11.2 反比例函数的图像与性质第1课时（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

11.2 反比例函数 的图像与性质 第11章 反比例函数 第1课时 苏科版 八年级 数学 下册 教学目标 01 能画反比例函数的图像 02 根据图象和表达式y = k/x (k≠0)探索并理解k>0和k<0时图像的变化情况 03 能根据已知条件确定反比例函数的表达式 反比例函数 的图像与性质 &表达式 01 课堂引入 我们已经知道，一次函数y = kx + b (k、b为常数，k ≠ 0) 的图像是一条直线。 反比例函数y = ( k为常数，k ≠ 0 )的图像是怎样的图形呢？ 思 考 02 知识精讲 根据反比例函数表达式y = ，可以描述这个函数的图像具有的一父 些特征。试回答下列问题： ( 1 ) x、y的值可以为0吗？ 这个函数的图像与x轴、y轴有交点吗？ ( 2 ) x、y所取值的符号有什么关系？ 这个函数的图像会在哪几个象限？ ( 3 ) 当x > 0时 , 随着x的增大(减小)，y怎样变化？ 当x < 0时，随着x的增大(减小)，y怎样变化？ 这个函数的图像与x轴、y轴的位置关系有什么特征？ x、y的值不可以为0 函数的图像与x轴、y轴没有交点 x、y所取值的符号相同 函数的图像在一、三象限 当x > 0时 , 随着x的增大，y会减小； 当x < 0时，随着x的增大，y会减小 函数的图像只是无限靠近两坐标轴，不会与x轴、y轴相交 操 作 02 知识精讲 画反比例函数y = 的图像。 列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算函数y对应的值。 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 连线：用平滑的曲线顺次连接第一象限内的各点，得到图像的一 支； 顺次连接第三象限内的各点，得到图像的另一支。 两支合在一起就是反比例函数y = 的图像。 x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … y = … … -1 - -2 -3 -6 6 3 2 1 操 作 02 知识精讲 x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … y = … -1 - -2 -3 -6 6 3 2 1 … 尝 试 02 知识精讲 根据反比例函数表达式y = -，说出它的图像具有的特征，并在图中画出它的图像(图在下一页PPT)。 解：x、y的值不可以为0； 函数的图像与x轴、y轴没有交点。 x、y所取值的符号相反； 函数的图像在二、四象限。 当x > 0时 , 随着x的增大，y会增大；当x < 0时，随着x的增大，y会增大； 函数的图像只是无限靠近两坐标轴，不会与x轴、y轴相交。 尝 试 02 知识精讲 x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … y = - … … 列表： 描点： 连线： 1 2 3 6 -6 -3 -2 - -1 y = - 02 知识精讲 反比例函数的图像： 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表——描点——连线。 ( 1 ) 列表取值时，∵x = 0函数无意义，∴x ≠ 0， 为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值， 即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。 ( 2 ) 连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接， 切忌画成折线。 ( 3 ) ∵x ≠ 0，k ≠ 0，∴y ≠ 0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交， 只是无限靠近两坐标轴。 练 习 02 知识精讲 画出反比例函数y = 、y = -的图像： 列表： x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … y = … … - -1 - -2 -4 4 2 1 练 习 02 知识精讲 画出反比例函数y = 、y = -的图像： 描点： 连线： y = 练 习 02 知识精讲 画出反比例函数y = 、y = -的图像： x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … y = - … … 1 2 4 -4 -2 - -1 - 列表： 练 习 02 知识精讲 画出反比例函数y = 、y = -的图像： 描点： 连线： y = - 思 考 02 知识精讲 反比例函数y = ( k为常数，k ≠ 0 )的图像有什么特征？ 要分k > 0、k < 0两种情况讨论。 02 知识精讲 反比例函数的性质： 反比例函数为y = ( k为常数，k ≠ 0 )的图像是双曲线。 当k > 0时，双曲线的两支分别在第一 、 三象限， 在每一个象限内， y随x的增大而减小； 当k < 0时，双曲线的两支分别在第二 、 四象限， 在每一个象限内， y随x的增大而增大。 02 知识精讲 例1 已知反比例函数的图像经过点A ( 2，-4 )。 ( 1 ) 求k的值； ( 2 ) 函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ ( 3 ) 画出函数的图像； ( 4 ) 点B ( ，-16 )、C (- 3，5 )在这个函数的图像上吗？ 解：( 1 ) ∵函数y = 的图像经过点A ( 2，-4 )， 把x = 2、y = -4代入y = ，得-4 = ，解得k = -8； ( 2 ) ∵k = -8 < 0，由反比例函数的性质可知，函数y = -的图像在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大； 02 知识精讲 例1 已知反比例函数的图像经过点A ( 2，-4 )。 ( 3 ) 画出函数的图像； ( 4 ) 点B ( ，-16 )、C (- 3，5 )在这个函数的图像上吗？ ( 3 ) 函数y = -的图像如图； 02 知识精讲 例1 已知反比例函数的图像经过点A ( 2，-4 )。 ( 4 ) 点B ( ，-16 )、C ( -3，5 )在这个函数的图像上吗？ ( 4 ) 把x = 代入y = -，得y = -16， 点B ( ，-16 )在函数y = -的图像上； 把x = -3代入y = -，得y = ， 点C ( -3，5 )不在函数y = -的图像上。 02 知识精讲 待定系数法求反比例函数的表达式： ( 1 ) 设出含有待定系数的表达式y = ( k为常数，k ≠ 0 )； ( 2 ) 把已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式， 得到待定系数的方程； ( 3 ) 解方程，求出待定系数； ( 4 ) 写出表达式。 