01 例析解三角形中的取值范围或最值问题-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■刘长柏 在解三角形的背景下,设置与边长、角 度、周长、面积等相关的取值范围或最值问 题,是近几年高考的考查热点,一直受到命题 者的青睐。 一、化角为边,利用基本不等式求最值 例1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别为a,b,c,其中b= 3,且(a-sinC)· cosB=sinBcosC。 (1)求角B 的大小。 (2)求△ABC 周长的取值范围。 解析:(1)由(a-sinC)cosB=sinB· cosC,即acosB-sinCcosB=sinBcosC, 可得acosB=sinCcosB+sinBcosC= sin(C+B),所以acosB=sinA,所以 a sinA = 1 cosB 。因为 a sinA= b sinB ,且b= 3,所以 b sinB= 1 cosB ,所以tanB= sinB cosB=b= 3 。 又因为B∈(0,π),所以B= π 3 。 (2)由 B= π 3 ,b= 3,结合余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,可得3=a2+c2-ac, 所以a2+c2=3+ac≥2ac,当且仅当a=c= 3时取等号,所以0<ac≤3。因为(a+c)2 =a2+c2+2ac=3+3ac,所以3<(a+c)2≤ 12,所以 3<a+c≤23。故23<a+b+ c≤33,所 以 △ABC 周 长 的 取 值 范 围 为 (23,33]。 点评:解答本题的关键是利用正弦定理、 余弦定理进行化角为边。 跟踪练习1:如图1,在△ABC 中,D 为 BC 边上的点,且满足 DB·sin∠ABD= DC·sin∠ACD。 图1 (1)求证:∠BAD=∠CAD。 (2)若∠BAC= π 3 ,AD=1,求△ABC 面 积的最小值。 提示:(1)在△ADB 中,由正弦定理得 DB·sin∠ABD=AD·sin∠BAD。 同理,在 △ADC 中,由 正 弦 定 理 得 DC·sin∠ACD=AD·sin∠CAD。 由已知条件 DB·sin∠ABD=DC· sin ∠ACD 得 AD ·sin ∠BAD =AD · sin∠CAD,所以sin∠BAD=sin∠CAD。 因为∠BAD+∠CAD∈(0,π),所 以 ∠BAD=∠CAD。 (2)设 AC=b,AB=c。因为∠BAD= ∠CAD = 1 2 ∠BAC = π 6 ,所 以 S△ABC = 1 2bcsin∠BAC= 3 4bc ,S△ABD = 1 2AB · ADsin∠BAD= 1 4c ,S△ACD= 1 2AC ·AD· sin∠CAD= 1 4b 。 由S△ABC=S△ABD +S△ACD,可得 3 4bc= 1 4 (b+c),所以b+c= 3bc。 因为b+c≥2 bc,所以 3bc≥2 bc, 即bc≥ 4 3 (当且仅当b=c时等号成立)。所 以S△ABC= 3 4bc≥ 3 4× 4 3= 3 3 ,即S△ABC 的 最小值为 3 3 。 二、化边为角,转化为三角函数求最值 例2 已知a,b,c分别为△ABC 三个内 3 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 角A,B,C 的对边,bcosC+ 3bsinC-a- c=0。 (1)求证:2B=A+C。 (2)若△ABC 为锐角三角形,且a2+ c2=b2+2b,求△ABC 面积的取值范围。 解析:(1)由bcosC+ 3bsinC-a-c= 0,结合正弦定理得sinBcosC+ 3sinBsinC =sinA+sinC。由sinA=sin B+C = sinBcosC+cosBsinC,代入得 3sinBsinC -cosBsinC=sinC,且 C∈ 0,π 。因为 sinC≠0,所以 3sinB-cosB=1,整理得 sinB- π 6 =12。由 B∈ 0,π ,可知 B- π 6∈ - π 6 ,5π 6 ,所以B-π6=π6,解得B= π 3 ,所以A+C= 2π 3 ,所以2B=A+C。 (2)由a2+c2=b2+2b,即a2+c2-b2= 2b,结合余弦定理得cosB= a2+c2-b2 2ac = 2b 2ac= b ac= 1 2 ,所以b= 1 2ac 。 所以S△ABC= 1 2acsinB= 3 2b 。 由正弦定理得 a sinA= b sinB= c sinC= b 3 2 = 2b 3 ,所以a= 2b 3 sinA,c= 2b 3 sinC= 2b 3 sin2π3-A 。所以b=12ac=12·2b3· sinA· 2b 3 sin2π3-A =2b 2 3sinA ·sin2π3- A ,所以32b=sinAsin2π3-A =sinA· 3 2cosA+ 1 2sinA = 32 sin AcosA + 1 2sin 2A = 3 4sin2A - 1 4cos2A + 1 4 = 1 2sin2A- π 6 +14。 因 为 △ABC 为 锐 角 三 角 形,所 以 0<A< π 2 , 0< 2π 3-A< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 π 6<A< π 2 ,所以π 6< 2A- π 6< 5π 6 ,所以1 2<sin 2A- π 6 ≤1,所 以 3 2b= 1 2sin2A- π 6 +14∈ 12,34 ,所以 b∈ 2,3 ,所以S△ABC= 1 2acsinB= 3 2b∈ 3, 33 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 点评:通过边角互化和代入消元,可将多 变量表达式转变为函数问题求解。 跟踪练习2:在锐角三角形 ABC 中,已 知a,b,c分别是角A,B,C 的对边,且 3b= 2asinB,a= 3,则三角形ABC 周长的取值 范围是( )。 A.3- 3,33 B.3- 3,33 C.3+ 3,33 D.3+ 3,33 提示:由 3b=2asinB,结合正弦定理得 3sinB=2sinAsinB。因为B 为锐角,所以 sinB>0,所以 3=2sinA,即sinA= 3 2 。 又因为A 为锐角,所以A= π 3 。 由正弦定理 a sinA= b sinB= c sinC= 3 3 2 =2,可得b=2sinB,c=2sinC。因为 A= π 3 ,所以C= 2π 3-B 。所以a+b+c= 3+ 2sinB +2sin 2π3-B = 3+2sinB + 3cosB+sinB=23sinB+ π 6 + 3。 因为 B∈ 0, π 2 ,C∈ 0,π2 ,即 B∈ 0, π 2 ,2π3-B∈ 0,π2 ,所以B∈ π6,π2 , 所以 B+ π 6∈ π 3 ,2π 3 ,所以sinB+π6 ∈ 3 2 ,1 􀭤􀭥 􀪁􀪁 ,所以a+b+c∈ 3+ 3,33 。应 选C。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 王琼霞) 4 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月