 【分析】先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化计算是解题关键． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质先化简，再合并即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 故答案为：． 14．若a是无理数的小数部分，则的值是 . 【答案】 【分析】先求出的范围，再求出a的值，代入计算即可解答． 【详解】∵3＜＜4，a是无理数的小数部分， ∴a=-3， ∴a2-2a+3=（a-1）2+2 =（-3-1）2+2 =13+16-8+2 =31-8， 故答案为31-8． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小及二次根式的混合运算的应用，熟练进行二次根式的混合运算是解决问题的关键． 三、解答题 15．当时，求代数式x2－4x＋2的值． 【答案】1 【分析】先化简x，然后代入求值． 【详解】解： 原式= = =3-2 =1 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类项； （2）利用平方差和完全平方公式计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式．先把二次根式化为最近二次根式，然后再合并同类项，平方差公式，完全平方公式，正确化简二次根式和使用乘法公式是解题的关键． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．已知x=+1，求x+1﹣的值． 【答案】原式=，当x= +1时，原式=﹣． 【详解】试题分析：本题考查了分式的化简求值，先通分，化成同分母的分式相加减，然后约分化成最简分式，最后代入求值. =， 当时， 原式=﹣． 19．已知：，，求的值． 【答案】7+4 【详解】试题分析：根据x、y的值可以求得x-y的值和xy的值，从而可以解答本题． 试题解析：∵x＝1－，y＝1＋， ∴x－y＝(1－)－(1＋)＝－2， xy＝(1－)(1＋)＝－1， ∴x2＋y2－xy－2x＋2y ＝(x－y)2－2(x－y)＋xy ＝(－2)2－2×(－2)＋(－1) ＝7＋4. 20．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时回到O港．已知快艇的速度是，求A，B之间的距离（精确到）． 【答案】A，B之间的距离为 【分析】根据轮船行驶的轨迹可知：是等腰直角三角形，且，，再根据勾股定理可得，根据题意可知轮船1小时行驶的距离为：，，即问题随之得解． 【详解】根据轮船行驶的轨迹可知：是等腰直角三角形，且：，， ∴， 根据题意可知轮船1小时行驶的距离为：， ∴， ∴， ∴， 答：A，B之间的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及二次根式的运算的知识，解决本题的关键是熟悉等腰直角三角形的性质． 能力提升 一、单选题 21．下列等式不成立的是（　　） A．3 B．=4 C． D． 【答案】B 【分析】利用把二次根式化的乘法法则对A进行判断；利用根据二次根式的除法法则对B、D进行判断；利用二次根式的加减法对C进行判断． 【详解】A．原式=6=6，所以A选项计算正确； B．原式==2，所以B选项的计算错误； C．原式=2﹣=，所以C选项的计算正确； D．原式==，所以D选项的计算正确． 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 22．能够使与是同类最简二次根式的x值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可 【详解】根据题意得： ，且，， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键 二、填空题 23．比较大小 【答案】 【分析】根据二次根式的性质及倒退回去即可求解． 【详解】∵依题意有， ∴，， ∴， 则，即， 故， 即， ∵， ∴，， ∴， 故＞， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟知二次根式及不等式的性质． 24．观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据平方差公式将二次根式的分母化为1，然后再进行二次根式的加减运算即可得解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】 ， 故答案为：． 三、解答题 25．计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）原式第一项利用二次根式的定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项分别利用二次根式的性质和零指数幂的性质分别化简后再相乘，最后一项利用负指数幂性质化简，合并后即可得到结果； （2）原式第一项利用二次根式的性质化简，第二项利用二次根式除法法则计算，第三项利用完全平方公式计算，合并后即可得到结果． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = = 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，涉及的知识有：二次根式的化简，合并同类二次根式，完全平方公式的运用，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 26．化简计算： (1) ； (2) ； (3) ． (4)   【答案】（1）9；（2）；（3）5；（4）-6 【分析】（1）首先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）首先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （3）首先化简二次根式，计算0次幂，然后合并同类二次根式即可； （4）利用平方差公式即可求解． 【详解】(1)原式=6 +4−=9 (2)原式= (3)原式= +1=4+1=5； (4)原式= =12−18=−6. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 二次根式的加减 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01同类二次根式.....................................................................................................................................................................3 题型02二次根式的加减运算.........................................................................................................................................................5 题型03二次根式的混合运算.........................................................................................................................................................8 题型04分母有理化.......................................................................................................................................................................10 题型05已知字母的值，化简求值...............................................................................................................................................12 题型06已知条件式，化简求值...................................................................................................................................................15 题型07比较二次根式的大小.......................................................................................................................................................18 题型08二次根式的应用................................................................................................................................................................21 分层练习.........................................................................................................................................................................................24 夯实基础.........................................................................................................................................................................................24 能力提升.........................................................................................................................................................................................35 知识点1．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点2．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点4．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点5．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法. 题型01同类二次根式 1．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 题型02二次根式的加减运算 4．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末） ． 6．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型03二次根式的混合运算 7．（23-24八年级下·江苏常州·期末）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 9．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）（1）计算：     （2）解方程： 题型04分母有理化 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列化简错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则； ． 则＝ ． 12．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）比较与的大小，并证明． 题型05已知字母的值，化简求值 13．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知，，则的值等于（　　） A．0 B．4 C． D．16 14．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）海伦公式是古希腊数学家海伦给出的求三角形面积的公式，用符号表示为，其中a，b，c表示三角形的边长，s表示三角形的面积，.利用这个公式计算：当时，s= ． 15．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1），，求代数式的值． （2）先化简，再求值． ，其中，． 题型06已知条件式，化简求值 16．（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 17．（2023八年级下·江苏·专题练习）已知，，则代数式的值是 ； 18．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，求的值． 题型07比较二次根式的大小 19． 比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 20．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 21．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为．求证： (1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． (2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 题型08二次根式的应用 22．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积是 ． 24．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度满足关系式（不考虑风速的影响，的值取），已知小杰家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间． (2)小华说他家所住楼层的高度是小杰家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小杰家抛出，从他家抛出的物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的2倍，小华的说法正确吗？请说明理由． 夯实基础 一、单选题 1．计算：的值为（　　 ） A．5 B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．把所有的同类二次根式作为一组，则在二次根式、、、、中，同类二次根式有（       ）. A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 4．如图，边长为1的正方形网格图中，点，都在格点上，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．能够使与是同类最简二次根式的x值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 8．对于二次根式，以下说法不正确的是 A．它是一个正数 B．是一个无理数 C．是最简二次根式 D．它的最小值是3 二、填空题 9．计算： ． 10．计算的值为 ． 11．若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 12．化简： ． 13．计算： ． 14．若a是无理数的小数部分，则的值是 . 三、解答题 15．当时，求代数式x2－4x＋2的值． 16．计算： (1)； (2)． 17．计算： (1) (2) 18．已知x=+1，求x+1﹣的值． 20． 已知：，，求的值． 20．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时回到O港．已知快艇的速度是，求A，B之间的距离（精确到）． 能力提升 一、单选题 21．下列等式不成立的是（　　） A．3 B．=4 C． D． 22．能够使与是同类最简二次根式的x值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 二、填空题 23．比较大小 24．观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算： ． 三、解答题 25．计算： （1） （2） 26．化简计算： (1) ； (2) ； (3) ． (4)   1 学科网（北京）股份有限公司 $$