精品解析：2025年4月浙江省嘉兴市嘉善县初中教学质量调研中考一模数学卷

嘉善县初中教学质量调研 数学试题卷 温馨提示： 1．全卷共6页，24小题．满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前请仔细阅读答题纸上的注意事项． 3．所有试题答案均写在答题纸上，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 年央视蛇年春晚全媒体观看人次再创新高，截至月日，观看人次达亿，较去年增长了，数据“亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下图是由三个小正方体叠成的一个几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据从小到大排列为，，，，，，这组数据的中位数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 我国2000多年前的《墨经》中记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉同学制作了一个简易小孔成像仪用来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是厘米，则蜡烛火焰的实际高度为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 7. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象经过，两点，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当或时， 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过坐标原点且与两坐标轴分别交于A，B两点，点P为圆周上的一点，记若，那么的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：＝__________. 12. 甲、乙两位同学分别从足球、篮球两个社团中随机选取一个报名，那么他们恰好选择同一社团的概率为_______． 13. 市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘，先将测角仪放置在水平地面的处，观测镜头距地面米，此时测得高炉顶端的仰角，再将测角仪移至地面的处，测得高炉顶端的仰角，已知相距米，高炉底部与在同一水平线上．则高炉的高度约为______米．（计算结果精确到米）．（参考数据：，．） 14. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，，若，，，则的长为_______． 15. 已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则_______． 16. 如图，2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家赵爽的“弦图”．它是由4个全等的直角和一个小正方形拼接而成的大正方形．已知直线分别交边于点M，N．若F，H是线段的两个三等分点，则大正方形与小正方形的面积比为______ ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．其中第17题~第21题每题8分，第22题、第23题每题10分，第24题12分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 如图，是的中线，点是线段的中点，连结并延长至点，使得，连接．求证： （1）； （2）与互相平分． 20. 经过两年多的建设和一年多的运营，市的“工业遗址文化乐园”已逐渐成为周边地区学生开展研学活动的基地之一．为进一步优化产品项目，提升服务水平，某天园区工作人员随机抽取了“向晖中学”部分到访的学生，开展对园区内四个品牌游乐项目（：工业之旅；：地质探险；：工程模拟；：极限挑战）受欢迎程度的调查，工作人员初步绘制了如下统计图表（不完整）： （1）参与本次调查的学生总人数_______，喜欢项目的学生人数_______； （2）求参与本次调查的学生中喜欢项目的学生人数，并将条形统计图补充完整； （3）若“向晖中学”共有名学生，试估计该校喜欢项目的学生人数． 21. 如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 22. 万物复苏，生机盎然，正是踏春好时节．“向晖中学”组织部分同学乘车前往市的“工业遗址文化乐园”开展研学活动．活动当天，学生乘坐甲、乙两车从学校出发驶往乐园．已知学校到乐园的路程是千米，甲车在途中加油用时小时，加油后继续前行并与乙车同时到达乐园．甲、乙两车离学校的路程千米与行驶时间小时的部分函数图象如图． （1）求乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式； （2）求甲车加油后的速度是多少千米小时？ （3）当甲、乙两车之间的路程相差千米时，求行驶的时间．（请直接写出答案） 23. 已知二次函数． （1）求函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 24. 如图，已知内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若直线与直线交于点，且，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉善县初中教学质量调研 数学试题卷 温馨提示： 1．全卷共6页，24小题．满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前请仔细阅读答题纸上的注意事项． 3．所有试题答案均写在答题纸上，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 年央视蛇年春晚全媒体观看人次再创新高，截至月日，观看人次达亿，较去年增长了，数据“亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选： 3. 下图是由三个小正方体叠成的一个几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：它的左视图是 故选：． 4. 下列计算正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质和运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 5. 