07 平面向量及其应用核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■刘中亮(特级教师) 一、选择题 1.设向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2, a·b=0,c·(a+b-c)=0,则|c|的最大值 等于( )。 A.1 B.2 C.1+ 5 2 D.5 2.在△ABC 中,已知a=2,b=3,B= 30°,则此三角形( )。 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.无法判断有几解 3.已知a,b,c分别为△ABC 内角A,B, C 的对边,sinC= 4 5 ,c=4,B= π 4 ,则△ABC 的面积为( )。 A.1 B.2 C.1或7 D.2或14 4.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别 为a,b,c,△ABC 的面积为 1 2b (bsinB- asinA-csinC),则B=( )。 A. π 6 B. 5π 6 C. π 3 D. 2π 3 5.在△ABC 中,若(a+b+c)(b+c-a) =3bc,且sinA=2sinBcosC,则△ABC 是 ( )。 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 6.在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的 对边分别为a,b,c,若sin2A-sinBsinC= 0,则 sinB-sinC 2sinA 的取值范围为( )。 A.- 1 2 ,1 2 B.0,14 C.0, 1 2 D.(-1,1) 7.(多选题)在△ABC 中,D,E 分别是 线段BC 上的两个三等分点(D,E 两点分别 靠近B,C 点),则下列说法正确的是( )。 A.AB→+AC→=AD→+AE→ B.若F 为AE 的中点,则BF→=14AC →- 3 4AB → C.若AB→·AC→=0,AB=1,AC=2,则 AD→·AE→=109 D.若|AB→+AC→|= 3|AB→-AC→|,且 AB=AC,则∠CAB=60° 8.(多选题)△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,下面结论正确的是( )。 A.若a=2,A=30°,则△ABC 的外接圆 半径是2 B.若 a cosA= b sinB ,则A=45° C.若a2+b2>c2,则△ABC 一定是锐角 三角形 D.若A<B,则sinA<sinB 9.(多选题)在△ABC 中,角A,B,C 所 对的边分别为a,b,c,若a=4,sinA= 4 5 , cosC= 2 10 ,则下列结论正确的是( )。 A.cosA=± 3 5 B.B= π 4 C.b= 52 2 D.△ABC 的面积为72 10.(多选题)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确 的是( )。 A.若A>B>C,则sinA>sinB>sinC B.若a=40,b=20,B=25°,则满足条件 的△ABC 有两个 C.若a=bcosC,则△ABC 是直角三角 形 D.存在角 A,B,C,使得tanAtanB· 02 核心考点演练 高一数学 2025年3月 tanC<tanA+tanB+tanC 成立 二、填空题 11.在△ABC 中,a=x,b=3,B=30°, 若该三角形有两解,则x 的取值范围是 。 12.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对 边分 别 为 a,b,c,若 b2 =a(a+c),则 asinA bcosA-acosB 的取值范围是 。 13.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且满足acosC+ccosA= 2bcosB,a=2c,b=33,则△ABC 的内切圆 面积为 。 三、解答题 14.在△ABC 中,A=α0<α< π 2 ,b= m。分别根据下列条件,求边长a 的取值范 围。 (1)△ABC 有一解。 (2)△ABC 有两解。 (3)△ABC 无解。 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边 分别为a,b,c,点D 在边BC 上,且AD=3, BD=2,CD=1。 (1)若B= 2π 3 ,求c。 (2)若c=4,求b。 16.已知△ABC 的内角A,B,C 所对的 边分别为a,b,c,且csinB=bsin C 2 。 (1)求C。 (2)若点 D 在CB 的延长线上,CB= BD,AD=1,求a+b的取值范围。 17.设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a(sinA-sinC) =bsinB-csinC。 (1)求角B 的大小。 (2)若 b(sinA+sinC) sinB =8 ,b=4,求 △ABC 的面积。 18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边 分 别 是 a,b,c,且 满 足 2sinA-sinC sinC = a2+b2-c2 a2+c2-b2 。 (1)求角B 的大小。 (2)求sinA+sinC 的取值范围。 (3)若C= π 2 ,BC=2,O 为BC 的中点, P 为线段AO 上一点,且满足BP→·CP→=0, 求AP 的值,并求此时△BPC 的面积S。 19.△ABC 中,a,b,c分别是角A,B,C 的对边,已知B=45°,b= 3c,D 是边BC 的 中点,且AD= 5- 5。 (1)求sinA 的值。 (2)求△ABC 的面积。 20.在①bcosA-c=0,②acosB= bcosA,③acosC+b=0这三个条件中选择 符合题意的一个条件,补充在下面的问题中, 并求解。在△ABC 中,角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知b= 2,c=4,满足 。 (1)请写出你的选择,并求出角A 的值。 (2)在(1)的结论下,已知点 D 在线段 BC 上,且∠ADB= 3π 4 ,求CD 的长。 一、选择题 1.提示:向量a,b,c满足|a|=1,|b|= 2,a·b=0,不妨设a=(1,0),b=(0,2),c= (x,y)。因为c·(a+b-c)=0,所以(x, y)·(1-x,2-y)=x(1-x)+y(2-y)= 0,即x2+y2-x-2y=0,整理得 x- 1 2 2 +(y-1)2= 5 4 ,所以|c|表示圆心为 12 ,1 , 半径为 5 2 的圆上的点到原点的距离,所以 |c|的最大值为 12 2 +12 + 5 2 = 5 。应 选D。 2.提示:在△ABC 中,a=2,b=3,B= 30°,由正弦定理得sinA= asinB b = 2sin30° 3 = 1 3 。因为a<b,所以A<B=30°,即A 为 锐角,所以此三角形有一解。应选A。 12 核心考点演练 高一数学 2025年3月 3.提示:由 c sinC= b sinB ,可得b= 52 2 。 因为sinC= 4 5 ,所以cosC=- 3 5 或 3 5 ,所以 sinA=sin(B+C)=sin π 4cosC+cos π 4 · sinC= 2 10 或 72 10 ,所以S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2×4× 52 2 × 2 10=1 或S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2×4× 52 2 × 72 10=7 。应选C。 4.提 示:因 为 △ABC 的 面 积 为 1 2b (bsinB-asinA-csinC),所以 1 2ab · sinC= 1 2b (bsinB-asinA-csinC),即 asinC=bsinB-asinA-csinC。由正弦定 理得ac=b2-a2-c2,即a2+c2-b2=-ac。 由余弦定理得cosB= a2+c2-b2 2ac =- 1 2 。 因为B∈(0,π),所以B= 2π 3 。应选D。 5.提示:由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 可得(b+c)2-a2=3bc,整理得b2+c2-a2 =bc,所以cosA= b2+c2-a2 2bc = 1 2 。因为A ∈(0,π),所以A= π 3 。由sinA=2sinB· cosC,可得a=2b· a2+b2-c2 2ab ,化简得b= c,所以△ABC 为等边三角形。应选B。 6.提示:由sin2A-sinBsinC=0,可得 a2=bc。由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, 可得a2=(b-c)2+2bc(1-cosA)。