08 复数核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■刘大鸣(特级教师) 一、选择题 1.下列命题正确的是( )。 A.实数集与复数集的交集是空集 B.任何两个复数都不能比较大小 C.任何复数的平方均非负 D.虚数集与实数集的并集为复数集 2.下列命题一定成立的是( )。 A.若z∈C,则z2≥0 B.若x,y,z∈C,(x-y)2+(y-z)2= 0,则x=y=z C.若a∈R,则(a+2)i是纯虚数 D.若p,q∈C,p>0且q>0,则pq>0 且p+q>0 3.在复数范围内,有下列命题:①-1的 平方根只有i;②i是1的平方根;③若复数 a+bi(a,b∈R)是某一元二次方程的根,则 a-bi一定是方程的另一个根;④若z为纯虚 数i,则z的平方根为虚数。上述命题中真命 题的个数为( )。 A.3 B.2 C.0 D.1 4.(多 选 题)以 下 四 种 说 法 正 确 的 是( )。 A.i9=i B.复数z=3-2i的虚部为-2 C.若z=(1+i)2,则复平面内z 对应的 点位于第二象限 D.复平面内,实轴上的点对应的复数是 实数 5.(多选题)已知复数z 满足z-2i= zi+4,则下列说法中正确的是( )。 A.复数z的模为 10 B.复数z在复平面内所对应的点在第四 象限 C.复数z的共轭复数为-1+3i D.z-13 2023 =-i 6.(多选题)已知复数z1,z2 是关于x 的 方程x2+bx+1=0(-2<b<2,b∈R)的两 个根,则下列说法中正确的是( )。 A.z1=z2 B. z1 z2 ∈R C.|z1|=|z2|=1 D.若b=1,则z31=z32=1 7.(多选题)下列说法正确的是( )。 A.复数z满足z2=|z|2 B.若z1,z2∈C,z1z2=0,则z1,z2 中至 少有一个为0 C.复数z满足|z-i|=1,则|z+1|的最 大值为 2+1 D. 2-i 2+3i 的虚部为- 3 13i 8.(多选题)18世纪末期,挪威测量学家 威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复 数,使复数及其运算具有了几何意义,例如 |z|=|OZ|,即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离。下列说法正确的 是( )。 A.若|z|=1,则z=±1或z=±i B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量 OA→ 与OB→,则向量BA→ 对应的复数为9+i C.若点Z 的坐标为(-1,1),则z 对应 的点在第三象限 D.若复数z满足1≤|z|≤ 2,则复数z 对应的点所构成的图形面积为π 9.(多 选 题)下 列 说 法 中 正 确 的 是( )。 A.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数 B.若x2-1+(x2+3x+2)i是纯虚数, 则实数x=±1 C.若a≤0,则z=a2-b2+(a+|a|)i (a,b∈R)为实数 D.若a,b∈R,且a>b,则bi2>ai2 62 核心考点演练 高一数学 2025年3月 10.(多选题)设复数z=i+2i2,则下列 结论正确的是( )。 A.z的共轭复数为2-i B.z的虚部为1 C.z在复平面内对应的点位于第二象限 D.|z+1|= 2 二、填空题 11.以下四个命题中,所有真命题的序号 是 。 ①若z1,z2∈C,则z1z2+z2z1∈R。 ②若z1,z2∈C,则|z1+z2|2=|z1|2+ 2|z1|·|z2|+|z2|2。③若z1,z2∈C,z21- z22∉R,则z21∉R,z22∉R。④若z1,z2∈C, z21∉R,z22∉R,则z21-z22∉R。 12.下面给出几个关于复数的命题:①若 (x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数 x=±2;②复数(a2+1)i(a∈R)是纯虚数; ③复数z=-sin100°+icos100°在复平面内 对应的点Z 位于第三象限;④如果复数z 满 足|z+i|+|z-i|=2,则|z-2i-1|的最小 值是2。 