02 数学思想在复数中的应用、求解三角问题，要重视挖掘隐含条件-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■廖 龙 方程思想、数形结合思想、分类讨论思 想、转化与化归思想是求解高中数学问题的 常用思想与方法。下面就数学思想在复数中 的应用进行举例分析,供大家学习与参考。 一、方程思想 例1 已知复数z的共轭复数是z,且满 足z·z+2iz=9+2i,则z= 。 解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z=a- bi。因为z·z+2iz=9+2i,所以(a+bi)(a -bi)+2i(a+bi)=9+2i,即a2+b2-2b+ 2ai=9+2i,所以 a2+b2-2b=9, 2a=2。 ①② 由②得a=1,代入①得b2-2b-8=0, 解得b=-2或b=4。故z=1-2i或z= 1+4i。 评注:复数a+bi=c+di⇔a=c且b= d(a,b,c,d∈R)。 二、数形结合思想 图1 例2 如图1 所 示,四 边 形 ABCD 是复平面 上的平行四边形, 顶 点 A,B,C 分 别对应复数-5- 2i,-4+5i,2,求 点D 对应的复数 及对角线AC,BD 的长。 解析:因为AC 与BD 的交点M 是各自 的中点,所以zM= zA+zC 2 = zB+zD 2 ,所以点 D 对应的复数为zD=zA+zC-zB=1-7i。 因为AC→ 对应的复数为zC-zA=2- (-5-2i)=7+2i,所以|AC→|=|7+2i|= 72+22= 53。因为 BD→ 对应的复数为 zD-zB=(1-7i)-(-4+5i)=5-12i,所以 |BD→|=|5-12i|= 52+122=13。 故点D 对应的复数是1-7i,对角线AC 与BD 的长分别是 53和13。 评注:复数z=a+bi与复平面内的对应 点Z(a,b)及向量OZ→=(a,b)(a,b∈R)是一 一对应关系。向量 AB→ 对应的复数是zB- zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)。 三、分类讨论思想 例3 若复数z=i+i2+i3+…+in,n∈ N*,则|z|的最大值为 。 解析:已知i1=i,i2=-1,i3=-i,i4= 1,…,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,i4k=1, k∈N*,且i+i2+i3+i4=0。利用in 的周期 性,分四种情况求解。 当n=4k(k∈N*)时,z=0,则|z|=0。 当n=4k+1(k∈N*)时,z=i,则|z|=1。 当n=4k+2(k∈N*)时,z=-1+i,则 |z|= (-1)2+12= 2。 当n=4k+3(k∈N*)时,z=-1,则 |z|=1。 故|z|的最大值为 2。 评注:i的乘方具有周期性,可分n=4k, n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3,k∈N*这四 种情况进行讨论求解。 四、转化与化归思想 例4 定义运算 a c b d =ad-bc,若(x+ y)+(x+3)i= 3x+2y -y i 1 ,则xy= 。 解析:结合定义运算得 3x+2y -y i 1 = 3x+2y+yi,所以(x+y)+(x+3)i=3x+ 2y +yi,所 以 x+y=3x+2y, x+3=y, 整 理 得 2x+y=0, x+3=y, 解得x=-1,y=2。故xy=1。 评注:解答本题的关键是新定义运算法 则的灵活应用。 作者单位:湖北省恩施市第三高级中学 (责任编辑 王琼霞) 5 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 ■陈 云 隐含条件就是没有直接或明显地反映在 已知中的条件。在解三角问题时,由于公式 多,隐含条件多,导致部分同学顾东不顾西, 稍不留心,就会不知不觉地产生错误,造成错 解、增解或漏解,因此,分析研究题目中隐含 的条件就显得非常重要。只有深入挖掘隐含 条件,才能预防错解、增解或漏解的产生,才 能提高解题的正确性。 例1 已知tanα,tanβ 是方 程x2+ 33x+4=0的两个实根,且- π 2<α< π 2 , - π 2<β< π 2 ,求α+β的值。 错解:已 知tanα,tanβ 是 方 程 x2+ 33x+4=0的两个实根,由韦达定理得 tanα+tanβ=-3 3,tanαtanβ=4,所以 tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanαtanβ = -33 1-4 = 3 。 因为- π 2<α< π 2 ,- π 2<β< π 2 ,所以-π< α+β<π,所以α+β=- 2π 3 或α+β= π 3 。 剖析:上述解法没有深入思考“tanα+ tanβ=-33,tanαtanβ=4”中的隐含条件。 实际上,结合韦达定理得tanα<0,tanβ<0。 又因为- π 2<α< π 2 ,- π 2<β< π 2 ,所以 - π 2<α<0 ,- π 2<β<0 ,所以α+β=- 2π 3 。 正解:因 为tanα,tanβ 是 方 程 x2+ 33x+4=0的两个实根,所以tanα+tanβ =-33,tanαtanβ=4,所以tanα<0,tanβ <0。因为- π 2<α< π 2 ,- π 2<β< π 2 ,所以 - π 2<α<0 ,- π 2<β<0 ,所以α+β∈(-π, 0)。又因为tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanαtanβ = -33 1-4= 3 ,所以α+β=- 2π 3 。 例2 已知sinxcosy= 1 2 ,求cosxsiny 的取值范围。 错解1:设cosxsiny=t。 ① 已知sinxcosy= 1 2 。 ② 由①+②得sinxcosy+cosxsiny= t+ 1 2 ,所以sin(x+y)=t+ 1 2 。因为-1≤ sin(x+y)≤1,所以-1≤t+ 1 2≤1 ,所以 - 3 2≤t≤ 1 2 ,所以cosxsiny 的取值范围为 - 3 2 ,1 2 。 错解2:设cosxsiny=t。 ① 已知sinxcosy= 1 2 。 ② 由①-②得cosxsiny-sinxcosy= t- 1 2 ,所以sin(y-x)=t- 1 2 。因为-1≤ sin(y-x)≤1,所以-1≤t- 1 2≤1 ,所以 - 1 2≤t≤ 3 2 ,所以cosxsiny 的取值范围为 - 1 2 ,3 2 。 剖析:已知式子sinxcosy= 1 2 与所求式 子cosxsiny=t中,隐含着sin(x+y)=t+ 1 2 与sin(y-x)=t- 1 2 同 时 成 立,所 以 cosxsiny 的取值范围为 - 1 2 ,1 2 。 正解:设cosxsiny=t。 ① 已知sinxcosy= 1 2 。 ② 由①+②得sinxcosy+cosxsiny= t+ 1 2 ,即sin(x+y)=t+ 1 2 。 因为-1≤sin(x+y)≤1,所以-1≤t+ 1 2≤1 ,所以- 3 2≤t≤ 1 2 。 ③ 6 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 由①-②得cosxsiny-sinxcosy= t- 1 2 ,即sin(y-x)=t- 1 2 。 因为-1≤sin(y-x)≤1,所以-1≤t- 1 2≤1 ,所以- 1 2≤t≤ 3 2 。 ④ 由③④得- 1 2≤t≤ 1 2 ,即cosxsiny 的 取值范围为 - 1 2 ,1 2 。 例3 若α,β,γ 均为锐角,且sinα+ sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,则α-β等 于 。 错解:由题设得sinα-sinβ=-sinγ, cosα-cosβ=cosγ,两式平方相加得cos(α -β)= 1 2 。因为α,β均为锐角,所以- π 2< α-β< π 2 ,所以α-β=± π 3 。 剖析:上述解法没有真正利用α,β,γ 均 为锐角的条件。因为γ 为锐角,且sinα- sinβ=-sinγ<0,所以题设中隐含着sinα< sinβ。又因为α,β均为锐角,所以α<β。故 - π 2<α-β<0 。 正解:由题设得sinα-sinβ=-sinγ, cosα-cosβ=cosγ,两式平方相加得cos(α -β)= 1 2 。因为γ 为锐角,且sinα-sinβ= -sinγ<0,所以sinα<sinβ。又因为α,β均 为锐角,所以α<β,所以- π 2<α-β<0 。故 α-β=- π 3 。 例4 已知tan(α-β)= 1 2 ,tanβ=- 1 7 ,且 α∈(0,π),β∈(0,π),求2α-β的值。 错解:由tan(α-β)= 1 2 ,tanβ=- 1 7 ,容 易得 到 tanα=tan[(α-β)+β]= 1 3 , tan2α= 2tanα 1-tan2α = 3 4 ,据此可得tan(2α-β) =1。又因为α∈(0,π),β∈(0,π),所以2α- β∈(-π,2π),所以2α-β=- 3π 4 或2α-β= π 4 或2α-β= 5π 4 。 剖析:上述解法在求2α-β的范围时,只 是依据了题目所给的α∈(0,π)和β∈(0,π), 而忽视了三角函数的值对其角的范围的进一 步缩小。 正解:由tan(α-β)= 1 2 ,tanβ=- 1 7 ,容 易得 到 tanα=tan[(α-β)+β]= 1 3 , tan2α= 2tanα 1-tan2α = 3 4 ,据此可得tan(2α-β) =1。因为tanα= 1 3<1 ,又α∈(0,π),所以 0<α< π 4 ,即 0<2α< π 2 。因 为tanβ= - 1 7<0 ,又β∈(0,π),所以β∈ π 2 ,π ,所以 2α-β∈(-π,0),所以2α-β=- 3π 4 。 1.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B= 。 提示:由三角形中的 射 影 定 理 得b= acosC+ccosA。因为2bcosB=acosC+ ccosA,所以2bcosB=b。由b≠0得2cosB= 1,即cosB= 1 2 。因为0<B<π,所以B= π 3 。 2.在 三 角 形 ABC 中,A,B 为 锐 角, cos2A= 3 5 ,sinB= 10 10 ,求A+B 的值。 提示:由 A,B 为锐角,sinB= 10 10 < 2 2 ,可得0<B< π 4 。由cos2A= 3 5 ,可得 sinA= 5 5 < 2 2 ,可知0<A< π 4 ,所以0< A+B< π 2 。因为sin(A+B)=sinAcosB+ cosAsinB= 2 2 ,所以A+B= π 4 。 作者单位:江苏省靖江市刘国钧中学 (责任编辑 王琼霞) 7 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月