令p= sinB-sinC 2sinA = b-c 2a ,所以b-c=2pa,所以 a2=4p2a2+2a2(1-cosA),所以4p2= 2cosA-1,即2p2+ 1 2=cosA 。由题意知A 是锐角,所以0<cosA<1,所以0≤p2< 1 4 , 所以- 1 2<p< 1 2 。应选A。 7.提示:对于A,取BC 的中点 M,则 M 也是DE 的中点,所以AM→=12(AB →+AC→)= 1 2 (AD→+AE→),所以AB→+AC→=AD→+AE→,A 正确。对于B,由F 为AE 的中点,可得BF→= BA→ +AF→ = -AB→ + 12AE → = -AB→ + 1 2 1 3AB →+23AC → =-56AB→+13AC→,B错 误。对于C,因为D,E 分别为线段BC上的两 个三等分点,所以AD→·AE→=(AB→+BD→)· (AC→+CE→)= AB→+13BC → AC→-13BC→ = AB→+13·(AC →-AB→) · AC→-13(AC→- AB→)􀭤􀭥 􀪁􀪁 = 23AB →+13AC → · 23AC→+13AB→ = 2 9AB →2+29AC →2+59AB →·AC→=29×(1+4) +0= 10 9 ,C正确。对于D,因为AB→+AC→= 2AM→,AB→-AC→=CB→,又|AB→+AC→|= 3|AB→-AC→|,所以|AM→|= 32|CB →|,所以 |AM→| |CM→| = 3,即 |AM| |CM|= 3 。因为AB=AC, 所以 AM ⊥BC,且 AM 平 分 ∠BAC。在 Rt△AMC 中,tan∠ACB= |AM| |CM|= 3 ,所 以∠ACB=60°,所以△ABC 为等边三角形, 所以∠CAB=60°,D正确。应选ACD。 8.提示:由正弦定理知 a sinA=4=2R ,所 以外接圆半径是2,A正确。由正弦定理及 a cosA= b sinB 得 sinA cosA= sinB sinB=1 ,即tanA =1,由0°<A<180°知A=45°,B正确。因 为cosC= a2+b2-c2 2ab >0 ,所以C 为锐角,但 A,B 不确定,C错误。由A<B,可得a<b, 结合正弦定理得sinA<sinB,D正确。应选 ABD。 9.提示:由题设得sinC= 1-cos2C= 72 10 ,所以 a sinA= c sinC ,即c= 7 2 >a=4,所 22 核心考点演练 高一数学 2025年3月 以C>A,所以A 不是钝角,否则A、C 都为 钝角,所以cosA= 1-sin2A= 3 5 ,A错误。 因为a2+b2-2abcosC=c2,所以16+b2- 42 5b= 49 2 ,整理得10b2-82b-85=(52b +17)(2b-5)=0,解得b= 5 2 = 52 2 。所 以cosB= a2+c2-b2 2ac = 16+ 49 2- 25 2 2×4× 7 2 = 2 2 , 所以B= π 4 ,B、C正确。△ABC 的面积S= 1 2bcsinA= 1 2× 5 2 × 7 2 × 4 5=7 ,D错误。 应选BC。 10.提示:由A>B>C,可得a>b>c, 由正弦定理知sinA>sinB>sinC,A正确。 由asinB=40sin25°<40sin30°=b<a,可得 △ABC 有两解,B正确。由正弦定理得sinA =sinBcosC=sin(B+C)=sinBcosC+ cosBsinC,即sinCcosB=0,因为三角形中 sinC≠0,所以cosB=0,即B= π 2 ,C正确。 在任意三角形中,tanA=tan(π-B-C)= -tan(B +C)= - tanB+tanC 1-tanBtanC ,所 以 tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,D 错误。应选ABC。 二、填空题 11.提示:由 a sinA= b sinB ,可得sinA= asinB b = x 6 。因为 B=30°,所以0°<A< 150°。要使三角形有两解,则30°<A<150° 且A≠90°,所以 1 2<sinA<1 ,即1 2< x 6<1 , 解得3<x<6,即x∈(3,6)。 12.提示:因为b2=a(a+c),所以b2= a2+ac=a2+c2-2accosB,即 a=c- 2acosB,所以sinA=sinC-2sinAcosB,即 sinA=sinAcosB+cosAsinB-2sinA· cosB,可 得 sin A = -sin AcosB + cosAsinB,所以sinA=sin(B-A)。因为 △ABC 为锐角三角形,所以- π 2<B-A< π 2 ,所 以 A =B -A,即 B =2A。