06 复数的几何意义题型例讲、复数中的最值(范围)问题的求解策略-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■罗 铧 复数z、复平面上的点Z 及向量OZ→ 之 间一一对应,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a, b)⇔OZ→。由于复数、点、向量之间建立了一 一对应的关系,因此可以把复数、向量与解析 几何联系在一起,利用数形结合,使得问题的 解决更加直观。 题型一:求复数在复平面内对应的点所 在的象限 例1 若x,y∈R,i为虚数单位,且x+ y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面 内所对应的点在( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为x+y+(x-y)i=3-i,所以 x+y=3, x-y=-1, 解得 x=1 , y=2, 所以复数x+yi= 1+2i所对应的点为(1,2),此点位于第一象 限。应选A。 评注:对于复平面内的点 Z(a,b),若 a>0,b>0,则点Z 位于第一象限;若a<0, b>0,则点Z 位于第二象限;若a<0,b<0, 则点Z 位于第三象限;若a>0,b<0,则点Z 位于第四象限。 题型二:求复数的模 例2 已知复数z1=3+i,z2=-1+2i, z3 在复平面上对应的点分别为 A,B,C,若 四边形OABC 为平行四边形(O 为复平面的 坐标原点),则复数z3 的模为 。 解析:设z3=a+bi(a,b∈R),则OC→= (a,b)。易得OA→=(3,1),OB→=(-1,2)。 由题意知OA→=CB→=OB→-OC→=(-1- a,2-b),所以 -1-a=3, 2-b=1, 解得 a=-4 , b=1, 所 以|z3|= a2+b2= 17。 评注:向量OZ→ 的模叫作复数z=a+bi 的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|= |a+bi|= a2+b2(a,b∈R)。 题型三:求复数 例3 已知复数z1=1+2i,z2=-2+i, z3=-1-2i,它们在复平面内的对应点是一 个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四 个顶点对应的复数。 解析:记复数z1,z2,z3 对应的点分别为 A,B,C,O 为坐标原点。设正方形的第四个 顶点D 对应的复数为x+yi(x,y∈R)。因 为AD→=OD→-OA→,所以 AD→ 对应的复数为 (x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i。由 BC→=OC→-OB→,可得BC→ 对应的复数为(-1 -2i)-(-2+i)=1-3i。因为AD→=BC→,即 对应 的 复 数 相 等,所 以 x-1=1, y-2=-3, 解 得 x=2, y=-1。 故点D 对应的复数为2-i。 评注:当平面向量的起点在原点时,向量 的终点对应的复数即为向量对应的复数。反 之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向 该点的有向线段,即为复数对应的向量。 题型四:判断三角形的形状 例4 A,B 分别是复数z1,z2 在复平面 内对应的点,O 为坐标原点,若|z1+z2|= |z1-z2|,则△AOB 一定是( )。 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析:由|z1+z2|=|z1-z2|,结合复数 加(减)法的几何意义知以OA→,OB→ 为邻边的 平行四边形的对角线相等,所以此平行四边 形为 矩 形,即 △OAB 为 直 角 三 角 形。应 选B。 评注:对角线相等的平行四边形是矩形。 作者单位:重庆市永川区北山中学校 (责任编辑 王琼霞) 71 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 ■王玉林 策略一:利用复数的几何意义 例1 若复数z=(2-ai)(1+i)在复平 面内对应的点位于第四象限,则实数a 的取 值范围为( )。 A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(-2,2) D.(0,2) 分析:根据已知条件,结合复数的几何意 义即可求解。 解析:因为z=(2-ai)(1+i)=2+a+ (2-a)i,所以复数z在复平面内对应的点的 坐标为(2+a,2-a),所以 2+a>0, 2-a<0, 解得a> 2,即实数a的取值范围为(2,+∞)。应选A。 策略二:利用二次函数的性质 例2 已知复数z=x+yi,x,y∈R,i是 虚数单位。若复数 z 1+i+i 是实数,则|z|的 最小值为 。 分析:由 z 1+i+i= x+y 2 + y-x+2 2 i ,可 得x=y+2,利用|z|= 2(y+1)2+2≥ 2 即得结果。 解析:复数 z 1+i+i= (x+yi)(1-i) (1+i)(1-i)+ i= x+y+(y-x)i 2 +i= x+y 2 + y-x+2 2 i 是实数,所以y-x+2 2 =0 ,即x=y+2。