精品解析：广东省肇庆市高要新桥中学2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题

2025届高中毕业班第二次模拟考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由共轭复数的概念得，进而根据复数的乘法运算可得. 【详解】由可得， 故， 故选：C 2. 若集合，集合，则的非空真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别确定集合，，再根据交集的定义求，再根据中元素的个数确定其非空真子集的个数. 【详解】因为集合 ， 集合， 则，所以的非空真子集个数为：个． 故选：B 3. 已知向量，，满足，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示以及模长公式列方程即可求得. 【详解】依题意可得， 所以，整理可得， 即可得，解得. 故选：C 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式和特值法，结合充分条件与必要条件的定义可得答案. 【详解】若，取，则，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， ∴若，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意直线与线段相交，求出直线过线段端点时的斜率即可得解. 【详解】由题意，点的轨迹为线段， 又直线过定点, 所以， 由题意，直线与线段相交， 所以或， 故选：C 6. 若 ，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再由二倍角公式及基本不等式求解. 【详解】因为，由诱导公式可得， 所以， 由知，， 所以，当且仅当即时，等号成立. 所以 的最大值为. 故选：C 7. 已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，点为轴上一点（，，三点不共线），满足的面积是面积的2倍，则直线的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线的方程为，联立，得，设，，因为的面积是面积的2倍，得，进而得到答案. 【详解】 由题意知，点，设直线的方程为，， 联立，得， 所以， 因为点为轴上一点，的面积是面积的2倍， 所以， 又因为三点共线， 所以，即， 即， 所以， 即， 所以， 故选：D. 8. 如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ） A. 这两个球体的半径之和的最大值为 B. 这两个球体的半径之和的最大值为 C. 这两个球体的表面积之和的最大值为 D. 这两个球体的表面积之和的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，设两圆的半径，则，，其中，表达出，，求导得到函数单调性，得到最值，并求出，令，函数在上单调递增，求出，得到答案. 【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切， 过底面圆的直径作截面， 如图所示，过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点作⊥AB，垂足为E， 过点作⊥OF，垂足为D． 设圆O的半径为R，圆的半径为r，当下面的球与上底面相切时，取得最大值， 此时为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为，内切球半径为， 故，故R的最大值为，且取最大值时， 三点共线，设，则， 则，解得， 所以，，，，. 因为，所以①， 整理得，解得， 令函数，， . 令函数，，所以是增函数. 又因为，，所以，， 所以，，，， 即，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为. 由①可得， 这两个球体的表面积之和为. 令，函数在上单调递增， 所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为. 故选：D． 【点睛】方法点睛： 立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D. 【详解】当时，由，得，解得， 当时，， 即， 即数列为以为首项，以为公比的等比数列， 则，，，所以A、C错误，B正确； 又， 数列的前10项和为： ，D正确. 故选：BD. 10. 已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，，，，，若，，成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 该组数据的中位数为4，众数是4 B. 该组数据的平均数为，分位数是5 C. 该组数据的平均数为3，方差小于3 D. 该组数据的极差为5，方差大于3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中条件，结合等差数列，中位数，众数，平均数，极差以及方差公式，即可得出答案． 【详解】选项A，因该组数据的众数是4，故至少有两个4，又成等差数列， 故，满足中位数为4，此时该组数据中没有点数6，故A正确； 选项B，因成等差数列，则，不妨设， 因该组数据的平均数为3，故，得，故， 因，故，故将5个数从小到大排列为， 因，故分位数是第4个数和第5个数的平均数，即， 故，故该组数据中有点数6，故B错误； 选项C，因成等差数列，则，不妨设， 因该组数据的平均数为3，故，得， 故，， 因，故，得， 由题意可知c可能取值为， 该组数据的方差为， 当时，，，方差为； 当时，，，方差为2； 当时，，，方差为， 故当方差小于3时，数据中没有点数6，故C正确； 选项D，因该组数据的极差为5，数据最小值为1，故该组数据中有点数6， 不妨取，且设，因成等差数列，则，即， 因，即，即， 由题意可知b可能取值为， 当时，，该组数据的平均为， 该组数据的方差为，符合方差大于3， 当时，，该组数据的平均为， 该组数据的方差为，符合方差大于3， 当时，，该组数据的平均为， 该组数据的方差为，符合方差大于3， 综上，该组数据中有点数6，D错误， 故选：AC. 11. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 在上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造，根据已知及奇偶性定义、导数研究函数的性质得到在R上单调递减，且时，时，，进而判断各项的正误. 【详解】令，而是定义在上的奇函数，则， ，即在R上也是奇函数， 而，当时，， 所以在上单调递减，结合奇函数性质知：在R上单调递减， 综上，时，时，，故， 显然时，故时，时， 所以在上有且只有1个零点，，，A、C、D对； 由，显然在上单调递增，且， 在上单调递减，在上单调递增，且周期为，， 所以在上不一定单调，B错. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理写出展开式的通项，利用赋值法求得参数，根据指定项，可得答案. 【详解】由可得其展开式通项， 令时，，可得，解得， 令时，. 故答案为：. 13. 若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，写出切线方程，依题转化成有两个不同得实数根.设，求得的单调区间和最大值即可得解. 【详解】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：， 因切线经过点，则，故有两个不同的实数根. 不妨设，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故，则，即，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为______；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质及双曲线的定义求出的值，再结合双曲线中的关系求出，从而可求出双曲线的离心率；对于求内切圆的半径，先求出直线的斜率，则可求出直线的方程，代入双曲线方程可求出点的坐标，从而可求出，然后利用三角形面积与周长关系求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形， 所以或， 所以，得， 所以，得，解得， 所以离心率为， 因为直线的斜率大于零，是腰长为8的等腰三角形， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以直线的斜率为， 因为，所以直线为， 由，得，解得或， 因为直线的斜率大于零，点在第一象限，所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 设圆的半径为，则， 所以，解得. 故答案为：2， 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率问题，考查双曲线的焦点三角形问题，解题的关键是根据题意结合双曲线的定义在等腰中求出直线的斜率，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的单调性和极值； （2）作出函数的大致图象．（参考数据：） 【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是，．极大值为1，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，由和得函数的单调区间，根据极值的定义即可求解； （2）利用（1）函数的单调性和极值即可作图，注意定义域. 【小问1详解】 由题意有：函数定义域为， 所以，令有或 由，得或；由，得且； 所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是，，所以函数的极大值为，函数的极小值为． 【小问2详解】 大致图象如图． 16. 在长方体中，，为的中点，平面，且． （1）求的值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质得，，可得四边形为平行四边形，即可利用向量的线性运算求解，或者建立空间直角坐标系，写出与的坐标，根据坐标运算求解，或者利用面面平行的性质得为平行四边形，为平行四边形，根据线段长度关系求解， （2）建系，求解平面的法向量，利用点面距离的公式求解，或者将求点到平面的距离转化为求点到平面的距离，利用锥体的体积公式，结合等体积法求解 【小问1详解】 连接．由平面平面，且平面平面， 平面平面，所以． 解法一：连接，．同理可得，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，即． 解法二： 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，设， 则，，， 由，得，即，则，又，所以． 解法三：连接，．由平面平面，且平面平面， 平面平面，所以， 同理可得，所以四边形为平行四边形， 所以． 连接，因为，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，又为的中点，所以，所以． 【小问2详解】 由（1）中解法二的空间直角坐标系可得，，，所以，， 设为平面的法向量， 则即 令，得为平面的一个法向量． 又，所以点到平面的距离． 解法二： 由（1）知，，又平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离． 在Rt中，，，所以， 在Rt中，， 设点到平面的距离为，由得， 所以， 所以点到平面的距离为． 17. 已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点（均异于点），且直线与的斜率之和为0．证明：直线的斜率为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）当直线斜率不存在时，直线与的斜率之和不会为0． 设点，直线， 由消去并整理，得， 则， 则 则， 整理，得， 因直线不过点，则，所以. 故直线的斜率为定值，定值为. 【解析】 【分析】（1）建立方程组，求解未知数； （2）设直线方程，联立方程组，化简即可. 【小问1详解】 由题意可知，，解得， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题为圆锥曲线中直线过定点问题，本题的关键在于此二元二次方程的化简问题，该题中求解斜率为定值，故其中为常数必为此二元二次方程的因式，而另一个因式必为题中增根，即. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）不可信． 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 19. 若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，． （1）若（是正整数），求，，的值； （2）若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列； （3）若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1），，； （2）证明见解析； （3）存在，最小k为7. 【解析】 【分析】（1）根据定义有且，将代入依次求出； （2）根据已知有，得，进而有，，，即可证； （3）根据题设定义得到且，进而有且，结合及不等式能成立求n的范围，即可得. 【小问1详解】 由题设，且， 所以，即，， ，即，， ，即，， 所以，，； 【小问2详解】 由题设，则， 所以，，则， 所以，，， 所以，故，即数列是等差数列； 【小问3详解】 当为奇数时，，则， 由，即，，则； 当为偶数时，，则， 由，即，，则； 所以且，则且， 而， 要使，则， 当且，则， 所以，则，可得； 当且，则， 所以，则，显然不成立； 综上，时的最小值为7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高中毕业班第二次模拟考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，集合，则的非空真子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，满足，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 0 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若 ，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，点为轴上一点（，，三点不共线），满足的面积是面积的2倍，则直线的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ） A. 这两个球体的半径之和的最大值为 B. 这两个球体的半径之和的最大值为 C. 这两个球体的表面积之和的最大值为 D. 这两个球体的表面积之和的最大值为 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 10. 已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，，，，，若，，成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 该组数据的中位数为4，众数是4 B. 该组数据的平均数为，分位数是5 C. 该组数据的平均数为3，方差小于3 D. 该组数据的极差为5，方差大于3 11. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 在上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式，若，则________． 13. 若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是________． 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为______；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的单调性和极值； （2）作出函数的大致图象．（参考数据：） 16. 在长方体中，，为的中点，平面，且． （1）求的值； （2）求点到平面的距离． 17. 已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点（均异于点），且直线与的斜率之和为0．证明：直线的斜率为定值，并求出该定值． 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 19. 若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，． （1）若（是正整数），求，，的值； （2）若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列； （3）若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $