09 解三角形中的“误区警示”-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■杨旭子 本文聚焦求解三角形中的误区,并给出 剖析和警示,希望对同学们的学习有所帮助。 误区1:三角形中忽视角的取值范围 例1 在△ABC 中,若 a2 b2 = tanA tanB ,则 △ABC 的形状一定是( )。 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 错解:由正弦定理得sin 2A sin2B = tanA tanB ,所以 sin2A sin2B = sinA cosA ·cosB sinB 。由sinA>0,sinB> 0,可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A= sin2B,所以2A=2B,所以A=B,即△ABC 是等腰三角形。应选C。 剖析:由sin2A=sin2B,可得2A=2B, 忽视了三角形中每个角的取值范围为(0,π)。 因为0<A<π,0<B<π,所以0<2A< 2π,0<2B<2π。由正弦函数在(0,2π)上的 单调性知2A=2B 或2A=π-2B,所以A= B 或A= π 2-B 。故△ABC 为等腰三角形或 直角三角形。应选D。 警示:在△ABC 中,A,B,C∈(0,π),且 A+B+C=π,合理挖掘和使用这些隐含条 件可以避免出错。 误区2:忽视正弦定理变形式的应用 例2 在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC = 3,求 a+b+c sinA+sinB+sinC 的值。 错解:因为S△ABC= 1 2bcsinA ,所以 3= 1 2csin60° ,解得c=4。由余弦定理得a= b2+c2-2bccosA = 1+16-8cos60°= 13。由正弦定理得sinC= csinA a = 23 13 = 6 39 ,sinB= bsinA a = 3 2 13 = 3 2 39 ,所 以 a+b+c sinA+sinB+sinC= 13+5 3 2+ 3 2 39 + 6 39 。 剖析:上述解法没有正确应用正弦定理 的变形式 a+b+c sinA+sinB+sinC=2R ,从而导 致出错。由题意得c=4,a= 13。由正弦 定理得2R= a sinA= 13 sin60°= 2 39 3 ,所以 a+b+c sinA+sinB+sinC=2R= 2 39 3 。 警示:在 △ABC 中, a sinA = b sinB = c sinC=2R ,揭示了边与对角的正弦值的比值 等于其三角形外接圆的直径,由比例性质得 其变形式为 a+b+c sinA+sinB+sinC=2R 。利用 正弦定理及变形式,可以实现边角互化,简化 求解三角形问题。 误区3:三角形ABC 中忽视A+B+C =π的隐含条件 例3 △ABC 中,已知sinA= 3 5 ,cosB = 5 13 ,求cosC 的值。 错解:在△ABC 中,由cosB= 5 13 ,可得 sinB= 12 13 。由sinA= 3 5 ,可 得cosA= ± 4 5 。所 以 cosC =cos π-(A+B) = -cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB= 16 65 或 56 65 。 剖析:错解中忽视了“A+B+C=π”这 一隐含条件。 在△ABC 中,由cosB= 5 13 ,可得sinB 13 易错题归类剖析 高一数学 2025年3月 = 12 13 且B 为锐角。因为cosB= 5 13< 1 2 ,所 以 π 3<B< π 2 。由sinA= 3 5 且 1 2< 3 5< 3 2 , 可得 π 6<A< π 3 或 2π 3<A< 5π 6 。 因为A+B+C=π,所以 π 6<A< π 3 。 所以cosA= 4 5 。故cosC=cos[π-(A+ B)]=-cos(A+B)= -cosAcosB+ sinAsinB= 16 65 。 警示:三角形中求角的问题,要把握函数 值对角的限制,要尽量缩小角的范围,避免多 解或漏解。 误区4:三角形中忽视“大边对大角、大 角对大边”的制约 例4 已知钝角三角形 ABC 的面积是 1 2 ,AB=1,BC= 2,则AC= 。 错解:由S= 1 2AB ·BC·sin∠ABC= 1 2 ,可得sin∠ABC= 2 2 ,所以cos∠ABC= ± 2 2 。由余弦定理得AC=1或AC= 5。 剖析:上述解法忽视了对钝角三角形的 验证,从而造成多解。由S= 1 2AB ·BC· sin∠ABC= 1 2 ,可得sin∠ABC= 2 2 。 当∠ABC= π 4 时,由 AC2=AB2+BC2 -2AB·BCcos∠ABC=1,可得AC=1,此 时为等腰直角三角形,不符合题意;当∠ABC = 3π 4 时,由 AC2 =AB2 +BC2 -2AB · BCcos∠ABC=5,可得 AC= 5,这时符合 大边对大角,满足条件。故AC= 5。 警示:在△ABC 中,a>b⇔A>B⇔ sinA>sinB。 误区5:忽视题设条件中对角的限制作用 例5 在△ABC 中,3sinA+4cosB= 6,3cosA +4sinB =1,则 角 C 的 大 小 为 。 错解:由3sinA+4cosB=6,3cosA+ 4sinB=1,两式平方相加得sin(A+B)= 1 2 ,所以sinC= 1 2 ,所以C= π 6 或C= 5π 6 。 剖析:上述解法忽视了等式3cosA+ 4sinB=1对cosA 的限制作用。 由3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB =1,两式平方相加得sin(A+B)= 1 2 ,所以 sinC= 1 2 ,所以C= π 6 或C= 5π 6 。 当C= 5π 6 时,A +B= π 6 ,因 为 1- 3cosA=4sinB>0,所以cosA< 1 3 。又 1 3< 1 2 ,所以A> π 3 ,则C≠ 5π 6 。故C= π 6 。 警示:解答本题的关键是不能忽视题中 的隐含条件,如cosA< 1 3 比较隐蔽,不易发 现,容易因忽视它而出错。 误区6:忽视“锐角三角形定义的应用” 例6 在锐角△ABC 中,BC=1,B= 2A,则AC 的取值范围为 。 错解:由正弦定理得 AC sin2A= BC sinA ,所 以 AC 2cosA=1 ,即AC=2cosA。由0°<A< 90°,可得AC 的取值范围为(0,1)。 剖析:错解忽视了角B,C 为锐角对角A 的限制作用,因此扩大了角 A 的取值范围。 由 AC sin2A = BC sinA 得 AC 2cosA =1 ,即 AC= 2cosA。由B=2A,可得0°<2A<90°且0° <C=180°-3A<90°,所以30°<A<45°,所 以 2 2<cosA< 3 2 。 故AC=2cosA∈(2,3)。 警示:锐角三角形满足的条件是三个角 都是锐角,或任意两个角的和大于90°。 作者单位:新疆伊犁哈萨克自治州巩留 县高级中学 (责任编辑 王琼霞) 23 易错题归类剖析 高一数学 2025年3月