其中正确命题的序号是 。 13.已知m 是实数,关于x 的方程x2- (m+2)x+m2+3m+1=0的两个虚数根为 z1,z2。若|z1-z2|=2,则m 的值为 。 14.设复平面内的不同三点 A,B,C 对 应复数分别为z1,z2,z3,若 z1-z2 z1-z3 =1+2i(i 是虚数单位),则cos∠BAC 的值为 。 三、解答题 15.已知复数z=(m2-3m+2)+(m2- 4m+3)i,m∈R。 (1)若z是实数,求m 的值。 (2)若z是纯虚数,求m 的值。 (3)若z对应复平面上的点在第四象限, 求m 的取值范围。 16.在 复 平 面 内,设 复 数 z 对 应 向 量 OZ1→,它的共轭复数z对应向量OZ2→。 (1)若复数z 是关于x 的方程2x2+ 4x+k=0的一个虚根,求实数k 的取值范 围,并用k表示|z-z|。 (2)若z=1+2i,且 点 P 满 足 Z1P→= 2PZ2→,求△POZ1 的重心G 所对应的复数zG。 17.在复平面内,O 为坐标原点,复数 z1=m+i是关于x 的方程x2-23x+n=0 的一个根。 (1)求实数m,n的值。 (2)若复数z2=1+ 3i,z1,z2, z2 z1 所对应 的点分别为A,B,C,记△AOB 的面积为S1, △BOC 的面积为S2,求 S1 S2 。 18.已知关于x 的方程x2-2x+a=0 a∈R 在复数集内有两个根x1,x2,且满足 x1-x2 =23。 (1)求实数a的值。 (2)若a>0,存在实数t,使得不等式 loga(a-t2)≥k2+2mk-2k 对任意的m∈ [-2,1]恒成立,求实数k的取值范围。 19.已知复数z1=1+ai,z2=2a-3i (a∈R)。 (1)若z1z2 是纯虚数,求|z1-z2|的值。 (2)若复数 z2 z1 在复平面内对应的点在直 线y=5x 上,求a的值。 一、选择题 1.提示:实数集与复数集的交集是实数 集,A不正确。当两个复数是实数时,可以比 较大小,B不正确。对于C,可举反例如i2= -1,C不正确。虚数集与实数集的并集为复 数集,D正确。应选D。 2.提示:对于 A,当z=i时,z2=-1< 0,A错误。对于B,当x-y=i,y-z=1时, (x-y)2+(y-z)2=0,但x,y,z并不相等, B错误。对于C,若a+2=0,则(a+2)i并不 是纯虚数,C错误。对于 D,因为p,q∈C, p>0且q>0,所 以 p,q 为 正 实 数,所 以 pq>0且p+q>0,D正确。应选D。 3.提示:对于①,-1的平方根有两个, 分别为i和-i,①错误。对于②,1的平方根 是-1和1,②错误。对于③,令a=1,b=0, 则a+bi=1是方程x2+x-2=0的一个根, 72 核心考点演练 高一数学 2025年3月 但方程x2+x-2=0的另一个根是x=-2, 并不是a-bi=1,实际上,只有实系数方程的 虚根才是共轭复数,③错误。对于④,设z=i 的平方根为x+yi(x,y∈R),则(x+yi)2= i,即x2-y2+2xyi=i,所以 x2-y2=0, 2xy=1, 解 得 x= 2 2 , y= 2 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 或 x=- 2 2 , y=- 2 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 所以z=i的平方根 为 2 2+ 2 2i 或- 2 2- 2 2i ,显然z 的平方根 是虚数,④正确。应选D。 4.提示:对于 A,i9=(i2)4·i=i,A 正 确。对于B,复数z=3-2i的虚部为-2,B 正确。对于C,z=(1+i)2=2i,则z=-2i, 复平面内z 对应的点在y 轴的负半轴上,C 不正确。对于D,复平面内,实轴上的点对应 的复数是实数,D正确。应选ABD。 5.