一组数据从小到大排列为，，，，，，这组数据的中位数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识，根据中位数的概念求解即可，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：由中位数的概念可得，， 解得：， 故选：． 6. 我国2000多年前的《墨经》中记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉同学制作了一个简易小孔成像仪用来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是厘米，则蜡烛火焰的实际高度为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过作于点，过作于点，证明，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， 由题意得，厘米，厘米，厘米，， ∴， ∴， ∴， ∴厘米， 即蜡烛火焰的实际高度为厘米， 故选：． 7. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再由不等式组无解，可得关于m的不等式，即可求解． 【详解】解： 解不等式②得， ∵不等式组无解， ∴， 故选：C． 8. 我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设人数为人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人， 由题意得，， 故选：． 9. 函数的图象经过，两点，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当或时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式得反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时， 、当时，，当时，；当时，，，此时，该选项错误； 、当时，，此时，， ∴，该选项正确，符合题意； 、当时，可能是正数，也可能是负数，当时，；当时，，该选项错误； 、当时，，此时，该选项错误； 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过坐标原点且与两坐标轴分别交于A，B两点，点P为圆周上的一点，记若，那么的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，余弦的定义，垂径定理和勾股定理，根据直角所对的弦是直径得到，利用勾股定理求出长，过点P作于点H，当最大时，比值最大，解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 连接， ∵， ∴是圆O的直径，即， ∴， 过点P作于点H， 则， ∴的最大值为当最大， ∴当与圆相切时，最大，如图，连接并延长交y轴于点G ∴， ∵轴， ∴轴， ∴轴， ∴，，四边形是矩形， ∴， 的最大值是， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：＝__________. 【答案】x(x-1) 【解析】 【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可． 【详解】解：=x（x-1）． 故答案为：x(x-1). 12. 甲、乙两位同学分别从足球、篮球两个社团中随机选取一个报名，那么他们恰好选择同一社团的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出甲、乙恰好选择同一社团的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有4种等可能的情况，他们选择同一社团有2种， 故他们选择选择同一社团的概率是：， 故答案为：． 13. 市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘，先将测角仪放置在水平地面的处，观测镜头距地面米，此时测得高炉顶端的仰角，再将测角仪移至地面的处，测得高炉顶端的仰角，已知相距米，高炉底部与在同一水平线上．则高炉的高度约为______米．（计算结果精确到米）．（参考数据：，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设与的延长线相交于点，可得米，设米，分别解和得米，米，再根据米列出方程求出即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：设与的延长线相交于点，则， 由题意可得米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴米， 故答案为：． 14. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，，若，，，则的长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质等知识，先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据三角形中位线的判定以及性质即可得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：∵，点E是的中点， ∴， ∵点D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 15. 已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用顶点式求出二次函数的解析式，即可得到a和c的值，然后代入计算解题． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家赵爽的“弦图”．它是由4个全等的直角和一个小正方形拼接而成的大正方形．已知直线分别交边于点M，N．若F，H是线段的两个三等分点，则大正方形与小正方形的面积比为______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，根据题意，延长交于点P，过点M作的垂线，垂足为Q，得到和的长，即可得到结果． 【详解】解：如图，延长交于点P，过点M作的垂线，垂足为Q， 由，设， ∵F，H是线段的两个三等分点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．其中第17题~第21题每题8分，第22题、第23题每题10分，第24题12分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用零指数幂、算术平方根的定义、负整数指数幂、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 19. 