精品解析：广西壮族自治区 南宁市第八中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八下数学3月份测试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的为（ ） A. 2，3，4 B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，12，13 D. ，， 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数m，n满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明用探测器探明在A点地下处（即C点）有一贵重物品，由于A点地面下有障碍物，不能垂直下挖，现从距离A点B点斜着挖掘，则要找到该贵重物品至少要挖（ ）　 A. B. C. D. 7. 已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别是边，的中点，平分交于点．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，在中，于点，，交的延长线于点．若，，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 12. 如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点，分别在和上，下列结论：；；； ．其中正确结论的个数是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是 ___． 14. 已知一个菱形的两条对角线的长分别为和，该菱形的面积为______． 15. 如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可） 16. 如图，，为对角线，，，，则的长为______． 17. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________ 18. 如图，在矩形中，，点E，F分别是上的动点，，连接，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 19. 计算：． 20. 如图，在中，点分别是的中点，延长至点，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 21. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 22. 已知，，求下列各式值： （1）； （2）． 23. 如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G． （1）求证：； （2）若，求的面积． 24. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当__________时，四边形是矩形． （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 25 综合与实践 【材料阅读】图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成（三角形的三边长分别为，，），用它可以证明勾股定理，思路是利用大正方形面积的两种求法，一种是边长的平方，即，另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称为“算两次”． 【方法运用】小明通过查阅资料得知了勾股定理的另一种证法：把两个全等的三角形（和）按照如图②所示的方式放置，三角形的三边长分别为，，，，于点． （1）在此基础上，请用，，分别表示出四边形、梯形和的面积，并通过探究这三个图形的面积之间的关系，得出． 【方法迁移】（2）如图③，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，连接网格的三个格点，，，得到，则边上的高为______． （3）如图④，在中，，，，是边上的高，求的长． 26. 综合探究 【课本再现】如图①，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形，，． 是边的中点，是边的中点， ，，． ______°______°． 是正方形外角的平分线，． ______°． ，． 又，． 又，， （______）（填判定方法）． ． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 【问题解决】（2）如图②，四边形是正方形，是边上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由． 【拓展探究】（3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下数学3月份测试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．根据最简二次根式的概念逐一判断即可：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、含开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的为（ ） A 2，3，4 B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，12，13 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，则这三个数是勾股数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、三个数不是整数，不符合题意； C、，三个数是勾股数，符合题意； D、三个数不是整数，不符合题意； 故选C． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则计算出结果即可判断． 【详解】解：A、3与不是同类项，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 4. 已知实数m，n满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，它们的和为0；直接利用绝对值以及偶次方的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ，， ． 故选：C 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 6. 如图，小明用探测器探明在A点地下处（即C点）有一贵重物品，由于A点地面下有障碍物，不能垂直下挖，现从距离A点的B点斜着挖掘，则要找到该贵重物品至少要挖（ ）　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴要找到该贵重物品至少要挖， 故选：C． 7. 已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点、绝对值和算术平方根的运用等知识，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键．先根据数轴确定、、的正负，然后根据算术平方根的性质和绝对值的性质化简，最后计算即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴，， ∴． 故选：D． 8. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接 、 相交于点 ，由在菱形 中，点 在 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，可求得点 的坐标，继而求得答案． 【详解】解：连接，相交于点， 四边形是菱形， ，，， 点在轴上，点坐标为，点的坐标为， ，轴， ， ， 点的坐标为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是注意菱形的对角线互相平分且垂直． 9. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【详解】解：如图所示： ∵AD=AB=2， ∴， ∴CD=； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键． 10. 如图，在中，，分别是边，的中点，平分交于点．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形中位线定理得到，求出，进而求出． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵点D、E分别为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图，在中，于点，，交的延长线于点．若，，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 12. 如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点，分别在和上，下列结论：；；； ．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得，，根据等边三角形的性质得，，证明得，，所以得，再根据即可判断解答；由，得，所以，最后根据即可判断解答；连接交于，证明得，再根据等边三角形的性质得，，由勾股定理得，证明为等腰直角三角形，再结合可得，，在中，由勾股定理得：，化简得，在中，由勾股定理得：，所以，最后化简，即可判断解答；根据正方形的面积公式计算即可判断解答． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故结论正确； ，， ， ， ， ， 故结论②正确； ③连接交于，如图所示： 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， ，， 为等腰直角三角形， 又， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故结论③不正确； ， 正方形的面积为， 故结论④正确， 综上所述，正确的结论是①②④，有个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行列式求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 14. 