易 得 asinA bcosA-acosB = sin2A sinBcosA-sinAcosB = sin2A sin(B-A)= sin2A sinA = sin A 。 因 为 0<A< π 2 , 0<2A< π 2 , 0<π-3A< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 所以 π 6<A< π 4 ,所以sinA ∈ 1 2 ,2 2 ,即 asinAbcosA-acosB 的取值范围 是 1 2 ,2 2 。 13.提示:由acosC+ccosA=2bcosB 及正弦定理得sinAcosC+sinCcosA= 2sinBcosB,所 以sin(A+C)=sinB= 2sinBcosB。易知sinB>0,所以cosB= 1 2 ,所以B=60°。由余弦定理得b2=27=a2 +c2-2ac·cos60°=3c2,所以c=3,则a= 6,所以S△ABC= 1 2acsinB= 93 2 。设△ABC 的内切圆半径为r,则S△ABC= 1 2 (a+b+c)r = 93 2 ,所以r= 33-3 2 ,所以△ABC 的内 切圆面积S=π33-3 2 2 = (18-93)π 2 。 三、解答题 14.提示:(1)由正弦定理 a sinA= b sinB , 可得sinB= bsinA a = msinα a 。 当a<b,即a<m 时,sinB= msinα a > sinA。①若sinB>1,即 msinα a >1 ,则B 不 存在,△ABC 无解,此时a<msinα;②若 sinB=1,即 msinα a =1 ,则B= π 2 ,△ABC 有 一解,此时a=msinα;③若sinB<1,即 32 核心考点演练 高一数学 2025年3月 msinα a <1 ,这时sinB>sinA,则B 可能是 锐角 或 钝 角,△ABC 有 两 解,此 时 a> msinα,即msinα<a<m。 由上可得,当a=msinα 时,△ABC 有 一解。 当a=b,即a=m 时,sinB= msinα a = sinA,△ABC 有一解。 当a>b,即a>m 时,sinB= msinα a < sinA,此时B 只能是锐角,△ABC 有一解。 综上所述,△ABC 有一解时,边长a 的 取值范围是a=msinα或a≥m。 (2)由(1)知 △ABC 有 两 解,应 满 足 sinA<sinB<1。由sinB= msinα a ,即 sinα< msinα a <1 ,解得msinα<a<m。 (3)由(1)知△ABC 无解,应满足sinB >1,即 msinα a >1 ,解得a<msinα。 15.提示:(1)在△ABD 中,由余弦定理 得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB, 所以9=c2+4-2c·2· - 1 2 ,即c2+2c- 5=0,解得c= 6-1或c=- 6-1(舍去)。 (2)在△ABD 中,由余弦定理得AD2= AB2+BD2-2AB·BD·cosB,所以9= 16+4-16cosB,所以cosB= 11 16 。 在 △ABC 中,AC2 =AB2 +BC2 - 2AB·BC·cosB=16+9-24× 11 16= 17 2 ,即 b2= 17 2 ,所以b= 34 2 。 16.提示:(1)由csinB=bsin C 2 ,可得 sinCsinB=sinBsin C 2 。由B∈(0,π),可得 sinB≠0,所以sinC=sin C 2 ,即2sin C 2cos C 2 =sin C 2 。因为C 2∈ 0 ,π 2 ,所以sinC2≠0, 所以cos C 2= 1 2 。 又 C 2∈ 0 ,π 2 ,所以C2=π3,即C=2π3。 (2)在 △ACD 中,可 知 CD =2a,设 ∠CAD=α,则α∈ 0, π 3 。由正弦定理得 AC sinD = CD sin∠CAD = AD sinC , 即 b sinπ- 2π 3-α = 2a sinα= 1 sin 2π 3 ,解 得 b= 2sin π3-α 3 ,a = sinα 3 ,所 以 a +b = 2sin π3-α 3 + sinα 3 = 3cosα 3 =cosα。 因为α∈ 0, π 3 ,所以a+b=cosα∈ 1 2 ,1 ,即a+b的取值范围是 12,1 。 17.提示:(1)由正弦定理得a(a-c)= b2-c2,整理得a2+c2-b2=ac。由余弦定理 得cosB= a2+c2-b2 2ac = 1 2 ,即cosB= 1 2 。 