精品解析：广西壮族自治区桂林市2025届高考第一次跨市联合模拟考试数学试卷

桂林市2025届高考第一次跨市联合模拟考试 数学 2025.4 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（ ） A. 2.03 B. 2.21 C. 2.12 D. 3.55 4. 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. “，使”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数.若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 常数项是第3项 C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于1 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若数列满足，记为的前项和，则 11. 已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（ ） A. 坐标为 B. 当时， C. 若，则 D. 过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则在上的投影向量为__________（用坐标表示）. 13. 已知正四面体中，，则该四面体内半径最大的球的表面积为__________. 14. 已知函数，其中，记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的周长的最大值； （3）若的面积为为的中点，且，求的长． 16. 某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化､科技､体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立. （1）求乙同学总得分为40分的概率； （2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望； （3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大. 17. 如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点. （1）若为的中点，证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆为的右焦点，短半轴长为为上动点，的最小值为． （1）求的方程； （2）已知点，点为外一点，直线交于两点， （i）为原点，若，求直线的方程； （ii）记直线的斜率分别为，若，求的面积． 19. 对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． （1）判断函数的凹凸性； （2）若，令，求的最小值； （3）为（2）问所得结果，证明不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市2025届高考第一次跨市联合模拟考试 数学 2025.4 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模的运算及虚部的定义即可求解． 【详解】，所以的虚部为2， 故选：D． 2. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质和对数的运算性质得到所求的值． 【详解】， ， 故选：C. 3. 巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（ ） A. 2.03 B. 2.21 C. 2.12 D. 3.55 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求解即可． 【详解】将数据从小到大排列，0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，3.55，3.64，4.22，4.39，5.53， ，取第五位数据2.21， 故选：B． 4. 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 5. 在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理易得，，进而结合空间向量夹角公式求解即可. 【详解】以为基底，则，， 则， ， ， 所以， 则直线所成角的余弦值为. 故选：A. 6. “，使”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到其渐近线方程，结合示意图分析条件求出点坐标，利用向量的坐标运算得到点坐标，代入渐近线方程，化简计算即可求得离心率. 【详解】 由双曲线可知渐近线方程为， 因为，所以， 在中，，，可得. 即， 则 又因为点在渐近线上，所以，解得，可得. 故选：B. 8. 函数.若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的对称性和单调性，再利用函数性质比较函数值的大小. 【详解】， 关于对称. 当时：为增函数，也为增函数，所以在上为增函数， 关于对称在为减函数， ，， . 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 常数项是第3项 C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确； 对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B错误； 对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确； 对于D，令则系数和为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若数列满足，记为的前项和，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知得出是公比为3，首项为3的等比数列，进而得出，即可判断AC；由得出数列前项和，由列出方程求解即可判断B；由，裂项得出，求和即可判断D． 【详解】由递推公式得，，构造新数列得，， 所以是公比为3，首项为3的等比数列， 所以， 所以，故A正确，C错误； 因为，所以数列前项和为：， 所以，故B正确； 由得，， 所以，故D正确； 故选：ABD． 11. 已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（ ） A. 坐标为 B. 当时， C. 若，则 D. 过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线方程得出焦点坐标即可判断A；设，设直线，与抛物线方程联立得出和，进而得出和，根据得出，列方程求解即可判断B；由得出，代入即可判断C；设，设直线，表示出四边形面积，根据基本不等式即可判断D． 