提示:因为z-2i=zi+4,所以(1- i)z=4+2i,所以z= 4+2i 1-i= 2(1+i)(2+i) (1+i)(i-1) =1+3i,所以|z|= 12+32 = 10,A 正 确。复数z在复平面内所对应的点为(1,3), 位于第一象限,B错误。复数z 的共轭复数 为z=1-3i,C错误。因为 z-13 2023 =i2023 =-i,D正确。应选AD。 6.提示:对于 A,由Δ=b2-4<0,可得 两根为x= -b± 4-b2i 2 ,不妨设z1=- b 2 + 4-b2 2 i ,z2=- b 2- 4-b2 2 i ,则z1= z2,A 正 确。对 于 C,|z1|=|z2|= - b 2 2 + 4-b 2 2 2 =1,C正确。对于 B,由韦达定理得z1z2=1,所以 z1 z2 = z21 z1z2 =z21 = b2-2 2 - b 4-b2 2 i ,当b≠0时, z1 z2 ∉R,B 错误。对于D,当b=1时,可得z1=- 1 2+ 3 2i ,z2=- 1 2- 3 2i ,计算得z21=- 1 2- 3 2i =z2,z31=z1z2=1,同理得z32=1,D正确。 应选ACD。 7.提示:对于 A,取复数z=i,则z2= -1,|z|2=1,不满足z2=|z|2,A不正确。 对于B,设z1=a+bi,z2=c+di,则z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i= 0,所以 ac-bd=0, ad+bc=0, 则a=b=0或c=d=0, 所以z1,z2 中至少有一个为0,B正确。对于 C,设复数z=x+yi,其对应的点为 Z(x, y),由|z-i|=1,可得x2+(y-1)2=1表示 点Z 在以A(0,1)为圆心,1为半径的圆上, |z+1|表示点Z 到B(-1,0)的距离,由圆的 性质得||AB|-R|≤|BZ|≤|AB|+R。因 为|AB|= 1+1= 2,所以|BZ|≤ 2+1, 即|z+1|的最大值为 2+1,C正确。对于 D,因 为 2-i 2+3i= (2-i)(2-3i) (2+3i)(2-3i)= 1-8i 13 = 1 13- 8 13i ,所以2-i 2+3i 的虚部为- 8 13 ,D错误。 应选BC。 8.提示:对于A,设z=a+bi,只需a2+ b2=1即可满足|z|=1,A错误。对于B,因 为复数6+5i与-3+4i分别表示向量OA→ 与OB→,所以表示向量BA→ 的复数为6+5i- (-3+4i)=9+i,B正确。对于C,点Z 的坐 标为(-1,1),则z对应的点为(-1,-1),位 于第三象限,C正确。对于D,若复数z满足 1≤|z|≤ 2,则复数z对应的点在以原点为 圆心,内圆半径为1,外圆半径为 2的圆环 上,所以所构成的图形面积为2π-π=π,D 正确。应选BCD。 9.提示:对于A,当a=-1,可得(a+1)i =0不是纯虚数,A 错误。对于 B,当 x= -1,可得 x2+3x+2=0,此 时 x2-1+ (x2+3x+2)i=0不是纯虚数,B错误。对于 C,当a≤0时,可得|a|+a=0,所以z=a2- b2 为实数,C正确。对于 D,由i2=-1,且 a>b,可得bi2>ai2,D正确。应选CD。 10.提示:由复数z=i+2i2=-2+i,可 得z的共轭复数为-2-i,A错误。z=-2 +i的虚部为1,B正确。z 在复平面内对应 82 核心考点演练 高一数学 2025年3月 的点为(-2,1),此点位于第二象限,C正确。 |z+1|=|-1+i|= 1+1= 2,D正确。 应选BCD。 二、填空题 11.提示:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b, c,d∈R)。对于①,z1=a-bi,z2=c-di,则 z1z2+z2z1=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a- bi)=ac+bd+(bc-ad)i+ac+bd+(ad- bc)i=2ac+2bd∈R,①正确。对于②,|z1+ z2|2=|(a+c)+(b+d)i|2=(a+c)2+(b+ d)2=a2+c2+b2+d2+2ac+2bd,|z1|2+ 2|z1|·|z2| + |z2|2 = a2 +b2 + 2 (a2+b2)(c2+d2)+c2+d2,则|z1+z2|2 ≠|z1|2+2|z1|·|z2|2+|z2|2,②错误。对 于③,取z1=i,z2=1+i,显然满足z1,z2∈ C,且z21-z22=i2-(1+i)2=-1-2i∉R,但 z21=-1∈R,③错误。对于④,取z1=1+2i, z2=2+i,显然满足z1,z2∈C,且z21=-3+ 4i∉R,z22=3+4i∉R,但z21-z22=-6∈R,④ 错误。答案为①。 12.提示:对于①,因为(x2-4)+(x2+ 3x+2)i是纯虚数,所以 x2-4=0, x2+3x+2≠0, 解 得x=2,①错误。对于②,因为a∈R,所以 a2+1≠0,所以(a2+1)i是纯虚数,②正确。 对于③,因为-sin100°<0,cos100°<0,所以 z=-sin100°+icos100°在复平面内对应的 点在第三象限,③正确。对于④,由复数的几 何意义知|z+i|+|z-i|=2表示复数z 对 应的点Z 到点A(0,-1)和到点B(0,1)的距 离之和为2,因为|AB|=2,所以复数z 对应 的点Z 在线段AB 上。由|z-2i-1|表示点 Z 到点P(1,2)的距离,结合图形知其最小值 为|PB|= (1-0)2+(2-1)2 = 2,④错 误。答案为②③。 13.提示:因为关于x 的方程x2-(m+ 2)x+m2+3m+1=0的两个虚数根为z1,z2 (m 是实数),所以Δ=(m+2)2-4(m2+ 3m+1)=-3m2-8m<0,解得 m>0或 m<- 8 3 ,所以z1+z2=m+2,z1z2=m2+ 3m+1。根据虚根成对的原理得z1=z2。由 |z1- z2| = 2, 结 合 求 根 公 式 得 z1= m+2 2 +i , z2= m+2 2 -i 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 z1= m+2 2 -i , z2= m+2 2 +i 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 因 为 z1z2 =m2+3m+1,所 以 m+22 2 +1=m2+ 3m+1,所以3m2+8m-4=0,解得 m= -4±27 3 (符合题意)。 14.提示:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i, z3=a3+b3i(a1,b1,a2,b2,a3,b3∈R)。由 z1-z2 z1-z3 =1+2i,可得z1-z2=(1+2i)(z1- z3),即z1-z2=z1-z3+2i(z1-z3),整理得 z3-z2=2i(z1-z3),即(a3-a2)+(b3-b2)i =2i[(a1-a3)+(b1-b3)i]=2(b3-b1)+ 2(a1-a3)i,所以a3-a2=2(b3-b1),b3-b2 =2(a1-a3)。因为复数z1,z2,z3 对应的向 量为 OA→,OB→,OC→,所以 BC→=OC→-OB→= (a3-a2,b3-b2),AC→=OC→-OA→=(a3-a1, b3-b1)。 所以|BC→|= (a3-a2)2+(b3-b2)2 = 4(b3-b1)2+4(a1-a3)2 =2 (b3-b1)2+(a1-a3)2 =2|AC→|。 因为BC→·AC→=(a3-a2)(a3-a1)+ (b3-b2)(b3-b1)=2(b3-b1)(a3-a1)+ 2(a1-a3)(b3-b1)=0,所以BC→⊥AC→,所以 |AB→|= |BC→|2+|AC→| 2 = 5|AC→|,所以 cos∠BAC= |AC→| |AB→| = 5 5 。 三、解答题 15.提示:(1)因为z 为实数,所以 m2- 4m+3=0,解得m=1或m=3。 (2) 因 为 z 是 纯 虚 数, 所 以 m2-3m+2=0, m2-4m+3≠0, 解得m=2。 (3)因为z 对应复平面上的点在第四象 限,所以 m2-3m+2>0, m2-4m+3<0, 解得2<m<3,即 92 核心考点演练 高一数学 2025年3月 m 的取值范围为(2,3)。 16.提示:(1)已知复数z是关于x的方程 2x2+4x+k=0的一个虚根,k∈R,则Δ=16 -8k<0,解得k>2,所以实数k的取值范围 为(2,+∞)。由方程2x2+4x+k=0,可得 x= -4±i 8k-16 4 = -2±i 2k-4 2 。不妨 令复数z= -2+i 2k-4 2 ,则另一根为z= -2-i 2k-4 2 ,所以|z-z|= 2k-4(k>2)。 (2)由z=1+2i,可知z=1-2i,所以 OZ1→=(1,2),OZ2→=(1,-2)。设点 P(x, y),由 Z1P→=2PZ2→,可得(x-1,y-2)= 2(1-x,-2-y),所以 x-1=2(1-x), y-2=2(-2-y), 解 得x=1,y=- 2 3 ,所以点P 1,- 2 3 。由三 角形的重心坐标公式得△POZ1 的重心G 为 2 3 ,4 9 ,所以复数zG=23+49i。 17.提示:(1)(方法1)依题意得(m+i)2 -23(m+i)+n=0,化简整理得 m2-1- 23m + n+ (2m - 2 3)i= 0。 由 m2-1-23m+n=0, 2m-23=0, 解得m= 3,n=4。 (方法2)依题意得方程的另一个根为 m- i, 结 合 韦 达 定 理 得 m+i+m-i=23, (m+i)(m-i)=n, 解得m= 3,n=4。 (2)由(1)知z1= 3+i。由z2=1+ 3i, 易得 z2 z1 = 1+ 3i 3+i = 3 2+ 1 2i ,所以点 A(3, 1),B(1,3),C 3 2 ,1 2 ,所以 OA→=(3, 1),OB→=(1,3),OC→= 3 2 ,1 2 ,所以OC→= 1 2OA →,所以S1 S2 = OA→ OC→ =2。 18.提示:(1)当方程有两个实根时,则 Δ=4-4a≥0,即a≤1。易得x1+x2=2,x1x2 =a。由 x1-x2 = (x1+x2)2-4x1x2 = 4-4a=23,解得a=-2。 当方程有两个共轭虚根时,则Δ=4- 4a<0,即a>1。设x1=s+tis,t∈R ,则 x2=s-ti,所以x1+x2=2s=2,x1-x2= 2ti,所以s=1。由 x1-x2 =2t =23, 解得t= 3或t=- 3,即方程两根分别为 1+ 3i,1- 3i,所以a=(1- 3i)(1+ 3i) =1+3=4。 综上所述,a=-2或a=4。 (2)已知a>0,由(1)得a=4。 存在实数t,使得不等式log4(4-t2)≥ k2+2mk-2k对任意的m∈[-2,1]恒成立, 所以[log4(4-t2)]max≥k2+2mk-2k。 因为4-t2∈(0,4],且y=log4x 在定义 域内为增函数,所以log4(4-t2)≤log4 =1, 所以1≥k2+2mk-2k,所以2mk+k2-2k- 1≤0对任意的m∈[-2,1]恒成立。 设函数g(m)=2mk+k2-2k-1,结合 g(m)的单调性得 g(1)=k2-1≤0, g(-2)=k2-6k-1≤0, 解 得3- 10≤k≤1。故实数k的取值范围为 [3- 10,1]。 19.提示:(1)因为z1z2=(1+ai)(2a- 3i)=5a+(2a2-3)i,所以要使z1z2 是纯虚 数,需满足 5a=0, 2a2-3≠0, 解得a=0。 所以z1=1,z2=-3i,所以|z1-z2|= |1+3i|= 10。 (2)利 用 复 数 运 算 得 z2 z1 = 2a-3i 1+ai= - a 1+a2 - 2a2+3 1+a2 i,所以复数 z2 z1 在复平面内 对应的点为 - a 1+a2 , - 2a2+3 1+a2 。由此点 在直线y=5x 上,代入化简得2a2-5a+3= 0,解得a=1或a= 3 2 。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 王琼霞) 03 核心考点演练 高一数学 2025年3月