已知一个菱形的两条对角线的长分别为和，该菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积． 【详解】解：由已知得，菱形面积． 故答案为：． 【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握菱形面积公式． 15. 如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可） 【答案】AB=BE（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题目提供的条件可以得到四边形是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可． 【详解】解：添加AB=BE， ∵将沿着方向平移得到， ∴AB=DE，AB∥DE， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∵AB=BE， ∴四边形是菱形， 故答案为：AB=BE（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、平移的性质，证明四边形ABED是平行四边形是解题的关键． 16. 如图，，为的对角线，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质得，，最后根据勾股定理求出的值即可解答． 【详解】解：设和相交于点，如图所示： ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分面积为， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，点E，F分别是上的动点，，连接，则的最小值是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，涉及轴对称最短路线问题，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得，的最小值等于的最小值，即的长度，进一步求的长，即可确定的最小值． 【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接，，如图所示： 则，， 在矩形中，，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 的最小值等于的最小值，即的长度， ，， ， 根据勾股定理，得， 的最小值为5， 故答案为：5 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，先将各二次根式化为最简二次根式，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 20. 如图，在中，点分别是的中点，延长至点，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据点 ， 分别是边 ， 的中点，可得 是的中位线，根据中位线的性质可得，，因为，所以，，由此即可求证． 【详解】证明：∵在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点， ∴ 是的中位线， ∴，， ∵， ， ，共线， ∴，． ∴四边形 是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握中位线的性质，平行四边形的判定方法是解题的关键． 21. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索长为尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， ∴秋千绳索长为尺． 22. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助． （1）先把原式化为的形式，再把、的值代入进行计算即可； （2）先根据分式的加减法则把原式进行化简，再把、的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 ，， ，， 原式； 【小问2详解】 ， 原式 ， ． 23. 如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为6． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质证明，再根据等角对等边即可证明； （2）由折叠的性质得，设，在中，建立方程，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由折叠的性质得，设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 24. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当__________时，四边形是矩形． （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）6.5 （2）6 （3）不能．理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）中的求解答案，分析看此时能否为菱形，因为，即可得四边形不可能是菱形； 【小问1详解】 根据题意得：，， ，，， ，， 在四边形中，，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当时，四边形是矩形； 故答案为：6.5； 【小问2详解】 在四边形中，， 当时，四边形是平行四边形， 根据（1）得：， 解得：， 当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 不能，理由如下： 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 根据（2）得：， ， 过点作于， 四边形是矩形， ， ，， ， 四边形不可能是菱形． 25. 综合与实践 【材料阅读】图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成（三角形的三边长分别为，，），用它可以证明勾股定理，思路是利用大正方形面积的两种求法，一种是边长的平方，即，另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称为“算两次”． 【方法运用】小明通过查阅资料得知了勾股定理的另一种证法：把两个全等的三角形（和）按照如图②所示的方式放置，三角形的三边长分别为，，，，于点． （1）在此基础上，请用，，分别表示出四边形、梯形和的面积，并通过探究这三个图形的面积之间的关系，得出． 【方法迁移】（2）如图③，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，连接网格的三个格点，，，得到，则边上的高为______． （3）如图④，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】（1），，，探究见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法求得的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴； （2）， ， ， ， 即边上的高是； （3）设，在中，由勾股定理得 ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． ∴． 26. 综合探究 【课本再现】如图①，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形，，． 是边的中点，是边的中点， ，，． ______°______°． 是正方形外角的平分线，． ______°． ，． 又，． 又，， （______）（填判定方法）． ． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 【问题解决】（2）如图②，四边形是正方形，是边上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由． 【拓展探究】（3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 【答案】（1）45 ，135 ，135 ，；（2）与仍然相等，理由见解析；（3）的长为5或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）取边的中点，连接．根据正方形的性质结合证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）在边上截取，连接，根据正方形的性质结合证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （3）分当点E在边上时，当点E在的延长线上时，两种情况，利用正方形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形， ，． 是边中点，是边的中点， ，， ． ． 是正方形外角的平分线， ． ． ， ． 又， ． 又，， ． ． 故答案为：45，135，135，； （2）与仍然相等，理由如下： 如图2，在边上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，，即， 是正方形外角的平分线， ， ， ， 在和中， ； （3）分两种情况讨论： ①如图3-1，当点E在边上时， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ； ②如图3-2，当点E在的延长线上时，连接，过点F作，交的延长线于点G，在上截取，连接， 同理（2）可得， ， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理，得， ， 综上所述，的长为或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$