【详解】对于A，抛物线：，焦点坐标，故A正确； 对于B，设， 由题意知，直线斜率不为零，设直线， ， 可推出：， ， 所以，解得， 所以，故B正确； 对于C，， 因为， 所以，，故C错误； 对于D，设，设直线，同理推出， ， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则在上的投影向量为__________（用坐标表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及平面向量的数量积、模的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以，， 则在上的投影向量为：. 故答案为：. 13. 已知正四面体中，，则该四面体内半径最大的球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，利用正四面体的性质，求出内切球半径，利用球的表面积公式求值即可. 【详解】 如图，过点作平面的垂线，则点是的中心， 正四面体内半径最大的球为内切球， 根据正四面体的性质，其内切球球心和外接球球心都在垂线上，设为点，为外接球半径，为内切球半径. 在中，， ，，则， 所以，解得， 所以内切球表面积. 故答案为：. 14. 已知函数，其中，记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，设，则，令，根据导数求得，进而得出恒成立，令，利用作商法得出的最大值为，则，再利用基本不等式即可求解． 【详解】， 设，则，令， ， 当，则， 所以，得，则在单调递减， 当，则， 所以，得，则在单调递增， 所以，即， 所以恒成立， 只需大于的最大值， 令， 则， 可得，则的最大值为， 所以， 因为，则， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的周长的最大值； （3）若的面积为为的中点，且，求的长． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由将代入，结合基本不等式即可求解周长最大值； （3）由三角形面积公式得出，由余弦定理及得出，联立求解出，根据等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 ， 又据余弦定理，∴， ． 【小问2详解】 由及已知得， 又， ， ，当且仅当时，等号成立， 故的周长最大值为． 【小问3详解】 ，则， ， 则，解得， ∴， 又为的中点， ，又 由勾股定理得． 16. 某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化､科技､体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立. （1）求乙同学总得分为40分的概率； （2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望； （3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大. 【答案】（1） （2）分布列： 0 20 40 60 数学期望为 （3）甲获胜概率更大 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式即可求出； （2）依题可知，，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望； （3）分别求出甲和乙获胜概率进行比较即可. 【小问1详解】 设三个项目乙获胜的事件分别为，乙同学总得分40分记为事件， 则，且 . 【小问2详解】 由题可知 甲总得分的分布列： 0 20 40 60 . 【小问3详解】 甲获胜的概率为， 乙获胜的概率为， 因为， 所以甲获胜概率更大. 17. 如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点. （1）若为的中点，证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：取的中点，连接. 三点分别为的中点 在平面中，， 又平面平面平面 同理，，平面平面，所以平面， 又平面平面， 平面平面， 平面平面. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质证得线线平行，从而证得线面平行，再证得面面平行，利用面面平行的性质定理证得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量线性运算的坐标表示求出点坐标，再利用向量法求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，平面, 所以，平面. 过作的平行线，过作交于点. 以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 梯形中，，， 所以，则. 所以. 假设在上存在点使得，设， 设，则，解得. 因为， 所以，解得. ， 因为平面平面，故取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 . 所以，线段上存在点使得，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆为的右焦点，短半轴长为为上动点，的最小值为． （1）求的方程； （2）已知点，点为外一点，直线交于两点， （i）为原点，若，求直线的方程； （ii）记直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）由的最小值为，短半轴长为及列出方程组求解即可； （2）（i）设直线的方程为：，点，与椭圆方程联立，得出，再根据得出，列出方程求解即可；（ii）分类讨论，当直线斜率为0时，设，分别求得，由求得，即可求得的面积；当直线斜率不为0时，设，同理得出，则点在定直线上，即可求得的面积． 【小问1详解】 ， ， 可得椭圆方程：． 【小问2详解】 （i）设直线的方程为：，点， 则， 则， 由题，可得：， 则， ， 则直线的方程为：或． （ii）①当直线斜率为0时，不妨设， 则，， 所以， ； ②当直线斜率不为0时，设， 由（i）得， ， 则， ， ， 所以点在定直线上，平行直线，点到直线的距离， ， 综上可知，的面积为． 19. 对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． （1）判断函数的凹凸性； （2）若，令，求的最小值； （3）为（2）问所得结果，证明不等式：． 【答案】（1）为的凸函数 （2） （3）证明：即证， 两边取对数，即证：， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以， 所以， 累加可得：，证得不等式成立． 【解析】 【分析】（1）根据定义，求得和，判断的正负即可； （2）先判断出在为“凹函数”，当时，根据凸函数的性质得出，即可得出的最小值； （3）由（2）结论得出即证，两边取对数，即证，由导数得出在上为单调递增函数，即可得出，再用累加法即可证明． 【小问1详解】 由题，，即， 所以为的凸函数． 【小问2详解】 设函数，则， ，所以在为“凹函数”， 当时，， 即， 当且仅当时，等号成立， 最小值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $