03 从一道高考题读斜抛运动的分解方法-《中学生数理化》高考理化2025年3月刊

从一道高考题谈斜抛运动的分解方法 ■贵州省凯里市恒成第二高级中学 胡朝平 题目:(2024年山东省普通高中学业水 平等级性考试第12题) 如图1所示,工程队 向峡 谷 对 岸 平 台 抛 射 重 物,初 速 度 v0= 20 m/s,与水平方向间的夹角α=30°,抛出点 图1 P 和落点Q 的连线与水 平方向间的夹角β=30°, 忽略空气阻力,取重力加 速度g=10 m/s2。重物 在此运动过程中,下列说 法正确的是( )。 A.运动时间为23 s B.落地速度与水平方向间的夹角为60° C.重物离PQ 连线的最远距离为10 m D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m 答案:BD 解法1:以抛出点P 为原点,以水平向右 为x 轴正方向,以竖直向上为y 轴正方向, 图2 建立如图2所示的平面 直角坐标系 Pxy,将重 物的初速度分解为沿x 轴方向的分速度v0x = v0cos α=10 3 m/s,沿 y轴方向的分速度v0y= v0sin α=10 m/s。设 PQ 连线的长度为l,重 物从P 点到落点Q 所用的时间为t,重物在 水平方向上不受力做匀速直线运动,在竖直 方向上受重力做竖直上抛运动,则x=lcos β= v0xt,y=-lsin β=v0yt- 1 2gt 2,解得t=4 s, l=80 m,选项A错误。设重物在落点Q 的 速度vQ 与水平方向间的夹角为θ,则tan θ= vQy vQx = |v0y-gt| v0x = 3,即θ=60°,选项B正 确。因为重物离PQ 连线最远(M 点)时,其 速度方向平行于PQ 连线,所以tan β= vMy vMx = vMy v0x ,解得vMy=10 m/s,方向竖直向下,又有 -vMy=v0y-gtM,解得tM=2 s。根据运动 学公式得xM=v0xtM=203 m,yM=v0ytM- 1 2gt 2 M=0,因此 M 点的坐标为(203,0),直 线PQ 的方程为y=-xtan β=- 3 3x ,即 3x+3y=0。根据点到直线的距离公式得d= |AxM+ByM+C| A2+B2 ,其中 A= 3,B=3,C= 0,解得d=103 m,选项C错误。在竖直方 向上,重物从P 点到轨迹最高点所用的时间 t1= v0y g =1 s,则重物从轨迹最高点到落点Q 所用的时间t2=t-t1=3 s,轨迹最高点与落 点的高度差h= 1 2gt 2 2=45 m,选项D正确。 点评:这是求解本题的常规方法。以抛 出点P 为原点,以水平方向为x 轴,以竖直 方向为y 轴,建立平面直角坐标系 Pxy,将 重物的运动分解为沿水平方向的匀速直线运 动和沿竖直方向的竖直上抛运动,利用匀变 速直线运动规律、竖直上抛运动规律和点到 直线的距离公式进行分析与求解。 解法2:以抛出点P 为原点,以沿PQ 连 线方向为x 轴,以垂直于PQ 连线方向为y 轴,建立如图3所示的平面直角坐标系Pxy, 图3 将重物的初速度v0 分 解为沿x 轴方向的分 速度v1=v0cos (α+ β)=10 m/s,沿 y 轴 方向 的 分 速 度 v2 = v0sin (α + β)= 103 m/s,将 重 力 加 速度g 分解为沿x 轴 方向的分加速度a1=gsin β=5 m/s2,沿y 轴方向的分加速度a2=gcos β=53 m/s2。 在y 轴方向上,根据对称性得重物从P 点到 落点Q 所用的时间t=2 v2 a2 =4 s,重物离PQ 51 解题篇 高考真题之赏析 高考理化 2025年3月 连线的最远距离dmax= v2+0 2 ·t 2=103 m, 选项A、C错误。将重物的初速度分解为沿 水平方向的分速度v0x=10 3 m/s,沿竖直 方向的分速度v0y=10 m/s,重物经过t=4 s 落到 Q 点 时 的 竖 直 分 速 度 大 小 vy = -v0sin α+gt=30 m/s,则落地速度与水平 方向间的夹角θ的正切值tan θ= vQy vQx = vy v0x = 3,即θ=60°,选项B正确;重物从P 点到轨 迹最高点所用的时间t1= v0y g =1 s,则重物从 轨迹最高点到落点 Q 所用的时间t2=t- t1=3 s,轨迹最高点与落点的高度差h= 1 2gt 2 2=45 m,选项D正确。 点评:这种方法以抛出点 P 为原点,以 PQ 连线方向为x 轴,以垂直于 PQ 连线方 向为y 轴,建立平面直角坐标系 Pxy,将重 物的运动分解为沿PQ 连线方向的初速度大 小为v1、加速度大小为a1 的匀加速直线运动 和沿垂直于 PQ 连线方向的初速度大小为 v2、加速度大小为a2 的匀变速直线运动(v2 方向与a2 方向相反)。同时运用了解法1中 对初速度v0 的分解方法。 解法3:重物抛出后做斜抛运动,设重物 从P 点到落点Q 所用的时间为t,PQ 连线 的长度为l,将重物的运动分解到沿初速度 v0 方向和竖直向下方向上,则沿初速度v0 方 向重物不受力做匀速直线运动,沿竖直方向 重物受重力做自由落体运动,作出重物的位 图4 移矢量图,如图4所示, 根据几何关系得 PN= NQ=PQ=l,根据运动 学 公 式 得 PN =v0t, NQ=PO= 1 2gt 2,解得 t=4 s,l=80 m,选项 A 错误。设重物在落点 Q 的速度与水平方向间的 夹角为θ,则tan θ= gt-v0sin α v0cos α = 3 ,即θ= 60°,选项B正确。重物离PQ 连线最远时, 合速度vM 方向与PQ 连线方向平行,则初速 度v0 方向与速度vM 方向间的夹角为α+ β=60°,因此在 M 点v0、vM、vMy 构成的矢量 三角形是等边三角形,则v0=vM=vMy = 20 m/s。设重物从P 点到M 点所用的时间 为tM,则vMy=gtM,解得tM=2 s。重物在初 速度v0 方向上的位移x1=v0tM=40 m,在竖 直方向上的位移x2= 1 2gt 2 M=20 m,则P 点到 M 点的水平位移x= x21-x22=203 m,M 点到PQ 连线的距离d=xsin β=103 m, 选项C错误。将重物的初速度v0 分解为沿 水平方向的分速度v0x=103 m/s,沿竖直 方向的分速度v0y=10 m/s,则重物从 P 点 到轨迹最高点所用的时间t1= v0y g =1 s,从轨 迹最高点到落点Q 所用的时间t2=t-t1= 3 s,轨迹最高点与落点的高度差h= 1 2gt 2 2= 45 m,选项D正确。 点评:这种方法将重物的运动分解为沿 初速度v0 方向的匀速直线运动和沿竖直方 向的自由落体运动,同时运用了解法1中对 初速度v0 的分解方法。 总结:三种解法相比较,解法1属于常规 思路,解法2和解法3属于创新思路;解法1 与解法2的计算较繁杂,解法3的计算最简 捷。因此在求解具体的运动合成与分解问题 的过程中,需要从解决问题方便性的角度出 发,合理进行分解,且可以多种分解方法并 用,达到顺利求解的目的。 某同学投掷篮球空心入筐,篮球的出手 点与篮筐的距离为7.2 m,篮球进入篮筐时 的速度方向恰好与出手时的速度方向垂直。 不考虑空气阻力,取重力加速度g=10 m/s2。 篮球从出手到入筐所用的时间为( )。 A.1.6 s B.1.4 s C.1.2 s D.1.0 s 参考答案:C (责任编辑 张 巧) 61 解题篇 高考真题之赏析 高考理化 2025年3月