因为0<B<π,所以B= π 3 。 (2)由正弦定理得 b(a+c) b =8 ,整理得 a+c=8。由 余 弦 定 理 得 b2=a2+c2- 2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,即 16=64-3ac,解 得 ac=16。故 S△ABC = 1 2acsinB= 1 2×16× 3 2=43 。 18.提 示:(1)由 2sinA-sinC sinC = a2+b2-c2 a2+c2-b2 ,可得2a-c c = a2+b2-c2 a2+c2-b2 ,即2a c -1= 2a2-a2+b2-c2 a2+c2-b2 = 2a2 a2+c2-b2 -1,化 简得 a2 +c2 -b2 =ac,所 以 cosB = a2+c2-b2 2ac = 1 2 。又B∈(0,π),故B= π 3 。 (2)由(1)知 A+C= 2π 3 ,所以sinA+ sinC=sinA +sin 2π3-A =sinA + 42 核心考点演练 高一数学 2025年3月 3 2cosA+ 1 2sinA= 3 2sinA+ 3 2cosA= 3sinA+ π 6 。因为0<A<2π3,所以π6< A+ π 6< 5π 6 ,所以 3sinA+ π 6 ∈ 32,3 􀭤􀭥 􀪁􀪁 , 即sinA+sinC∈ 3 2 ,3 􀭤􀭥 􀪁􀪁 。 (3)因为BP→·CP→=0,所以PB⊥PC。 因为BC=2,O 为BC 的中点(图略),所以 PO=1。 因为a=2,所以 AC=23,AB=4,所 以 AO= (23)2+12 = 13,所以 AP= 13-1。 设∠OCP=α,则∠COP=π-2α,所以 sinα= PB BC= 1 2PB ,cosα= PC BC= 1 2PC ,所以 S= 1 2PB ·PC=2sinαcosα=sin2α。 在直角△ACO 中,sin∠COA=sin(π- 2α)=sin2α= AC AO= 23 13 = 2 39 13 。所以当AP = 13-1时,△BPC的面积S= 2 39 13 。 19.提示:(1)在△ABC 中,因 为 B= 45°,b= 3c,所 以 b sinB= c sinC ,即 3c 2 2 = c sinC ,解得sinC= 6 6 。由b= 3c知c<b, 可得C<B,所以cosC= 1-sin2C= 30 6 。 所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+ cosBsinC= 2 2× 30 6 + 2 2× 6 6= 15+3 6 。 (2)由(1)知B+C<90°,所以A>90°。 所 以 cos A = - 1-sin2A = - 1- 18+2 15×3 36 =- 15- 3 6 。 因为AD→=12(AB →+AC→),所以 AD→ 2 = 1 4 (AB→ 2 +2AB→·AC→+AC→ 2 ),即5- 5= 1 4 c 2+2c· 3c· - 15- 3 6 +3c2􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,化 简得c2=4,所以c=2(c=-2舍去),所以 b=23。 所以△ABC 的面积为S△ABC= 1 2bcsinA = 1 2×23×2× 15+ 3 6 = 5+1 。 20.提示:(1)选条件①,则cosA= c b= 4 2 =22>1,不符合题意。 选条件②,由余弦定理得a· a2+c2-b2 2ac =b· b2+c2-a2 2bc ,化简整理得a=b,此时 a+b=22<4,不符合题意。 选条件③,由余弦定理得a· a2+b2-c2 2ab +b=0,所以a2+3b2-c2=0,所以a2=c2- 3b2=16-6=10。 因为cosA= b2+c2-a2 2bc = 2+16-10 82 = 2 2 ,又A∈(0,π),所以A= π 4 。 故答案选③。 (2)由 (1)得 cosC = b2+a2-c2 2ab = 2+10-16 2 20 =- 5 5 。因为 C∈(0,π),所以 sinC= 1-cos2C = 25 5 ,sin ∠CAD = sin3π4-C =sin3π4cosC-cos3π4sinC= 10 10 。在 △ACD 中,因 为 AC sin∠ADC = CD sin∠CAD ,所以 CD= AC·sin∠CAD sin∠ADC = 2× 10 10 2 2 = 10 5 。 作者单位:河南省开封市第十中学 (责任编辑 王琼霞) 52 核心考点演练 高一数学 2025年3月