2025届上海市静安区高考二模数学试卷

2025年上海市静安区二模数学试卷答案 一、1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．1.2； 10．； 11．4； 12．． 二、13．B． 14．D． 15．C． 16．A． 三、17．解：(1) ， （4分） 故，函数的最小正周期为． （2分） (2) ． （2分） 由函数为奇函数，得（此处也可以用诱导公式推得） 即，，， （4分） 由常数，解得． （2分） 18． 解：(1) 高三(1)班抽取的8名学生视力的平均值为 . 据此估计高三(1)班学生视力的平均值约为4.7． （6分） (2) 因为高三六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4. 5、4.6、4.7、4.8， 所以任意抽取两个班学生视力的平均值数对有： (4.3，4.4)，(4.3，4.5)，(4.3，4.6)，(4.3，4.7)，(4.3，4.8)，(4.4，4.5)，(4.4，4.6)， (4.4，4.7)，(4.4，4.8)，(4.5，4.6)，(4.5，4.7)，(4.5，4.8)，(4.6，4.7)，(4.6，4.8)， (4.7，4.8) 共15种情形； （3分） 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有 (4.3，4.5)，(4.3，4.6)，(4.3，4.7)，(4.3，4.8)，(4.4，4.6)，(4.4，4.7)，(4.4，4.8)， (4.5，4.7)，(4.5，4.8)，(4.6，4.8)，共10种. （3分） 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为． （2分） 19． (1) 证明：① 由已知，有，．A1 C1 B1 C A D B x y z F E 又因为平面， 所以，直线平面． （4分） ②由已知，有， 所以，直线是直线在内的射影． 又因为是线段的中点，△是全等三角形， 有． 再由三垂线定理，得． （4分） (2) 解1：取的中点， 由于，有，， 所以，是二面角的平面角．（3分） 故，二面角的大小为． 所以，二面角的正弦值为． （3分） 解2：在△中，由于，所以． 以点为原点，建立空间直角坐标系， （1分） 则、、， ，． （2分） 设平面的法向量，则 即所以 所以． 取平面的法向量，则， 所以，二面角的正弦值为． （3分） 20．(1) ,y x O A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 ．（4分） (2) 点的坐标为，则 即 满足方程，故点，，，在抛物线上. （6分） (3) 抛物线的焦点为． （1分） 互相垂直的弦和显然都不垂直坐标轴， 设直线的方程为， （1分） 代入，得 所以有, 所以，． （1分） 将上式中的用代换，得， （1分） 于是 当且仅当时，上式等号成立． 故，四边形面积的最小值为18． （4分） 21．解：(1) ()． （4分） (2) 当时，；（因为）． 所以，是函数和函数在上过坐标原点的分界线．（1分） 设是函数和函数在上过坐标原点的分界线． 当时，若，则不等式有解为，得； （2分） 若，则不等式的解集为，得．（2分） 故，． （1分） (3) 若存在，则恒成立． 令，则，所以. （1分） 因此，恒成立，即恒成立， 由得，. （1分） 现在只要判断是否恒成立． 设，则， （1分） 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立． （4分） 所以，函数和函数在上存在分界线， 其方程为. （1分） 11. 由，有，整理得， 由，得（舍）或. 12. 设，，则. 16. ， 所以，． 故，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市静安区二模数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2025.4 一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分． 1．已知全集为，集合，则_______． 2．不等式的解集为_______． 3．椭圆的离心率为_______． 4．已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_______． 5．已知，则 _______．（请用含的代数式表达） 6．已知，则的值为_______． 7．设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有 摸到黑球是事件，第二次没有摸到黑球是事件，则的值为_______． 8．设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一 天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最 小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为_______． 9．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m (不计损 耗)．若要使该容器的容积最大，则容器的高为_______m． 10．已知，，则的最小值为_______． 11．从个男生和个女生（）中任选2个人当队长，假设事件表示选出的2人性别相同，事件表示选出的2人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等， 那么的可能值为_______． 12．在边长为1的正三角形的边上分别取、两点，若沿线段折叠该三角 形时，顶点恰好落在边上．则线段的长度的最小值为_______． 二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13．“”是“一元二次不等式的解集为 ”的…………………( ) A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 14．若复数(，是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限，则…( ) A．且； B．且； C．且； D．且． 15．设是一个三次函数，为其导函数．如图所示的是函数的图像的一部分．则的极大值与极小值分别为 ………………………………………( )y x O A．与； B．与； C．与； D．与． 16．设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为 …………………………………………( ) A．； B．； C．； D．以上答案均不对． 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(满分14分) 本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知向量、，记． (1) 求函数的最小正周期； (2) 若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 18．(满分14分) 本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 某校高三共有300名学生，分六个班，每班50人．为了解该校高三学生的视力情况，体检后每班按随机抽样的方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表： (1) 用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值； (2) 已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意 抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2 的概率． 19．(满分14分) 本题共2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 如图，在正三棱柱中，，A1 C1 B1 C A D B E 延长至，使，是线段的中点． (1) 求证： ① 直线平面； ② ． (2) 求二面角的正弦值． 20．(满分18分) 本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 如图，在直角坐标平面中，△中 () 为正三角形，且满足，． (1) 求点的横坐标关于正整数的表达式； (2) 求证：点，，，在抛物线上； (3) 过 (2) 中抛物线的焦点作两条互相垂直的弦和，求四边形面积的最小值．y x O A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 A5 21．(满分18分) 本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 若存在实数常数，，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1) 请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；(不必证明) (2) 求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； (3) 试探究函数(为自然对数的底数)和函数在上是否存在分 界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$