13 平面向量的交汇题型解密、与三角形有关的最值问题的七种求解策略-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■雍志剑 题型一:平面向量的数量积与解三角形 的交汇 例1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别为a,b,c,已知a=2,bcosC+ccosB= asinC,且AD→=2DB→,则AD→·BC→= 。 解:由bcosC+ccosB=asinC,可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinC,即 sin(B+C)=sinAsinC。因为B+C=π- A,所以sin(B+C)=sinA,所以sinA= sinAsinC。又0<A<π,所以sinA≠0,所 以sinC=1。因为0<C<π,所以C= π 2 。 因为AD→=2DB→,所以 AD→·BC→=23AB →· BC→=23(AC →+CB→)·BC→=23AC →·BC→- 2 3BC →2=-23BC →2=-83。 题型二:平面向量的模与复数的交汇 例2 在复平面内,复数 2i 1+i 对应的点为 M,复数(2+i)2 对应的点为 N,则向量 MN→ 的模长为( )。 A.2 10 B.10 C.2 13 D.13 解:因为复数 2i 1+i= 2i(1-i) (1+i)(1-i)=1+ i,所以复数 2i 1+i 对应的点为 M(1,1)。因为 复数(2+i)2=3+4i,所以复数(2+i)2 对应 的点为N(3,4),所以 MN→=(3,4)-(1,1) =(2,3),所以|MN→|= 22+32= 13。应 选D。 题型三:平面向量的夹角与充要条件的 交汇 例3 已 知 向 量 a=(2,2),b=(x, -3),则“x<3”是“a 与b 的夹角为钝角” 的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:当x<3时,由a·b=|a||b|cos<a, b>=2x-6<0,可得cos<a,b><0。当x=-3 时,a与b的方向相反,其夹角为180°,也满足 cos<a,b><0。所以当x<3时,a与b的夹角 为钝角或平角,即充分性不成立。当a与b的 夹角为钝角时,由a·b=2x-6<0,解得x< 3,即必要性成立。故“x<3”是“a与b的夹角 为钝角”的必要不充分条件。应选B。 题型四:平面向量基本定理与二次函数 的交汇 例4 在△ABC 中,D 为线段AC 的一 个三等分点,AD=2DC。连接BD,在线段 BD 上任取一点E,连接AE(图略),若AE→= aAC→+bAB→,则a2+b2 的最小值为( )。 A. 13 4 B. 5 2 C. 4 13 D. 2 5 解:由E 在线段BD 上,即B,E,D 三点 共线,可得AE→=λAD→+(1-λ)AB→,λ∈[0,1]。 由D 为线段 AC 的一个三等分点,且 AD=2DC,可得 AD→=23AC →,所以 AE→= 2 3λAC →+(1-λ)AB→=aAC→+bAB→。由平面 向量基本定理得a= 2 3λ ,b=1-λ。 所以a2+b2= 4 9λ 2+(1-λ)2= 13 9λ 2- 2λ+1= 13 9 λ- 9 13 2 + 4 13 ,λ∈[0,1]。所以 当λ= 9 13 时,a2+b2 取得最小值 4 13 。应选C。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 24 经典题突破方法 高一数学 2025年3月 ■田洪宽 涉及三角形的最值问题是每年高考的常 考点,这类问题的求解策略有以下七种。 策略一:利用三角形的边角关系 例1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别是a,b,c,若a∶b∶c= 3∶2∶ 5,则 △ABC 的最小内角的余弦值为 。 解析:因为a∶b∶c= 3∶2∶ 5,所以 角A 为△ABC 的最小内角。设a= 3t,b= 2t,c= 5t,其中t>0。 由余弦定 理 得cosA= b2+c2-a2 2bc = 4t2+5t2-3t2 2×2t× 5t = 35 10 ,所以△ABC 的最小内 角的余弦值为 35 10 。 点评:三角形中,较大边所对的角较大, 较小边所对的角较小。 策略二:利用正弦函数的性质 例2 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所 对的边分别为a,b,c,若 B= π 3 ,b=3,则 △ABC 周长的取值范围为 。 解析:已知B= π 3 ,b=3,由正弦定理得 a sinA= c sinC= b sinB= 3 3 2 =23,所以a+b +c=23(sinA+sinC)+3=23 sinA+ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 sin 2π3-A +3=6sinA+π6 +3。因为 △ABC 为 锐 角 三 角 形,且 B = π 3 ,所 以 0<A< π 2 , 0< 2π 3-A< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 A ∈ π 6 ,π 2 ,所 以 A+ π 6 ∈ π 3 ,2π 3 ,所 以 sin A+π6 ∈ 3 2 ,1 􀭤􀭥 􀪁􀪁 ,所 以 a+b+c∈ 3+33,9 ,即 △ABC 周长的取值范围为 3+33,9 。 