信息必刷卷03（江西专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷03（江西专用） 数学·参考答案 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 D A B C A D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上。 7． -2025 8． 六 9． 10． 11． 12． 或 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13.（6分） 【答案】解：（1）原式（3分） （2）， ， ∴或， 解得：．（6分） 14．（6分） 【答案】解：（1）③；（2分） （2） （4分） 当时，原式 （6分） 15．（6分） 【答案】解：（1）．（2分） （2）列表如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的结果有：，，共种， 甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的概率为 （列树状图解题也可）（6分） 16．（6分） 【答案】解：（1）如下图所示，均以AB为边作平行四边形，且面积为6． （3分） （2）如下图所示，均以AB为对角线作平行四边形，且面积为10． （6分） 17．（6分） 【答案】解：（1）把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为．（3分） （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ， 四边形的面积 ． （6分） 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（8分） 【答案】解：（1），，25．（3分） （2）七年级学生的视力情况更健康，理由如下： 因为七、八年级学生视力情况的平均数相等，但七年级学生视力情况的中位数和众数都大于八年级学生的，所以七年级学生的视力情况更健康．（5分） （3）（人）， 答：估计两个年级学生中视力正常的人数共有225人．（8分） 19．（8分） 【答案】解：（1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 答：购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．（3分） （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 答：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元．（8分） 20．（8分） 【答案】解：（1），， ， ， ， .（4分） （2）解：如图：过点作，垂足为， 过点作，垂足为， ，， 平分， 而 ∴在中，， 又， ， ∴在中，，， ， ， ， ， 到的距离为；（8分） 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21.（9分） 【答案】解：（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；（4分） （2）连接、， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．（9分） 22.（9分） 【答案】解：（1）①当时，，不合题意，舍去； 当时，， ∴，符合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，， ∴，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过；（3分） ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点， ∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为， ∵当时，该函数的最小值是， ∴；（6分） （2）当时代入：， 当时代入：， ∴， ∴， ∵， ∴即．（9分） 六、解答题（本大题共12分） 23.（12分） 【答案】解：（1）如图1， 连接BD，则BD平分∠ABC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠ABC=180°， ∵∠A=60°， ∴∠ABC=120°， ∴∠ABD=∠ABC=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AD=4， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， 由勾股定理得：DE=， ∵DC∥AB， ∴∠EDC=∠DEA=90°， 在Rt△DEC中，DC=4， EC=；（4分） （2） DM=2DQ,证明如下：如图2，（5分） 延长CD至H，使DH=CD，连接NH、AH， ∵AD=CD， ∴AD=DH， ∵CD∥AB， ∴∠HDA=∠BAD=60°， ∴△ADH是等边三角形， ∴AH=AD，∠HAD=60°， ∵△AMN是等边三角形， ∴AM=AN，∠NAM=60°， ∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM， ∴∠HAN=∠DAM， 在△ANH和△AMD中， ∴△ANH≌△AMD（SAS）， ∴HN=DM， ∵D是CH的中点，Q是NC的中点， ∴DQ是△CHN的中位线， ∴HN=2DQ， ∴DM=2DQ．（9分） （3）最小值为2．（12分） 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（江西专用） 考情速递 中考·新动向：①跨学科融合：试卷中出现了物理与数学结合的题目（如第4题水压问题），体现了跨学科的趋势，强调知识的综合应用能力.②创新情境：题目融入传统文化（如第2题蛇年图案、第10题古代数学趣题）和现代科技（如第19题新能源汽车销售），注重真实情境下的问题解决.③几何与函数结合：第6题反比例函数与二次函数图象的综合分析，以及第22题二次函数的动态性质探究，显示函数与几何结合的考查更加深入. 中考·新考法：①注重实际应用：未来试题可能进一步结合社会热点，如环保和现代科技（如第19题新能源汽车销售）设计情境题，强化数学建模能力.②强化几何证明：如第21题圆的切线与阴影面积计算，几何证明题可能增加综合性，需熟练掌握辅助线添加和性质应用. 命题·大预测：备考建议：①夯实基础：熟练掌握因式分解、函数图象、几何变换等核心知识点（如第1、3、5题）.②提升读图能力：加强图表分析训练，尤其是函数图象与几何图形的综合题（如第6、16题）.③强化跨学科思维：关注物理、生活实际与数学的结合，如压强、经济问题等.④重视传统文化：积累古代数学知识（如赵爽弦图、黄金矩形），可能成为命题素材. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算：（   ） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题主要查了有理数的乘法运算． 2．公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解决此题的关键． 3．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可得解． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意； D、，无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 4．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，压强与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快． 【详解】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大， 所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的图象数形结合是关键. 5．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，依此类推，若OA1=1，则△A2016B2016A2017的边长为（   ） A．22015 B．22016 C．2016 D．