10 复数典型易错点剖析-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■魏晓彦 易错点1:忽视复数z=a+bi是纯虚数 的充要条件 例1 当m 为何实数时,复数z=m2+ m-6+(m2-2m-15)i是纯虚数? 错解:若复数z 为纯虚数,则 m2+m- 6=0,解得m=2或m=-3。 剖析:复 数 z=a+bi为 纯 虚 数 ⇔ a=0, b≠0。 上述解法只考虑了实部m2+m-6=0, 忽视了虚部m2-2m-15≠0,从而造成错解。 正 解:若 复 数 z 为 纯 虚 数,则 m2+m-6=0, m2-2m-15≠0, 解得m=2。 动手实战:若复数z=(a2-2a)+(a2- a-2)i对应的点在虚轴上,求实数a 应满足 的条件。 提示:由复数z=(a2-2a)+(a2-a- 2)i对应的点在虚轴上,可得a2-2a=0,解 得a=2或a=0。 易错点2:误认为复数可以比较大小 例2 求使不等式λ2-(λ2-3λ)i< (λ2-4λ+3)i+10成立的实数λ 的取值集 合。 错解:因 为 不 等 式λ2-(λ2-3λ)i< (λ2- 4λ + 3)i + 10 成 立,所 以 λ2<10, -(λ2-3λ)<λ2-4λ+3, 解得- 10<λ< 1 2 或3<λ< 10,即实数λ∈ - 10, 1 2 ∪ (3,10)。 剖析:两个复数不能直接比较大小,若 a+bi<c+di成立,则等价于 a<c, b=d=0。 上 述解法是受实数比较大小的惯性思维影响而 导致的。 正解:因 为 不 等 式λ2-(λ2-3λ)i< (λ2- 4λ + 3)i + 10 成 立,所 以 λ2-3λ=0, λ2-4λ+3=0, λ2<10, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得λ=3,所以实数λ 的取 值集合是{λ|λ=3}。 动手实战:设复数z1=m2+1+(m2+m -2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,m∈R, 若z1<z2,求实数m 的取值范围。 提示:由z1<z2,m∈R,可得z1∈R且 z2∈R。当z1∈R时,由m2+m-2=0,可得 m=1或m=-2;当z2∈R时,由m2-5m+ 4=0,可得m=1或m=4。所以当m=1时, z1=2,z2=6,满足z1<z2。 故当z1<z2 时,实数 m 的取值范围为 {m|m=1}。 易错点3:忽视复数的模的含义 例3 复数z1=cosx-isinx,z2=sinx -icosx,则|z1·z2|= 。 错解:由z1=cosx-isinx,可得|z1|= cos2x+(-sinx)2 =1。同 理,由 z2 = sinx - icos x, 可 得 | z2 | = sin2x+(-cosx)2=1,所以|z1·z2|= |z1|·|z2|=1。 剖析:上述解法把两个复数乘积的模理解 为两个复数模的积,得到|z1·z2|=|z1|· |z2|,从而造成错解。 正解:因为z1·z2=(cosx-isinx)· (sinx-icosx)=cosxsinx-sinxcosx- i(sin2x+cos2x)=-i,所以|z1·z2|=|-i| =1。 动手实战:已知复数z= 2 1+i ,则|z|= 。 提示:因为复数z= 2 1+i= 2(1-i) (1+i)(1-i) =1-i,所以|z|= 12+(-1)2= 2。 易错点4:混淆复数与实数的运算法则 例4 已知z∈C,且|z-2-2i|= 13 (i为虚数单位),则|z|max= 。 错 解:因 为 z-2-2i = 13,所 以 (z-2)2+4=13,解得z=5或z=-1,所以 |z|max=5。 33 易错题归类剖析 高一数学 2025年3月 剖析:上述解法是同学们容易出错的地 方。由z∈C,把z直接当实数参与了复数模 的运算,从而造成错解。特别提醒同学们,当 题设出现z∈C时,要先设出复数z 的代数 形式z=a+bi,再代入运算求解。 正解:设z=a+bi。由|z-2-2i|= 13,可得|a+bi-2-2i|= 13,所以(a- 2)2+(b-2)2=13表示以C(2,2)为圆心,r= 13为半径的圆。因为圆心C到点O(0,0)的 距离d= 4+4=22,所以|z|的最大值为 d+r=22+ 13,即|z|max=22+ 13。 动手实战:设a,b∈C,则“a-b>0”是 “a>b”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 提示:当a=1+i,b=i时,满足a-b> 0,但得不到a>b,即充分性不成立;当a>b 时,则a,b∈R,且a-b>0,即必要性成立。 所以“a-b>0”是“a>b”的必要不充分条 件。应选B。 易错点5:习惯性认为平方是正数,忽视 了i2=-1 例5 复数 2+i 2i-1 的共轭复数是 。 错解:由题意得2+i 2i-1= (2+i)(2i+1) (2i-1)(2i+1) = 2i2+2+5i 4i2-1 = 4+5i 3 ,所以2+i 2i-1 的共轭复数 为 4-5i 3 。 剖析:上述解法把i2=1代入计算了,从 而造成错解。 正解:由题意得2+i 2i-1= (2+i)(2i+1) (2i-1)(2i+1) = 5i -5=-i ,所以2+i 2i-1 的共轭复数为i。 动手实战:已知复数z= 2+i 1-i ,则复数z 的虚部为 。 提示:因为z= 2+i 1-i= (2+i)(1+i) (1-i)(1+i)= 1+3i 2 = 1 2+ 3 2i ,所以复数z的虚部为 3 2 。 易错点6:忽视复数的三角形式的标准 形式 例6 下列各式中,已表示成三角形式 的复数是( )。 A.2cos π 6-isin π 6 B.2cos π 6+isin π 6 C.2sin π 6+icos π 6 D.- 2cos π 6+isin π 6 错解:显然z= 2sin π 6+icos π 6 符合 复数的三角形式。应选C。 剖析:上述解法忽视了复数的三角形式 的标准形式为r(cosθ+isinθ),从而造成错 解。复数三角形式的特点:模非负,角相同, 余弦前,加号连。 正解:复数的三角形式为z=r(cosα+ isinα),其中r≥0,B选项满足题意。应选B。 动手实战:复数z=isin10°的三角形式 为( )。 A.cos10°+isin10° B.isin10° C.sin10°(cos90°+isin90°) D.sin10°(cos0°+isin0°) 提示:因 为 z=isin10°,所 以|z|= sin10°,且 辐 角 主 值 为90°,所 以 复 数z= isin10°的 三 角 形 式 为 sin10°(cos90°+ isin90°)。应选C。 若复数z=- 3 2+ 1 2i ,则复数z的辐角 主值为 。 提示:因为复数z=- 3 2+ 1 2i=cos 5π 6+ isin 5π 6 ,所以z=- 3 2+ 1 2i 的辐角主值为 5π 6 。 作者单位:甘肃省榆中县第二中学 (责任编辑 郭正华) 43 易错题归类剖析 高一数学 2025年3月