03 例析解三角形小题的妙法视角、聚焦复数加减法几何意义的应用-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■徐春生 一、作高法 例1 已知△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,若tanA= 1 3 ,sinC= 5 5 , a= 5,则b=( )。 A.10 B.25 C.15 D.5 解析:如图1,作BD⊥AC 于D。 图1 在Rt△CDB 中,由sinC= 5 5 ,a= 5, 可得BD=1,所以 DC= BC2-BD2 =2。 在Rt△ADB 中,由tanA= 1 3 ,可得AD=3。 由上可得,b=AD+DC=5。应选D。 点评:从哪一个顶点作高,构造直角三角 形,这是解题的关键。如果作BC 边上的高, 就破坏了两个条件;如果作AB 边上的高,就 破坏了一个条件;如果作AC 边上的高,就保 留了所有条件。 例2 △ABC 的内角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知C=60°,b= 6,c=3,则 A= 。 解析:如图2,作AD⊥BC,垂足为D,则 ∠CAD=30°,所以CD= 6 2 。 图2 由勾 股 定 理 得 AD = AC2-CD2 = 32 2 ,BD= AB2-AD2= 32 2 ,所以AD= BD,所以∠BAD=45°,所以∠CAB=75°,即 A=75°。 点评:如果过B 作AC 边上的高,就把已 知线段b分成两段,不能很好地利用已知条 件,所以考虑过A 作BC 边上的高AD。 二、射影定理法 例3 △ABC 的内角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,若cosA= 4 5 ,cosC= 5 13 ,a=1, 则b= 。 解析:因为cosA= 4 5 ,cosC= 5 13 ,所以 sinA= 1-cos2A= 3 5 ,sinC= 1-cos2C = 12 13 。由正弦定理得c= asinC sinA = 20 13 。 由三角形中的射影定理得b=acosC+ ccosA= 21 13 。 点评:三角形中的射影定理:在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则 b=acosC+ccosA,a=bcosC+ccosB,c= acosB+bcosA。 例4 △ABC 的内角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则 B=( )。 A. 2π 3 B. 5π 6 C. π 6 D. π 3 解析:由三角形中的 射 影 定 理 得b= acosC+ccosA。因为2bcosB=acosC+ ccosA,所以2bcosB=b。因为b≠0,所以 2cosB=1,即cosB= 1 2 。又0<B<π,所以 B= π 3 。应选D。 点评:求形如acosC+ccosA,bcosC+ ccosB,acosB+bcosA 的式子,可联想到射 影定理进行等量代换。 作者单位:广东省汕头市澄海凤翔中学 (责任编辑 王琼霞) 8 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 ■陶宝兰 复数与复平面上的点构成一一对应,复 数的差表示以减数对应的点指向被减数对应 的点所构成的向量,利用向量的特点可以得 到复数的差和向量之间的对应关系。把握减 法和加法互为逆运算可以得到加法的平行四 边形法则或三角形法则,将加法的有关问题 转化为减法运算,借助复数和复平面上点的 一一对应关系,利用向量加减法的几何意义 可以得到与复数有关的变式应用。 一、利用复数加减法的几何意义与向量 结合 例1 如图1,已知平行四边形OABC, 顶点O,A,C 分别表示复数0,3+2i,-2+ 4i。 图1 (1)求AO→ 所表示的复数及BC→ 所表示 的复数。 (2)求对角线CA→ 所表示的复数。 (3)求对角线 OB→ 所表示的复数及OB→ 的长度。 分析:要表示向量对应的复数,只需明确 目标向量的始点和终点,利用向量的减法运 算求解,或者利用向量相等直接得到结果。 解:(1)利用相等向量求解。因为AO→= -OA→,所以AO→ 所表示的复数为-3-2i。 因为BC→=AO→,所以BC→ 所表示的复数 为-3-2i。 (2)利用复数减法的几何意义求解。因 为CA→=OA→-OC→,所以CA→ 所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i。 (3)利用复数加法的几何意义和模的定 义求 解。因 为 对 角 线 OB→=OA→+AB→= OA→+OC→,所以对角线OB→ 所表示的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i。 所以|OB→|= 12+62= 37。 感悟:求某个向量对应的复数,一定要结 合图形找到向量的起点和终点,终点对应的 复数减去起点对应的复数即为所求向量对应 的复数。 二、利用复数减法的几何意义探究轨迹 方程 例2 已知|z|=r,求2z+3-4i对应的 点的轨迹方程。 分析:设出复数的代数形式,借助复数减 法和模的几何意义探究其轨迹方程。 解:利用复数相等,其模相等,两边取模 沟通切入求解。设复数ω=2z+3-4i=x+ yi(x,y∈R),则2z=ω-3+4i=x-3+ (y+4)i。因为|z|=r,所以|2z|=2r,所以 |ω-(3-4i)|=2r,所以(x-3)2+(y+4)2 =4r2。结合圆的定义可得,ω 对应点的轨迹 是以(3,-4)为圆心,2r 为半径的圆,即为 2z+3-4i对应的点的轨迹方程。 故2z+3-4i对应的点的轨迹方程为(x -3)2+(y+4)2=4r2。 感悟:由复数减法的几何意义知|z-z1| 表示复平面上两点z,z1 间的距离。|z-z1| =r表示复数z对应的点的轨迹是以z1 对应 的点为圆心,半径为r的圆。|z-z1|=|z- z2|的几何意义是以复数z1,z2 的对应点为 端点的线段的垂直平分线。 三、利用复数减法的几何意义探究平面 区域 例3 已知复数z 满足log2 |z-1|+4 |z-1|-2 9 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 <1,则复数z所对应的点Z 的集合表示的图 形是 。 分析:要求复数z表示的图形,可先化简 表达式,再观察所表示的几何特征,从而判断 所表示的图形。 解:由log2 |z-1|+4 |z-1|-2<1 ,可 得 0< |z-1|+4 |z-1|-2<2 ,所以0<|z-1|-2且|z- 1|+4<2|z-1|-4,所以|z-1|>2且|z- 1|>8,所以|z-1|>8。 设z=x+yi(x,y∈R),则|(x-1)+ yi|>8,所以 (x-1)2+y2 >8,所以(x- 1)2+y2>64,所以复数z所对应的点Z 在以 点(1,0)为圆心,8为半径的圆外。 感悟:任何向量所对应的复数,总是这个 向量的终点对应的复数减去始点对应的复数 所得的差,即向量AB→ 所表示的复数是zB- zA,而向量BA→ 所表示的复数是zA-zB,切 不可把被减数与减数相混淆。向量AB→ 的位 置可以不同,只要它们的终点与始点所对应 的复数的差相同,那么向量AB→ 所对应的复 数是唯一的,因此我们将复平面上的向量称 为自由向量,即它只与其方向和长度有关,而 与位置无关。利用复数减法的几何意义,可 以得到一些基本图形的复数表示形式,如圆 的复数形式方程和线段中垂线的复数形式方 程等。 四、利用复数减法的模的几何意义求解 模的最值 例4 设复数z满足||z+4-3i|-2|= 2-|z+4-3i|,求|z|的最大值和最小值。 分析:依据复数模为实数的特点,仔细观 察等式||z+4-3i|-2|=2-|z+4-3i|, 发现其实质是一实数等式。由实数的性质可 知,若|a|=-a,则a≤0。 解:由已知等式结合绝对值的定义可得, |z-(-4+3i)|-2≤0,所以|z-(-4+ 3i)|≤2。由复数的模的几何意义可知,|z- (-4+3i)|-2≤0表示以点P(-4,3)为圆 心,半径R=2的圆面,所以复数z 对应的点 在圆面上运动,如图2所示。 图2 所以当|z|=|OQ|时,|z|有最大值 |OP|+R=5+2=7;当|z|=|OM|时,|z| 有最小值|OP|-R=5-2=3。故|z|的最 大值为7,最小值为3。 感悟:复数的减法的模的几何意义,沟通 了复数与解析几何之间的联系。求复数的模 的最值,根据其几何条件探究复数对应点的 轨迹方程,利用图形的直观性求解。 五、利用复数减法的几何意义探究知识 交汇问题 例5 已知集合 M={y|y=|cos2x- sin2x|,x∈R},集合 N= x x- 1 i < 2 , i为虚数单位,x∈R ,则 M∩N 为( )。 A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 分析:集合 M 研究的对象是三角函数的 值域,而集合N 研究的对象是绝对值不等式 的解集,其中 x- 1 i < 2 是关于复数模的 不等式,本质上还是熟悉的实数不等式。 解:由y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|∈ [0,1],可得集合 M=[0,1]。由 x- 1 i < 2,可得|x+i|= x2+1< 2,所以-1< x<1,即集合 N=(-1,1)。所以 M∩N= [0,1)。应选C。 感悟:此类题型属于创新问题,解题的关 键是利用复数的模表示不等式的解集。同学 们在平时做题时,一定不要被表面条件迷惑, 应弄清每道题究竟在考查什么,如本题就要 弄清集合代表元素的本质属性。 作者单位:安徽省淮南第一中学 (责任编辑 王琼霞) 01 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月