05 复系数一元二次方程的求解策略、转化思想在解三角形中的应用-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■全 乐 一、实系数一元二次方程求解中的分类 讨论 例1 设方程x2-2x+k=0的根分别 为α,β,且|α-β|=22,求实数k的值。 解析:实系数一元二次方程根的情况,可 借助判别式分类切入求解。 对于方程x2-2x+k=0,Δ=4-4k。 当Δ=4-4k≥0,即k≤1时,方程有两个实 数根,由|α-β|= (α+β)2-4αβ=2 1-k =22,解得k=-1;当Δ=4-4k<0,即 k>1时,方程有两个共轭虚数根,即α=1+ i k-1,β=1-i k-1,由|α-β|= |2i k-1|=2 k-1=22,解得k=3。 综上可得,k=-1或k=3。 解后反思:盲目套用|α-β|2=(α-β)2 =α2+β2-2αβ是求解本题时极易出现的错 误。对于实系数一元二次方程根的有关问 题,可借助判别式合理分类。在复数集C中, 对于方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R),当 Δ=b2-4ac<0时,虚根共轭且成对出现,即 x= -b±i 4ac-b2 2a 。 二、复系数一元二次方程求解中的等价 转化 例2 已知关于x 的一元二次方程x2- (2i-1)x+3m-i=0有实根,求m 的值。 解析:依据根的意义,设出实根,利用复 数相等的充要条件进行转化求解。设一元二 次方程x2-(2i-1)x+3m-i=0的实根为 α,由根的定义得α2-(2i-1)α+3m-i=0, 所以(α2+α+3m)-(2α+1)i=0。由复数相 等的定义得 α2+α+3m=0, -(2α+1)=0, 解得α=-12, m= 1 12 ,所以当此方程有实根时,m 的值为 1 12 。 解后反思:实数系中一元二次方程有实 根的判断方法是判别式Δ≥0,但对于复数系 中一元二次方程并不适用。对于复数集上的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是否存 在实根,不能用判别式Δ 判断,而需要利用复 数相等的充要条件进行转化求解。 三、模的最值探究中的“函数与方程”思 想的应用 例3 已知关于x 的方程x2+zx+4+ 3i=0有实根,求复数z的模的最小值。 解析:同学们受原有的实系数的思维定式 影响,会认为系数为实数可用求根公式求解, 从而导致思维中断。若转换思维角度,将数系 扩充为复数,利用两个复数相等的充要条件, 可转化为不等式求解,从而思维通畅。不妨设 x∈R,且x≠0,则z=- x2+4+3i x =- x+ 4 x -3xi,所以|z|= x+4x 2 + 3x 2 = x2+ 25 x2 +8≥3 2,当且仅当x2= 25 x2 ,即 x=± 5时取等号,所以|z|min=32。 解后反思:一元二次方程的有根问题要 注意系数的取值范围,当题设不特别说明系 数时均为复数,处理方程问题的有效途径是 巧设代数形式,利用根适合方程的意义,借助 两个复数相等的充要条件求解。本题利用复 数的模的意义将问题转化为均值不等式求 解,实质是提取问题的数学特征,用联系变化 的观点看待数学对象,建立函数关系,实现函 数与方程的相互转化,从而达到顺利解决问 题的目的。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 王琼霞) 41 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 ■查玉娟 解三角形作为高中数学的重要内容之 一,对于同学们的数学思维品质有较高要 求,需要同学们运用三角形的相关知识,结 合已有条件求出三角形的边或角,其中涉 及转化思想的应用,如将抽象语言转化为 直观的图形、“爪”型问题的相关求解、边角 互化的应用及三角形内角的转化等。下面 就转化思想在解三角形中的几类应用进行 详细阐述,供大家参考。 应用一:转化思想在解三角形边角互化 中的应用 例1 已知△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,且acosB+3asinB=b+c。 (1)求角A 的大小。 (2)若a=2,△ABC 的面积为 3,求b+ c的值。 解析:(1)由acosB+ 3asinB=b+c, 结合正弦定理得sinAcosB+ 3sinAsinB =sinB +sinC,所 以 sin AcosB + 3sinAsinB=sinB+sin(A+B),化简得 3sinAsinB=sinB+cosAsinB。因 为 sinB ≠0,所 以 3sinA =1+cosA,即 3sinA-cosA=1,所以sinA- π 6 =12。 由0<A<π,可得- π 6<A- π 6< 5π 6 ,所以 A- π 6= π 6 ,即A= π 3 。 (2)已知△ABC 的面积为 3,A= π 3 , a=2,由三角形的面积公式得 1 2bcsin π 3= 3,所以bc=4。由余弦定理得22=b2+c2- 2bccos π 3 ,即b2+c2-bc=4,所以(b+c)2- 3bc=4,所以(b+c)2=4+3bc=4+12=16, 所以b+c=4。 思维提升:本题属于高考或“模考”中解 三角形较常规的题型。对于第(1)问,解题的 关键是利用正弦定理进行边角互化求角。对 于第(2)问,分析发现,这是边为一次的齐次 类型,通过边化角即可得到sinAcosB+ 3sinAsinB=sinB+sinC,此时发现有三 个角,于是可以利用三角形内角和为180°进 行角度转化,那么要替换哪个角呢? 通过观 察发现,角A、B 的正余弦值是乘积关系,于 是可以替换角C,即sinAcosB+ 3sinA· sinB=sinB+sin(A+B),进而化简得到 3sinA=1+cosA,然后利用辅助角公式即 可求值。 应用二:转化思想在借助三角形内角和 为180°的角度转化中的应用 例2 记△ABC 的内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且 cosA 1+sinA=tanB 。 (1)若a=b=1,求c的值。 (2)以a,b,c为边长的正三角形的面积 分别记为S1,S2,S3,求 S1+S2 S3 的最小值。 解析:(1)利用切弦互化,结合两角和的 余弦公式、倍角公式及余弦定理即可求值。 由 cosA 1+sinA =tanB ,可 得 cosA 1+sinA = sinB cosB ,即sinB=cosAcosB-sinAsinB= cos(A+B)。因为a=b=1,所以A=B,且 A,B∈ 0, π 2 ,所以sinB=cos2B,可得 2sin2B+sinB-1=0,所以sinB= 1 2 (负值 舍去),所以B=A= π 6 ,所以C= 2π 3 。 在△ABC 中,由余弦定理得c2=a2+ b2-2abcosC=3,所以c= 3。 (2)利用正弦函数的单调性求出 B= 51 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 C- π 2 ,再结合正三角形的面积求最值。 由(1)知sinB=cosAcosB-sinAsinB =cos(A+B)=-cosC>0,所以cosC<0, 所以C∈ π2 ,π ,B∈ 0,π2 。 所以sinB=sinC- π 2 。 因为B,C- π 2∈ 0 ,π 2 ,且正弦函数在 0, π 2 上单调递增,所以B=C-π2。由0< C+C- π 2<π ,可得π 4<C< 3π 4 ,所以π 2< C< 3π 4 ,所以sin2C∈ 12 ,1 。 易得 S1+S2 S3 = a2+b2 c2 = sin2A+sin2B sin2C = cos22C+cos2C sin2C = 4sin4C-5sin2C+2 sin2C = 4sin2C+ 2 sin2C -5≥2 4sin2C· 2 sin2C -5= 42-5,当且仅当4sin2C= 2 sin2C ,即sin2C = 2 2∈ 1 2 ,1 时取等号,所以当sin2C= 22 时,S1+S2 S3 的最小值为42-5。 思维提升:不难发现,对于边长型最值或 正余弦型最值问题,可以边角互化转化为关于 三角函数的角的讨论或值域问题,解题的关键 是三角形内角和的应用,当然也要对角的取值 范围进行讨论。通过本题的解答,同学们要达 到学习一道题,会解一类题的效果。 应用三:转化思想在“爪”型图形类解三 角形中的应用 例3 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别为a,b,c,已知sinA=sinCcosB- 3 3sinBsinC 。 (1)求角C 的大小。 (2)若角C 的平分线交AB 于点D,且 CD=2,求a+2b的最小值。 解析:(1)利用和差公式化简题设条件, 可得tanC 的值,即可求出角C 的大小。 因为sinA=sinCcosB- 3 3sinB · sinC,所 以sinCcosB- 3 3sinBsinC= sin(C+B)=sinCcosB+cosCsinB,所以 - 3 3sinBsinC=cosCsinB 。因为0<B< π,所以sinB>0,所以- 3 3sinC=cosC ,所 以tanC=- 3。又C∈(0,π),所以C= 2π 3 。 (2)利用三角面积公式得到 1 a+ 1 b= 1 2 , 再利用基本不等式求出a+2b的最小值。 如图1,在△ABC 中,角C 的平分线交 AB 于 点 D,且 CD =2,S△ABC =S△ACD + S△BCD。 图1 由三角形面积公式得 1 2absin 2π 3= 1 2b · CD·sin π 3+ 1 2a ·CD·sin π 3 ,两边同除以 1 2ab ·CD 得 sin 2π 3 CD = sin π 3 a + sin π 3 b ,所以 1 a+ 1 b= 1 2 。 故a+2b=2(a+2b) 1a+ 1 b = 23+ 2b a+ a b ≥23+2 2ba·ab =6+42, 当且仅当 2b a= a b ,即b=2+2,a=2+22时等 号成立,所以a+2b的最小值为6+42。 思维提升:不难发现,对于图形类中的边 角问题,可转化到某个三角形中,利用正、余 弦定理或面积公式求解。通过本题的解答, 也可以用同样的方法研究解三角形中其他较 复杂的图形类问题。 作者单位:甘肃省酒泉市瓜州县第一中学 (责任编辑 王琼霞) 61 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月