4032 【答案】A 【分析】由题意根据等边三角形的性质和∠MON=30°，可求得∠OB1A2=90°，可求得A1A2=2OA1=2，同理可求得OAn+1=2OAn=4OAn-1=…=2n-1OA2=2nOA1=2n，再结合含30°角的直角三角形的性质可求得△AnBnAn+1的边长，进而即可得出答案． 【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2=60°， ∵∠MON=30°， ∴∠OB1A2=90°，可求得A1A2=2OA1=2， 同理可求得OAn+1=2OAn=4OAn-1=…=2n-1OA2=2nOA1=2n  ， 在△OBnAn+1中，∠O=30°，∠BnAn+1O=60°， ∴∠OBnAn+1=90°， ∴BnAn+1= OAn+1= ×2n=2n-1  ， 即△AnBnAn+1的边长为2n-1  ， ∴△A2016B2016A2017的边长为22016-1=22015  ， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和OA1的关系是解题的关键． 6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　） A．AI B． C．AI D．、 【答案】D 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【详解】解：A、抛物线y＝a+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b<0．所以反比例函数y的图象位于第二、四象限，故本选项错误； B、抛物线y＝a+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的左侧，则a，b同号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误； C、抛物线y＝a+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误； D、抛物线y＝a+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．2025的相反数是 ． 【答案】 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2025的相反数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数的概念. 8． 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这是个正 边形． 【答案】六 【分析】根据正多边形中心角等于即可求解． 【详解】解：由题意得，边数为， 故答案为：六． 【点睛】本题考查了正多边形的边数与中心角的关系，掌握正多边形的中心角等于是解题的关键． 9．2025年3月，有3000多名记者报名采访全国两会，数量进一步增长，将数据3000用科学记数法表示是 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法即可得出答案． 10.古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼：买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据：“77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱”列方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用. 11．如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数、表示直角三角形的两条直角边，则 ． 【答案】 【分析】由勾股定理与正方形的性质得出，根据完全平方公式变形可得． 【详解】解：大正方形的边长为5，小正方形的边长为2， ，， ，即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、完全平方公式变形求值． 12． 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可． 【详解】解：分两种情况： ①边为矩形的长时，则矩形的宽为， 矩形的周长为：； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为：， 矩形的周长为； 综上所述，该矩形的周长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13．（1）计算：． （2）解方程： 【分析】(1)利用绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可． (2)根据因式分解法得出，即可求解．(公式法或者配方法也可) 【详解】解：（1）原式 （2）， ， ∴或， 解得：． 【点睛】（1）本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（2）本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 14．先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【分析】（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底； （2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底， 应为：； （2） 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 15．截至年月日，哪吒之魔童闹海成为全球动画电影票房冠军，该片还成为中国首部进入全球影史票房榜前十的动画电影班同学利用班会准备从“哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹”这四个人物中，各选一个进行人物分析，班长做了张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这个人物，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的人物进行讲解． (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到哪吒的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的概率． 【分析】（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到哪吒的结果有种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到哪吒的结果有种， 抽到哪吒的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的结果有：，，共种， 甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的概率为 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 16．如图，在的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点和点都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图． (1)图1中，以为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6； (2)图2中，以为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10． 【分析】(1)根据平行四边形的面积公式及对边平行的性质即可求解； (2)根据平行四边形的面积公式，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解：（1）如下图所示，均以AB为边作平行四边形，且面积为6． （2）如下图所示，均以AB为对角线作平行四边形，且面积为10． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、性质及平行四边形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 【分析】（1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）由题意知点坐标为，即可知，，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】解：（1）把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ， 四边形的面积 ． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．为了了解学生的视力健康情况，某校从七、八年级各随机抽取了20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行了整理和分析，得到下列信息：（视力情况共分为4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良） 抽取的20名七年级学生的视力情况数据为：4.9，4.9，4.7，4.8，4.7，4.8，5.0，5.1，5.1，5.2，4.9，4.9，4.9，4.9，4.8，4.5，4.5，4.8，5.0，4.6； 抽取的八年级学生的视力情况在C组的数据为：4.8，4.8，4.8，4.7，4.8，4.8，4.7，4.8； 抽取的七、八年级学生的视力情况数据统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 4.85 4.9 a 八年级 4.85 b 4.8 (1)填空：______，______，______． (2)根据以上数据，你认为该校七年级和八年级学生的视力情况谁更健康？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校七年级共有学生400人，八年级共有学生500人，请估计两个年级学生中视力正常的人数共有多少人？ 【分析】（1）根据众数的定义即可得的值；先求出在抽取的20名八年级学生的视力数据中，组的人数，再利用组的人数除以20即可得的值；根据中位数的定义即可得的值； （2）从平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得； （3）利用七年级学生总人数乘以组人数所占的百分比、八级学生总人数乘以组人数所占的百分比，相加即可得． 【详解】解：（1）在抽取的20名七年级学生的视力数据中，出现的次数最多， ∴众数． 在抽取的20名八年级学生的视力数据中，组的人数为（人），组的人数为8人，组的人数为（人），组的人数为（人）， ∴， ∴． 将抽取的20名八年级学生的视力数据按从小到大进行排序后，第11个数和第10个数的平均数即为中位数， ∵，， ∴中位数． 故答案为：，，25． （2）七年级学生的视力情况更健康，理由如下： 因为七、八年级学生视力情况的平均数相等，但七年级学生视力情况的中位数和众数都大于八年级学生的，所以七年级学生的视力情况更健康． （3）（人）， 答：估计两个年级学生中视力正常的人数共有225人． 【点睛】本题考查了平均数、中位数与众数、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 19．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【分析】（1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】解：（1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 答：购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 答：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元． 【点睛】本题主要考查了二元一次不等式组的应用以及一元一次不等式组的应用． 20．“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子 可整体绕点所在的轴旋转．现测得，，，，． (1)如图3，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【分析】（1）根据题意，可以求解和的度数，根据，求得，即可求解； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据平分，求得，求得的度数，进而求得的长度，从而求解． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， 故； （2）解：如图：过点作，垂足为， 过点作，垂足为， ，， 平分， 而 ∴在中，， 又， ， ∴在中，，， ， ， ， ， 到的距离为； 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21．如图，在△ABC中，是的直径，C是上一点，在上找一点D，使得，连接，过点C作的垂线，垂足为E． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】解：（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）连接、， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握切线的判定是解决本题的关键． 22．对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2) 若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 【分析】（1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是； （2）由，得到，因为，所以，解得． 【详解】解：（1）①当时，，不合题意，舍去； 当时，， ∴，符合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，， ∴，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点， ∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为， ∵当时，该函数的最小值是， ∴； （2）当时代入：， 当时代入：， ∴， ∴， ∵， ∴即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值． 六、解答题（本大题共12分） 23．在菱形中，． （1）如图1，点为线段的中点，连接，．若，求线段的长． （2）如图2，为线段上一点（不与，重合），以为边向上构造等边三角形△AMN，线段与交于点，连接，，为线段的中点．连接，，判断与的数量关系，并证明你的结论． （3）在（2）的条件下，若，请你直接写出的最小值． 【分析】（1）如图1，连接对角线BD，先证明△ABD是等边三角形，根据E是AB的中点，由等腰三角形三线合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的长； （2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△ADH是等边三角形，再由△AMN是等边三角形，得条件证明△ANH≌△AMD（SAS），则HN=DM，根据DQ是△CHN的中位线，得HN=2DQ，由等量代换可得结论． （3）先判断出点N在CD的延长线上时，CN+DM最小，最小为CH，再判断出∠ACD=30°，即可用三角函数求出结论． 【详解】解：（1）如图1， 连接BD，则BD平分∠ABC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠ABC=180°， ∵∠A=60°， ∴∠ABC=120°， ∴∠ABD=∠ABC=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AD=4， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， 由勾股定理得：DE=， ∵DC∥AB， ∴∠EDC=∠DEA=90°， 在Rt△DEC中，DC=4， EC=； （2）DM=2DQ,证明如下：如图2， 延长CD至H，使DH=CD，连接NH、AH， ∵AD=CD， ∴AD=DH， ∵CD∥AB， ∴∠HDA=∠BAD=60°， ∴△ADH是等边三角形， ∴AH=AD，∠HAD=60°， ∵△AMN是等边三角形， ∴AM=AN，∠NAM=60°， ∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM， ∴∠HAN=∠DAM， 在△ANH和△AMD中， ∴△ANH≌△AMD（SAS）， ∴HN=DM， ∵D是CH的中点，Q是NC的中点， ∴DQ是△CHN的中位线， ∴HN=2DQ， ∴DM=2DQ． （3）如图2，由（2）知，HN=DM， ∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小， 即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小， 此时，点D和点Q重合， 即：CN+DM的最小值为CH， 如图3， 由（2）知，△ADH是等边三角形， ∴∠H=60°． ∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴∠ACD=∠BCD=∠BAD=30°， ∴∠CAH=180°-30°-60°=90°， 在Rt△ACH中，CH==2， ∴DM+CN的最小值为2． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明△≌△是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（江西专用） 考情速递 中考·新动向：①跨学科融合：试卷中出现了物理与数学结合的题目（如第4题水压问题），体现了跨学科的趋势，强调知识的综合应用能力.②创新情境：题目融入传统文化（如第2题蛇年图案、第10题古代数学趣题）和现代科技（如第19题新能源汽车销售），注重真实情境下的问题解决.③几何与函数结合：第6题反比例函数与二次函数图象的综合分析，以及第22题二次函数的动态性质探究，显示函数与几何结合的考查更加深入. 中考·新考法：①注重实际应用：未来试题可能进一步结合社会热点，如环保和现代科技（如第19题新能源汽车销售）设计情境题，强化数学建模能力.②强化几何证明：如第21题圆的切线与阴影面积计算，几何证明题可能增加综合性，需熟练掌握辅助线添加和性质应用. 命题·大预测：备考建议：①夯实基础：熟练掌握因式分解、函数图象、几何变换等核心知识点（如第1、3、5题）.②提升读图能力：加强图表分析训练，尤其是函数图象与几何图形的综合题（如第6、16题）.③强化跨学科思维：关注物理、生活实际与数学的结合，如压强、经济问题等.④重视传统文化：积累古代数学知识（如赵爽弦图、黄金矩形），可能成为命题素材. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算：（   ） A．2 B． C．15 D． 2．公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C．D． 3．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C． D． 5．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，依此类推，若OA1=1，则△A2016B2016A2017的边长为（   ） A．22015 B．22016 C．2016 D．4032 6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　） A．AI B．AI C．AI D．AI 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．2025的相反数是 ． 8． 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这是个正 边形． 9．2025年3月，有3000多名记者报名采访全国两会，数量进一步增长，将数据3000用科学记数法表示是 ． 10．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼：买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为 ． 11．如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数、表示直角三角形的两条直角边，则 ． 12．我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 ． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13．（1）计算：； （2）解方程：． 14．先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 15．截至年月日，哪吒之魔童闹海成为全球动画电影票房冠军，该片还成为中国首部进入全球影史票房榜前十的动画电影班同学利用班会准备从“哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹”这四个人物中，各选一个进行人物分析，班长做了张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这个人物，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的人物进行讲解． (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到哪吒的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的概率． 16．如图，在的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点和点都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图． (1)图1中，以为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6； (2)图2中，以为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．为了了解学生的视力健康情况，某校从七、八年级各随机抽取了20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行了整理和分析，得到下列信息：（视力情况共分为4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良） 抽取的20名七年级学生的视力情况数据为：4.9，4.9，4.7，4.8，4.7，4.8，5.0，5.1，5.1，5.2，4.9，4.9，4.9，4.9，4.8，4.5，4.5，4.8，5.0，4.6； 抽取的八年级学生的视力情况在C组的数据为：4.8，4.8，4.8，4.7，4.8，4.8，4.7，4.8； 抽取的七、八年级学生的视力情况数据统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 4.85 4.9 a 八年级 4.85 b 4.8 (1)填空：______，______，______． (2)根据以上数据，你认为该校七年级和八年级学生的视力情况谁更健康？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校七年级共有学生400人，八年级共有学生500人，请估计两个年级学生中视力正常的人数共有多少人？ 19．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 20．“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子 可整体绕点所在的轴旋转．现测得，，，，． (1)如图3，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21．如图，在△ABC中，是的直径，C是上一点，在上找一点D，使得，连接，过点C作的垂线，垂足为E． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积． 22．对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23．在菱形中，． （1）如图1，点为线段的中点，连接，．若，求线段的长． （2）如图2，为线段上一点（不与，重合），以为边向上构造等边三角形△AMN，线段与交于点，连接，，为线段的中点．连接，，判断与的数量关系，并证明你的结论． （3）在（2）的条件下，若，请你直接写出的最小值． 2 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