点评:正弦函数y=sinx 在区间 - π 2+ 2kπ, π 2+2kπ (k∈Z)上单调递增,在区间 π 2+2kπ ,3π 2+2kπ (k∈Z)上单调递减。 策略三:利用余弦函数的性质 例3 已知△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,满足2sinC-sinB=tanA· cosB,且A= π 3 ,a=2,则2c-b的取值范围 为 。 解析:由2sinC-sinB=tanAcosB,可 得2sinC-sinB= sinAcosB cosA 。由正弦定理 得2c-b= acosB cosA 。因为a=2,A= π 3 ,所以 2c-b=4cosB。由B∈ 0, 2π 3 ,可得cosB ∈ - 1 2 ,1 ,所以4cosB∈(-2,4),所以 2c-b∈(-2,4),即2c-b 的取值范围为 (-2,4)。 点评:余弦函数y=cosx 在区间[-π+ 2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增,在[2kπ,π+ 2kπ](k∈Z)上单调递减。 策略四:利用正切函数的性质 例4 在锐角三角形 ABC 中,sinA- sinC= sin2B-sin2C sin(B+C) ,AB=1,则AB 边上的 高的取值范围为 。 解析:由sin(B+C)=sin(π-A)= sinA,可得sinA sinA-sinC =sin2B- sin2C。由正弦定理得a(a-c)=b2-c2,整 理得 a2+c2-b2 ac =1 。由余弦定理得cosB= 34 经典题突破方法 高一数学 2025年3月 a2+c2-b2 2ac = 1 2 。因为△ABC 为锐角三角 形,所以B=60°。因为△ABC 的内角A,B, C 的对边分别为a,b,c,所以 AB 边上的高 h=a·sinB=a·sin60°= 3 2a 。由正弦定 理得a= csinA sinC = sin(120°-C) sinC = 3 2tanC+ 1 2 。由△ABC 为 锐 角 三 角 形,可 知30°< C<90°,所以tanC> 3 3 ,所以a= 3 2tanC+ 1 2∈ 1 2 ,2 ,所以 34<h< 3,即AB 边上的 高的取值范围是 3 4 ,3 。 点评:正切函数y=tanx 在 0, π 2 上单 调递增,正切函数不存在单调递减区间。 策略五:利用不等式ab≤ a+b2 2 例5 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的 边分别为a,b,c,满足2bcosA+a=2c,且 b=23,则△ABC 周长的取值范围为 。 解析:在△ABC 中,由2bcosA+a=2c 及正弦定理得2sinBcosA+sinA=2sinC。 因为C=π-(A+B),所以2sinBcosA+ sinA=2sin(A +B)=2sinAcosB + 2cosAsinB,即sinA=2sinAcosB。而0< A<π,则sinA>0,所以cosB= 1 2 。由余弦 定理得b2=a2+c2-2accosB,所以12= a2+c2-ac=(a+c)2-3ac≥(a+c)2- 3a+c2 2 = 1 4 (a+c)2,当且仅当a=c时取 等号,所以a+c≤43。又因为a+c>b= 23,所以43<a+b+c≤63,即△ABC 周长的取值范围为(43,63]。 点评:“和为定值,积有最大值”,但应注 意具备条件:正数;验证等号成立。 策略六:利用不等式a2+b2≥ (a+b)2 2 例6 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对 边分别为a,b,c,若A= π 3 ,a=3,bc=7,则 △ABC 周长的最大值为 。 解析:已知A= π 3 ,a=3,bc=7,由余弦 定理得9=b2+c2-7,所以b2+c2=16。因 为b2+c2≥ (b+c)2 2 ,所以16≥ b+c2 2 ,所以 b+c≤8,当且仅当b=c时取等号,所以a+ b+c≤11,即△ABC 周长的最大值为11。 点评:若a,b∈R,则a2+b2≥ (a+b)2 2 , 这是求最值的常用不等式。 策略七:利用二次函数的性质 例7 已知△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,B 为钝角。若△ABC 的面 积为S,且4bS=a(b2+c2-a2),则sinA+ sinC 的最大值为 。 解析:由余弦定理得2bccosA=b2+ c2-a2,所 以 4bS a =2bccos A = 4b a · 1 2acsinB ,所以cosA=sinB,所以cosA= cosB- π 2 。因为 B 为钝角,所以 A,B- π 2 均为锐角,所以B- π 2=A ,即B= π 2+A 。 易得 sinA +sinC=sin B- π 2 + sinB+B- π 2 = -cosB -cos2B = -2cos2B-cosB+1=F(B)。令cosB=t, 由B 为钝角,可得t∈(-1,0),所以F(B)等 价于g(t)=-2t2-t+1=-2t+ 1 4 2 + 9 8 ,当t=- 1 4 ,即cosB=- 1 4 时,g(t)取得 最大值 9 8 ,所以sinA+sinC 的最大值为 9 8 。 点评:解答本题的关键是熟练掌握求二 次函数 y=ax2+bx+c=a x+ b 2a 2 + 4ac-b2 4a 最值的方法。 作者单位:湖北省恩施市第三高级中学 (责任编辑 郭正华) 44 经典题突破方法 高一数学 2025年3月