如图，是的中线，点是线段的中点，连结并延长至点，使得，连接．求证： （1）； （2）与互相平分． 【答案】（1） 证明：∵点是线段的中点，， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2） 证明：连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得出即可； （2）连接，证明四边形为平行四边形，得出与互相平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 经过两年多的建设和一年多的运营，市的“工业遗址文化乐园”已逐渐成为周边地区学生开展研学活动的基地之一．为进一步优化产品项目，提升服务水平，某天园区工作人员随机抽取了“向晖中学”部分到访的学生，开展对园区内四个品牌游乐项目（：工业之旅；：地质探险；：工程模拟；：极限挑战）受欢迎程度的调查，工作人员初步绘制了如下统计图表（不完整）： （1）参与本次调查的学生总人数_______，喜欢项目的学生人数_______； （2）求参与本次调查的学生中喜欢项目的学生人数，并将条形统计图补充完整； （3）若“向晖中学”共有名学生，试估计该校喜欢项目的学生人数． 【答案】（1）， （2） 将条形统计图补充完整如下： （3）名 【解析】 【分析】（）用项目学生人数除以其百分比可求出本次调查的学生总人数，进而可求出喜欢项目的学生人数； （）求出参与本次调查的学生中喜欢项目的学生人数，进而补全条形统计图即可； （）用乘以喜欢项目的学生人数占比即可求解； 本题考查了扇形统计图和条形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：参与本次调查的学生总人数为， 喜欢项目的学生人数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：参与本次调查的学生中喜欢项目的学生人数为， 【小问3详解】 解：， 答：估计该校喜欢项目的学生人数为名． 21. 如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：由作图可得， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后根据翻折得到，，然后利用三角形的外角和角的和差解题即可； （2）先证明两个对应角相等得到，即可得到，然后代入计算解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴． 22. 万物复苏，生机盎然，正是踏春好时节．“向晖中学”组织部分同学乘车前往市的“工业遗址文化乐园”开展研学活动．活动当天，学生乘坐甲、乙两车从学校出发驶往乐园．已知学校到乐园的路程是千米，甲车在途中加油用时小时，加油后继续前行并与乙车同时到达乐园．甲、乙两车离学校的路程千米与行驶时间小时的部分函数图象如图． （1）求乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式； （2）求甲车加油后的速度是多少千米小时？ （3）当甲、乙两车之间的路程相差千米时，求行驶的时间．（请直接写出答案） 【答案】（1） （2）千米/小时； （3）小时或或小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，看到函数图象是解题的关键． （）设，利用待定系数法解答即可求解； （）由（）可得乙车到达市需要小时，进而可求出甲车加油后的速度； （）求出甲车加油前的速度，再分两车出发后相距千米，甲车加油时与乙车相距千米和甲车加油后与乙车相距千米三种情况，分别列出方程解答即可求解； 【小问1详解】 解：设，把代入得：， 解得， ∴乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得， ∴乙车到达市需要小时， ∴甲车加油后的速度为千米/小时； 【小问3详解】 解：甲车加油前的速度为千米/小时， 当两车出发后相距千米时，则， 解得； 当甲车加油时与乙车相距千米时，则或， 解得或； 当甲车加油后与乙车相距千米时，则， 解得； 综上，当甲、乙两车之间的路程相差千米时，行驶的时间为小时或或小时． 23. 已知二次函数． （1）求函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质即可得出答案． （1）根据对称轴公式求解即可． （2）由得出抛物线开口向上，根据抛物线对称直线为，结合二次函数的图像和性质可得出时，函数取最大值即可得出关于m的一元二次方程求解并舍去的值即可． （3）把代入抛物线得出，再得出仅当时，即时，此时最小值为，最大值为时，即， 进而结合二次函数图像即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 解：对称轴直线为： 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去 【小问3详解】 解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴． 24. 如图，已知内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若直线与直线交于点，且，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接，，设与交于点， ∵，， ∴，，垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）的度数为或． 【解析】 【分析】（）连接，，设与交于点，由，，得，，垂直平分，所以，，设，然后由外角性质和角度和差即可求解； （）连接，由勾股定理得，，然后证明，则，从而求出，再由勾股定理得，再通过垂径定理得，再通过圆内接四边形和平角定义证明，则，然后代入求值即可； （）分当在线段上时和当在延长线上时两种情况分析即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当在线段上时，连接， 由上可得：， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，为半径， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 如图，当在延长线上时， 由上可得：， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，为半径， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $