专题12【真题演练】探索规律

密学科同·短子学 www,2x×k.C0m 让学习更高效 【真题演练·专题12】 探索规律 基础 题 1.一串数：2、3、6、11、18是按某种规律排列的，这串数左起第112个是（）。 A.10100 B.12321 C.12323 D.1321 2.将从1开始的连续自然数依次排列成如图所示的形式。观察规律，第20行的第3个数是 ) 6 9 10 3.找规律：1,2,5,13,34,89， 4.将2004名同学排成一行，先从左到右依次按1,2,3,1,2,3,1,2,3…的顺序报数， 再从右到左依次按1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4…的顺序报数。那么两次都报“1的 同学共有 人。 5.下面是一串字母的若干次变换。 ABC DE F G H IJ 第一次变换后为BCDAFGHIJE 第二次变换后为CDABGH I J EF 第三次变换后为DABCHIJEFG 第四次变换后为ABCDIJEFGH …… 至少经过 次变换后才会再次出现“A,B,C,D,E,F,G,H,I,J。 6.如图：一张正方形桌子能围坐8人，两张正方形桌子拼在一起能围坐12人，三张正方形桌 子拼在一起能围坐( )人，n张正方形桌子拼在一起能围坐( )人。 00 00O0 88 8 oo oo oo 7.7个圆圈内各填一个数，使得每条直线上的3个数，居中的那个都是旁边两个数的平均数， 现在已经填好了两个，那么a=( )。 1 多学科同·短子学 www,Z××k.C0m 让学习更高效 13 有卡椒程器这*起数 ) 个分数是品 中等题 9.下面是2020年8月份日历表，8月1日是星期六。 (1)9月1日是星期几？ (2)10月1日是星期几？ (3)2028年的六一儿童节是星期几？ 2020年8月 日 二 四 五 六 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 10.例如：a1表示12的个位数字，即a1=1: a2表示2的个位数字，即2=4： a表示32的个位数字，即a=9: a4表示4的个位数字，即a4=6: 2 金学科同·短子学 www,Zx×k.C0m 让学习更高效 则a1+a2+a+a4+…+a20o1十a2012十a2013= 11.现有两个大小相同的容器A和B(容器足够大)，其中容器A注入了2015升水，容器B 是空的。按如下过程进行操作：第一次将容器A中，的水倒入容器B中，第二次将容器B中 的水倒入容器A中，第三次将容器A中的水入容器B中：第四次将容器B中的水倒 入容器A中…第2014次将容器B中 2015的水倒入容器A中，最后容器B中的水有 升。 12.把非零自然数按一定的规律排列如下表： 1 32 456 10987 1112131415 212019181716 22232425262728 则自然数2007在表中的位置是 行列。 13.将1~99的99个整数按从小到大的顺序排列如下：1234567891011121314…9899，相邻两 个数码的距离都是1厘米。现有黑、白两只电动跳蚤，每秒都跳1厘米，黑跳量从左端“1出 发，白跳量从右端9"出发，两只跳蚤同时出发，它们会在数码 相遇。 14.根据前三个方格表中阴影部分的变化规律，则第(10)个方格表中阴影小正方形纳的几个 数字之和为。 (未画阴影) 9 101112 13141516 (1) (2) (3) (10) 15.将152个数放在一个圆周上，任意连续20个数之和等于95，且知道第73号位置的数为3， 第43号位置的数为4，第120号的数为5。那么第102号的数是 16.50枚棋子围成圆圈，编上号码1、2、3、4、…50，每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留 3 多学科网·短子学 www.ZX×k.C0m 让学习更高效 下的枚棋子的号码是40号，那么该从( )号棋子开始取。 困难题 17.在圆周上任意给定2011个点，在圆内再选2009个点，以这4020个点为顶点构成的彼此 不重叠的三角形最多有 个。 18.自然数的平方按从小到大的顺序排成一个多位数：14916253649…，第190个数位上的数 字是。 19.现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1~365，如果按照数字从小到大逆时针 方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出 365周围的部分。 (1)在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“ד。 (2)在其他位置填上与365相邻的数字。 13 365 10 图1 图2 20.某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车 由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1 个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 几个？ 21.把一张纸剪成6块，从中取几块，将每一块又剪成6块，再任取几块，又将每一块剪成6 块…如此剪下去，经过有限次后，能否恰好剪成2009块？说明理由。 22.现有a(a>50)根长度相同的小棒，按图1摆放恰好可以摆成（2m+1)个三角形，按图 4 多学科同·短子学 Www,Z××k.C0m 让学习更高效 2摆放恰好可以摆成2如个小正方形。 (1)求a的最小值； 图1 图2 (2)若这a根小棒还可以按图3恰好摆成p个五边形，且a<200,求a的最大值。 23.对任意一个三位数，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数 为“相异数”，将一个“相异数任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把 这三个新三位数的和与111的商记为F(n)。例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213， 对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和 为213+321+132=666,666-111=6，所以F(123)=6。 (1)计算：F(243),F(617): (2)若s,t都是“相异数"，其中s=100x+32,t=150十y(1≤9,1y9,x,y都是正整数)， 规定：k= F(s F() ,当F(s)+F()=18时，求k的最大值。 5 多学科同·短子学 Www,Z××k.C0m 让学习更高效 24.探究与发现。 (1)以等边三角形的中心点为圆心画圆，根据所画的圆与等边三角形各边交点的个数情况， 可以画出不同的圆，请你试着画一画并填空。 )个交点 ()个交点 ()个交点 (2)连接交点与中心点，最多有()条相等的线段。 (3)如果分别以正方形、正五边形、正六边形的中心点为圆心画圆，连接交点与中心点，最 多有多少条相等的线段？试着画一画并填表。 正方形 正五边形 正六边形 图形 最多相 等线段 ( () () ( 的条数 通过以上研究，我发现： ( 25.如图1，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律。 图2 (1)探索上述规律，用含有m,n的代数式表示P=( (2)如果在上述规律中，有一幅图如图2所示，请根据上述探索的规律求字母x的值。 6学科网·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【真题演练·专题12】探索规律 答案解析 1.C 2. 193 3. 233 4.167 5. 12 6.16 4n+4 7.19 8.111 9.(1)星期二(2)星期四(3)星期四 10.9059 11.1007 12. 63 54 13.2 14. 34 15.7 16.5 17. 6027 18.3 19.(1)如下图所示 5443 十 X 7 6 365 △ 78910 + 图1 图2 (2)如下图所示: 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 293× 292365 x △ 78910 291364 + 图1 图2 20.110个 21. 不能经过有限次操作,将一张纸恰好剪成2009块,因为2009被5除余4,余数不是1 22.(1)67;(2)147 23.(1)9;14(2) # 24. (1) (0)个交点 (6)个交点 (3)个交点 (2)6; (3) 8;10;12;14;16;无数;以图形中心点为圆心画圆,连接交点与中心点,最多相等线段的 条数是图形边的条数的2倍 25.(1)(n+1)×m;(2)-0.6 1.C 【分析】根据题意:从前面的几个数可以得出:相邻的两个数的差依次是1,3,5,7,..., 所以得到第1个数;2;第2个数;2+1=3;第3个数;2+1+3=6;第4个数:2+1+3+5 P 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 -11;第5个数:2+1+3+5+7=18;可得出第n个数:2+(n-1),题目中要求第112 个数,即把n一112代入式子即可。 【详解】第1个数:2;第2个数:2+1-3;第3个数:2+1+3-6;第4个数:2+1+3+5 =11;第5个数:2+1+3+5+7=18 2,3,6,11,18,.....的差为1,3,5,7,...,可得当第n个数是:2+(n-1)* 当n-112时 2+(112-1); =2+111×111 -2十12321 -12323 故答案为:C。 【点晴】通过观察,分析,归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题。 2. 193 【分析】由图可知第1行有1个数,第2行有2个数,第3行有3个数,由此规律可得第1 行有19个数;且第19行最后-个数为(1+2+3+4+5+...+18+19),计算出第19行的最 后一个数,则第20行的第3个数为第19行最后一个数+3,据此解答 【详解】1+2+3+4+5+...+18+19 =(1+19)×(19-2) -20×9.5 =190 190+3-193 因此第20行的第3个数是193。 【点晴】解答本题的关键是计算出第19行的最后一个数,结合排列规律可知,第20行的第3 个数等干第19行最后-个数加上3得到 3. 233 【分析】诵过观察可知,2×2+1=5,5×2+1+2=13,13×2+1+2+5=34......以此类推 从第二项开始,每项乘以2再加上前面所有的项,得后一项。据此解答。 【详解】89×2+1+2+5+13+34 =178+1+2+5+13+34 n 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 -233 1, 2,5,13,34,89,233。 