所 以 |z|= x2+y2 = (y+2)2+y2 = 2(y+1)2+2≥ 2,当且仅当y=-1,x= 1时取等号,所以|z|的最小值为 2。 策略三:利用正弦函数的性质 例3 已知复数z=cosθ+isinθ(i是虚 数单位,θ∈R),则|z-1-i|的 最 小 值 为( )。 A.2 B.2-1 C.2+1 D.1 分析:由复数的模长公式,结合同角三角 函数和辅助角公式即得最值。 解析:由题设得z-1-i=cosθ-1+ (sinθ-1)i。 所以|z-1-i| = (cosθ-1)2+(sinθ-1)2 = cos2θ-2cosθ+sin2θ-2sinθ+2 = 3-2(sinθ+cosθ) = 3-22sinθ+ π 4 。 所以当sinθ+ π 4 =1时,|z-1-i|取 得最小值,其最小值为 3-22= 2-1。 应选B。 策略四:利用余弦函数的性质 例4 设实数x,y,θ满足x+yi=1+ 5cosθ+(-1+5sinθ)i,则x2+y2 的最大值 为 。 分析:将x2+y2 用三角函数表示,再利 用三角函数的有界性求解。 解析:因为x+yi=1+5cosθ+(-1+ 5sinθ)i,所以x2+y2=(1+5cosθ)2+(-1+ 5sinθ)2 =27+10(cosθ-sinθ)=27+ 102cosθ+ π 4 。又因为-1≤cosθ+π4 ≤ 1,所以(x2+y2)max=27+102,即x2+y2 的最大值为27+102。 策略五:利用基本不等式a+b≥2 ab (a,b∈R+) 例5 已知a>0,b>0,复数z1=1-2i, z2=a-i,z3=-b在复平面内对应的点分别 为Z1,Z2,Z3,若Z1,Z2,Z3 三点共线,则 1 a+ 2 b 的最小值为( )。 A.9 B.8 C.6 D.4 分析:利用三点共线,结合均值不等式即 81 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 得最小值。 解析:由题意得Z1(1,-2),Z2(a,-1), Z3(-b,0)。由三点共线得 a-1 -1-(-2)= -b-1 0-(-2) ,化简得2a+b=1。因为a>0, b>0,所以 1 a+ 2 b= (2a+b)1a+ 2 b =4+ b a+ 4a b ≥4+2 b a ·4a b =8 ,当且仅当b a= 4a b ,即a= 1 4 ,b= 1 2 时等号成立,所以1 a+ 2 b 的最小值为8。应选B。 策略六:利用圆的性质 例6 若复数z1=1+i,z2=cosα+ isinα(α∈R),其中i是虚数单位,则|z1-z2| 的最大值为 。 分析:根据题意,结合复数的几何意义, 画出图形,即可得到最大值。 解析:由题意可得,复数z2 对应的点Z2 在以原点为圆心,1为半径的圆上,复数z1 对 应的点为Z1(1,1),如图1所示。 图1 由图可得,|z1-z2|的最大值为|OZ1|+ |OZ2|= 2+1。 策略七:利用绝对值不等式 例7 已知复数z1,z2,z3 的模长都为 1,且复数 z1 z2 的实部为 1 8 ,则|z1+z2+z3|的 最大值为 。 分析:利用绝对值不等式|z1+z2|≤ |z1|+|z2|求解。 解析:因为z1,z2,z3 的模长都为1,所 以 z1 z2 =1。又复数 z1 z2 的实部为 1 8 ,所以z1 z2 的虚部只能为± 37 8 ,所以z1 z2 = 1 8± 37 8i ,所 以z1= 1 8± 37 8i z2。故|z1+z2+z3|= 1 8± 37 8i z2+z2+z3 = 98±378i z2 +z3 ≤ 9 8± 37 8i z2 +|z3|= 98± 37 8i ·|z2|+|z3|= 3 2+1= 5 2 ,即|z1+z2 +z3|的最大值为 5 2 。 策略八:利用圆与圆的位置关系 例8 若复数z1,z2 满足|z1-3i|=2, |z2-4|=1,则|z1-z2|的最大值为 。 分析:利用复数z1,z2 的对应点Z1,Z2 的轨迹方程,结合复数模的几何意义,可得 |z1-z2|的最大值。 解析:设z1=a+bi,a,b∈R,z2=x+ yi,x,y∈R。因为|z1-3i|=2,|z2-4|=1, 所以a2+(b-3)2=4,(x-4)2+y2=1,所以 点Z1(a,b)的轨迹为以(0,3)为圆心,2为半 径的圆,点Z2(x,y)的轨迹为以(4,0)为圆 心,1为半径的圆。 由|z1-z2|表示点Z1(a,b)与Z2(x,y) 的距离,结合两圆的位置关系得|z1-z2|的 最大值为 (0-4)2+(3-0)2+2+1=8。 已知复数z=x+yi(x,y∈R),且|z- 2|=1,则yx 的取值范围为 。 提示:因为|z-2|2=(x-2)2+y2=1, 所以(x-2)2+y2=1是以(2,0)为圆心,1为 半径的圆。由题意可设y x=k ,即y=kx。由 (x-2)2+y2=1, y=kx, 可得(1+k2)x2-4x+ 3=0。因为直线y=kx 与圆有公共点,所以 Δ=16-12(1+k2)≥0,解得- 3 3≤k≤ 3 3 , 即y x 的取值范围为 - 3 3 ,3 3 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。 作者单位:湖北省恩施土家族苗族自治 州高级中学 (责任编辑 王琼霞) 91 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月