探 索 02 知识精讲 在图中，画点A ( 4，-2 )，点A在函数y = -的图像上吗？ 写出点A关于原点O对称的点A’的坐标， 点A’在函数y = -的图像上吗？ 解：点A在函数y = -的图像上； 点A关于原点O对称的点A’的坐标为( -4，2 )， 点A’在函数y = -的图像上。 探 索 02 知识精讲 在函数y = -的图像上任取一点B， 点B关于原点O的对称点B’在这个图像上吗？ 解：点B关于原点O的对称点B’在这个图像上。 反比例函数的两支图像关于原点对称。 探 索 02 知识精讲 如图，点A ( 4，-2 )在函数y = -的图像上， 写出点A关于y = x对称的点A’’的坐标， 点A’’在函数y = -的图像上吗？ 解：点A关于y = x对称的点A’’的坐标为( -2，4 )， 点A’’在函数y = -的图像上。 反比例函数的两支图像关于y = x对称。 探 索 02 知识精讲 如图，点A ( 4，-2 )在函数y = -的图像上， 写出点A关于y = -x对称的点A’’’的坐标， 点A’’’在函数y = -的图像上吗？ 解：点A关于y = x对称的点A’’的坐标为( 2，-4 )， 点A’’’在函数y = -的图像上。 反比例函数的两支图像关于y = -x对称。 02 知识精讲 反比例函数图像的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 对称轴分别是：① 二、四象限的角平分线y = -x， ② 一、三象限的角平分线y = x； 对称中心是：坐标原点。 练 习 02 知识精讲 1.反比例函数① y = 、② y = 、③ 7y = -、④ y = 的图像中： ( 1 ) 在第一、三象限的是________， 在第二、四象限的是________； ( 2 ) 在其所在各个象限内，y随x的增大而增大的是________。 ①②④ ③ ③ 练 习 02 知识精讲 2.已知反比例函数的图像经过点A ( -6，-3 )。 ( 1 ) 确定这个反比例函数的表达式； ( 2 ) 函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ ( 3 ) 点B ( 4， )、C ( 2，-5 )在这个函数的图像上吗？ 解：( 1 ) ∵函数y = 的图像经过点A ( -6，-3 )， ∴-3 = ，解得k = 18，∴y = ； ( 2 ) ∵k = 18 > 0，∴函数y = 的图像在第一、三象限， 在每一个象限内，y随x的增大而减小； 练 习 02 知识精讲 2.已知反比例函数的图像经过点A ( -6，-3 )。 ( 3 ) 点B ( 4， )、C ( 2，-5 )在这个函数的图像上吗？ ( 3 ) 把x = 4代入y = ，得y = ， 点B ( 4， )在函数y = 的图像上； 把x = 2代入y = ，得y = 9， 点C ( 2，-5 )不在函数y = 的图像上。 例1 03 典例精析 一次函数y = kx - k与反比例函数y = 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：当k > 0时，一次函数y = kx - k的图象过一、三、四象限， 反比例函数y = 的图象在一、三象限， 当k < 0时，一次函数y = kx - k的图象过一、二、四象限， 反比例函数y = 的图象在二、四象限， ∴A、C、D不符合题意，B符合题意。 B 例2 03 典例精析 关于反比例函数y = -的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点( 1，1 ) B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x < 0时，y随x的增大而减小 解：A、∵1 × 1 = 1 ≠ -1，∴图象不经过点( 1，1 )，×； B、∵k = -1 < 0，∴两个分支分布在第二、四象限，√； C、两个分支关于y = x或y = -x轴成轴对称，×； D、当x < 0时，y随x的增大而增大，×。 B 例3 03 典例精析 已知y是x的反比例函数，且当x= 4时，y = 3。 ( 1 ) 写出y与x的函数表达式； ( 2 ) 根据函数图象，直接写出当2 ≤ x ≤ 3时y的取值范围。 解：( 1 ) ∵y是x的反比例函数，∴设y = ( k ≠ 0 )， ∵当x= 4时，y = 3，∴k = xy = 3 × 4 = 12， ∴y与x的函数表达式为：y = ； 例3 03 典例精析 已知y是x的反比例函数，且当x= 4时，y = 3。 ( 1 ) 写出y与x的函数表达式； ( 2 ) 根据函数图象，直接写出当2 ≤ x ≤ 3时y的取值范围。 ( 2 ) 函数y = 的图象如图所示： 当x = 2时，y = 6，当x = 3时，y = 4， 由图象可知：当2 ≤ x ≤ 3时，y随x的增大而减小， ∴4 ≤ y ≤ 6。 课后总结 反比例函数的图像： 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表——描点——连线。 ( 1 ) 列表取值时，∵x = 0函数无意义，∴x ≠ 0， 为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值， 即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。 ( 2 ) 连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。 ( 3 ) ∵x ≠ 0，k ≠ 0，∴y ≠ 0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 课后总结 反比例函数的性质： 反比例函数为y = ( k为常数，k ≠ 0 )的图像是双曲线。 当k > 0时，双曲线的两支分别在第一 、 三象限， 在每一个象限内， y随x的增大而减小； 当k < 0时，双曲线的两支分别在第二 、 四象限， 在每一个象限内， y随x的增大而增大。 待定系数法求反比例函数的表达式： ( 1 ) 设出含有待定系数的表达式y = ( k为常数，k ≠ 0 )； ( 2 ) 把已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得到待定系数的方程； ( 3 ) 解方程，求出待定系数； ( 4 ) 写出表达式。 课后总结 反比例函数图像的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 对称轴分别是：① 二、四象限的角平分线y = -x，② 一、三象限的角平分线y = x； 对称中心是：坐标原点。 苏科版 八年级 数学 下册 谢谢观看！ $$