【点睛】本题属于较难题,需要善于从复杂的数据中发现规律。 4.167 【分析】根据题意可知,2004是4的倍数,所以同学从右到左依次按1,2,3,4,1,2,3, 4, 1,2,3,4...的顺序报数,相当于从左到右按4,3,2,1,4,3,2,1.的顺序报数;报 数情况从左到右如下 1, 2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3 4, 3,2,1,4,3,2,1,4,3,2,1,4,3,2,1,4,3,2,1. 通过观察发现,从左到右第4位同学报两次“1”,之后每12位出现报两次“1”,所以用2004 一4求出第5位到第2004位有多少位同学,也就是2000位同学,再用2000一12即可求出2000 里面有几个12,商是166,余数是8,所以166加上1即可求出多少位同学报两次“1”。 【详解】2004一3一2001(人) 2001-12-166(个)....9(人) 166+1-167(人) 两次都报“1”的同学共有167人。 【点晴】本题可通过列举从左往右报的数,找出它们出现的规律进行解答即可 5.12 【分析】通过观察可知,前面四个字母每4次变换才可以出现“A,B,C,D”,后面六个字母 每6次变换才可以出现“E,F,G,H,I,J”,要求至少变换多少次才会同时出现“A,B,C. D, E,F,G,H,I,J”,就是求4和6的最小公倍数,根据求两个数的最小公倍数的方法 如果这两个数既不是倍数关系,也不互质,则先将这两个数分别分解质因数,最小公倍数是两 个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。 【详解】4-2×2 6-2×3 2×2×3=12 至少经过12次变换后才会再次出现“A,B,C,D,E,F,G,H,I,J”。 【点睛】本题考查了周期问题和最小公倍数的灵活应用,掌握相应的计算方法是解答本题的关 键。 16 6. 4n+4 【分析】根据题意,1张桌子可以坐8人可以写成1x4+4-8(人),2张桌子可以坐12人可 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 以写成2x4+4=12(人),n张桌子就可以坐(4n+4)人, 由此即可解决问题。 【详解】1张桌子可以坐8人可以写成1x4+4-8(人) 2张桌子可以坐12人可以写成2x4+4=12(人). 3张桌子可以坐16人可以写成3x4+4=16(人); 则张桌子就可以坐(4n+4)人 三张桌子拼在一起,能围坐(16)人,如果n张桌子拼在一起,能围坐(4n+4)人。 【点睛】此类规律题一定要注意结合图形进行分析,发现规律:每多一张桌子,多坐4人,从 而得出n张桌子可以坐(4n土4)人 7.19 【解析】如图,可以求出最下面一行是中间的数是15,然后设A处的数是x.可以通过x表示 出其它位置的数,然后列方程求解 【详解】如图所示: (13+17)-2=15 A=t,B=2x-15,$C=2x-17,$D=2x-13$ 2(2x-17)-13+2x-15 x-16 16x2-13=19 所以-19。 【点睛】本题考查的是数阵图问题,合理设未知数是求解问题的关键。 8. 111 【分析】观察此数列知道,分母是1的分数有1个,分母是2的分数有3个,分母是3的分数 _ 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 有5个,分母是4的分数有7个...由此得出在这个数列里,以n为分母的数的数量成一列奇数 列,那么以分母为10的分数共有2×10-1=19,由此求出从第1+3+5+7+9...+17+19个 果加上11即可。 【详解】(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)+11 =(1+19)×10-2+11 =20×10-2+11 -100+11 -111 【点晴】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力,对于找规律的题目首 先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的。 9.(1)星期二(2)星期四(3)星期四 【分析】一个星期是7天,因此7天为一个周期,1~7日为-个周期;1日是星期六,那么7 日是第一个周期的最后一天,是星期五,为了计算天数的方便,采用“算头不算尾”或“算尾 不算头”的方法;在算2020年9月1日、10月1日及2028年6月1日是星期几时要注意准 确算出各经过了多少天;公历年份是4的倍数的一般都是国年,但年份是100的倍数时,必须 是400的倍数才是国年;平年全年有365天,国年全年有366天;其中2024年和2028年是国 年,2月有29天;1、3、5、7、8、10、12月,每月31天;4、6、9、11月,每月30天;2 月平年28天,国年29天; (1)8月有31天,那么8月1日到9月1日共有(31十1)天,除以7计算出的结果有余数 余数是几,就是这个周期中的星期几 (2)8月有31天,9月有30天,那么8月1日到10月1日共有(31十30十1)天,除以7计 算出的结果有余数,余数是几,就是这个周期中的星期几 (3)2020年8月1日至2020年12月31日有30+31+30+31=153(天),2021年、2022 年、2023年、2025年、2026年、2027年各有365天;2024年和2028年是国年,国年全年366 天,2月有29天,所以2028年1月1日至6月1日共有31+29+31+30+31+1=153(天) 将所有天数相加,再除以7计算出的结果有余数,余数是几,就是这个周期中的星期几;据此 解答。 ,_ 学科网·短子学 www.zxxk.com 让学习更高 【详解】(1)星期六、星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五,7天一个周期 8月有31天 (31+1)-7 -32-7 -4...4 答:9月1日是星期二。 (2)8月有31天,9月有30天 (31+30+1)-7 -62-7 -8.....6 答:10月1日是星期四。 (3)2020年8月1日至2020年12月31日:30+31+30+31=153(天) 2021年、2022年、2023年、2025年、2026年、2027年:各有365天 2024年有366天 2028年1月1日至6月1日:31+29+31+30+31+1=153(天) 153+365+365+365+366+365+365+365+153)-7 -2862-7 -408.....6 答:2028年的六一儿童节是星期四 【点晴】注意7天为一个周期,以及掌握平年、国年的判断方法,和平年、国年的天数,每月 的天数,是解答本题的关键。 10.9059 【分析】1-1,2-4,3=9,4 =16,5=25,6--36,7*=49,8=64,=8$1,10 - 0 0$ 每10个数组成一个周期,周期内数的个位分别是1、4、9、6、5、6、9、4、1、0,每个周期 内10个数的个位之和是1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45。用2013除以10,所得的商表 示有几个周期,余数是几,就数出周期中的前几个数字。用45乘周期的数量,再加上余数表 示的几个数字,即可求出式子的和。 【详解】1-1 _ 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $$-25 $$ *-36 $ 7--49 8:-64 g-81 10*-100 1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45 2013-10=201......3 45×201+1+4+9 =9045+1+4+9 -9059 则a+a.+a.+a+...+a..+a.+a.=9059 【点晴】本题考查周期问题。以10个数为周期,求出每个周期内10个数字的个位之和是解题 的关键。 11.1007 【分析】从题目中可以分析出,两个容积的总体积不变,可以设为a升,即a一2015升。 2 第二次将容器B中的的水倒入容器A中,此时将B容器的水看成单位“1”,则B容器的水 # 3 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 第四次将容器B中的水倒入容器A中,此时A容器的水为 5 ...... 2014 -的水倒入容器A中,则B容器还剩下 ,用乘法得出B容器的水。 2015 【详解】第一次操作:A: 第二次操作:A:a--2(),B.1-1)。 (升) ###(1-)-(,B. --a() 第三次操作:A: 3 ...... 10 第2014次操作:B: 2015)201(升) 1007 2015 x2015=1007 (升) 则最后容器B中的水有1007升。 【点睛】当题目中的条件比较复杂的时候,可以先按照题目的要求找出题目中的规律,再按照 规律做此类型的题目。 12. 3 54 【分析】从规律上来看,第一排是1个数,第二排是2个数,第三排是3个数....,则一共有 n个数字=1+2+3+4+...+n=n(n+1)-2,则当n=63时,则一共有2016个数字,且第 63行有63个数字,则62行前一共有1953个数。则第2007就是一共有2007个数字,则前62 行时,有1953个数。 继续观察,每排的第-个数字是1、3、4、10、11、21、22......也就是两个奇数,两个偶数的 { 学科网·短子学 www.zxxk.com 让学习更高效 排列顺序,4个数为一组,第62排里面有15组余2个,则第62排的第-个数字是奇数,1953 正好是奇数,则1953是第62排的第一列数,1954就是63排的第-个数。最后2007就在63 行,往后第54个数 【详解】63×(63+1)-2 =63×64-2 -2016(个) 2016-63=1953(个) 62-4-15(组)......2(个) 2007-1954+1 -53十1 -54(个) 则自然数2007在表中的位置是63行54列。 【点晴】等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d 表示。计算等差数列求和公式:S.一(首项+末项)×项数一2。 13.2 【分析】通过题意可知,一位数有9个,两位数有90个,据此可知,共有(9×1+90×2)个 数码,相邻两个数码的距离都是1厘米,所以用(数码总数一1)×1即可求出总长度,根据 相遇时间一路程和一速度和,用总长度除以两只跳量的速度和,即可求出相遇时间,即94秒 据此先计算出,黑跳量跳到50的数码“0”需要(9×1+41×2一1)秒,即90秒,还需(94 一90)秒,即4秒,所以需要再跳4厘米,也就是4个数码,50后面的4个数码分别是5152 所以黑跳圣跳到数码2 【详解】9×1+90×2 -9十180 -189(个) (189-1)×1 =188x1 =188(厘米) 相遇时间: 10