第五章 分式与分式方程 知识归纳与题型突破（十九类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第五章 分式与分式方程 知识归纳与题型突破（十九类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 要点：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 二、分式的运算 1．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　 3.求几个分式的最简公分母的步骤： (1)取各分式的分母中系数最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母（或因式）的幂取指数最大的； (4)所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母; (5)各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式.这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分.　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 三、分式方程 1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 要点：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 四、分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 03 题型归纳 题型一 分式的概念 例题 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子（是整式）中，分母中含有字母，则叫分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案． 【解析】解：A．是整式，故本选项不符合题意； B．是分式，故本选项符合题意； C．是整式，故本选项不符合题意； D．是整式，故本选项不符合题意． 故选：B． 巩固训练 2．下列代数式：，，，，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式即可得出答案，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【解析】解：， ，，是分式，共个， 故选：C． 3．下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念，一般的，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，由此问题可求解，熟练掌握分式的概念是解题的关键． 【解析】解：根据分式的概念可知是分式的有，，，，共个， 故选：． 题型二　分式有意义的条件 例题 4．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和解一元一次不等式，解题的关键是掌握分式的分母不能为零． 根据分式有意义的条件即可求出结果． 【解析】解：根据分式有意义的条件可得， 解得 故选：B． 巩固训练 5．若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【解析】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 6．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式组，以及二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0， 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，即可进行解答． 【解析】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：且， 故选：D． 题型三 分式的值、分式的值为零 例题 7．若分式的值是0，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式值为0的条件，分式有意义的条件，解题的关键是分式的分子为0，分母不为0．由分子求解即可． 【解析】解：依题意，， 解得， 故答案为：3． 巩固训练 8．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为，②分母的值不为，这两个条件缺一不可．根据分子等于，且分母不等于列式求解即可． 【解析】解：由题意得，且， 解得． 故答案为：． 9．若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可． 【解析】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意； B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意； C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意； D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 10．若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【解析】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 题型四 分式的有关概念综合辨析 例题 11．下列说法正确的是（ ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．是最简分式 D．分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为零的条件，根据分式的定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得A错误；根据，因此对于任意实数，总有意义，故可判断B正确；根据分子与分母没有公因式是最简分式可得C错误；根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零可得D错误． 【解析】解：A、不是分式，故选项A说法错误； B、对于任意实数，总有意义，正确，符合题意； C、，原选项不是最简分式，故选项C说法错误； D、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，则分式的值为0，原选项说法错误； 故选：B． 巩固训练 12．下列说法正确的是（   ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质逐一分析判断即可. 【解析】解：A. 是整式，故不符合题意， B. ∵， ∴对于任意实数，总有意义，故符合题意； C. 将式子写成分式的形式是，故不符合题意； D. 分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，故不符合题意； 故选：B 13．下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，不可能是整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性，熟练掌握分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性是解决本题的关键． 根据分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性解答此题． 【解析】解：A、当时，无意义，故此选项不符合题意； B、当时，有意义，故此选项不符合题意； C、当时，的值是整数，故此选项不符合题意； D、根据偶次方的非负性，得，即无论x为何值，的值总为正数，故此选项不符合题意； 故选：D． 题型五 分式的基本性质 例题 14．把分式中的和都扩大2倍，分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．扩大4倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．把原分式中的和都扩大2倍得到，再根据分式的基本性质化简得到，即可得到答案． 【解析】解：分式中的和都扩大2倍， 原分式变形为：， 把分式中的和都扩大2倍，分式的值扩大2倍， 故选：B． 巩固训练 15．下列分式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变．据此逐项分析，即可作答． 【解析】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 16．下列化简运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案． 【解析】解：，故项计算正确，不符合题意； ，故B项计算错误，符合题意； 故项计算正确，不符合题意； ，故项计算正确，不符合题意； 故选：B 题型六 最简分式、最简公分母 例题 17．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是最简分式的定义．分子分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【解析】解：A、不是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 巩固训练 18．分式与的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．据此求解即可． 【解析】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 19．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．掌握相关知识是解题的关键．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解析】解：A、分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意； C、，故不是最简分式，不符合题意； D、，故不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 20．分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，根据平方差和完全平方公式先把分母因式分解，再确定最简公分母即可，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴最简公分母是， 故答案为：． 题型七 约分、通分及其应用 例题 21．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【解析】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 巩固训练 22．通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)，，． 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （3）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解析】（1）解：最简公分母是， 所以，，； （2）解：最简公分母是， 所以，； （3）解：最简公分母是， 所以，，． 23．已知 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行分式的化简求值，以及二次根式的计算的应用，利用完全平方公式和平方差公式进行分式的化简可得，将已知的值代入结合二次根式的计算即可． 【解析】解： 当时， 原式． 故答案为． 题型八 分式的运算及其代数应用 例题 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先根据同分母分式加减计算，再分子分母分解因式，约分化为最简分式即可； （）先计算括号内的加减，再计算乘法即可； 本题考查了分式的化简，熟悉通分、约分的法则是解题的关键． 【解析】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 巩固训练 25．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【解析】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 26．若（其中，为常数），则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，计算，根据，为常数，即可求解． 【解析】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：，． 27．试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的除法计算可得答案． 【解析】解：由， 得， 即， ∴， 故选：B． 题型九 根据分式的运算求代数式值 例题 28．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握整体代入思想，是解题关键． 根据，可得，又因为，再整体代入即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 巩固训练 29．若，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确求出是解题的关键． 先根据完全平方公式得到，进而求出，据此即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为或3． 故选D． 30．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值．利用整体代入的思想是解题关键． 由已知可得出．再将代数式变形为，最后整体代入化简即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 题型十 分式运算的实际应用、几何应用 例题 31．一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，那么甲、乙两人合作完成这项工程的所需要的时间是（    ）天 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了列代数式和分式的混合运算．根据题意列出代数式，再化简即可． 【解析】解：根据题意得：． 故选：B． 巩固训练 32．宝安公园是深圳西部最美丽的市政公园之一，公园植被种类丰富，空气清新，风景秀丽，最高山峰海拔125米．小亮和同学利用周末去爬宝安公园，已知他们上山的速度为米/秒，下山的速度为米/秒，若他们上山和下山所走的路程相同，则他们爬山的平均速度为（　　）米/秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设上山的路程为S，则下山的路程也是S，分别求得上山与下山的时间，由路程、速度与时间的关系即可求得爬山的平均速度． 【解析】解：设上山的路程为S，则下山的路程也是S， 上山的时间为：秒，下山的时间为：秒， ∴爬山的平均速度为： 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分别求出上山与下山的时间是解题的关键，注意这里的平均速度不是速度的平均值． 33．小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上，则甲、乙两块地的撒播密度比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设播种的数量为n，分别表示出甲、乙两块地的撒播密度，求出之比即可． 【解析】解：设播种的数量为n， ∴甲的撒播密度为：，乙的撒播密度为， ∴甲、乙的撒播密度比为 ， 故选B． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． 题型十一 整数指数幂及其应用 例题 34．一个水分子的质量大约为克，一滴水的质量大约为0.05克，则一滴水中水分子的个数大约是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题考查了负整数幂运算，科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【解析】解：． ∴一滴水中水分子的个数大约是个． 故选：A． 巩固训练 35．飞秒也叫毫微微秒，简称．1飞秒只有1秒的一千万亿分之一，即秒．130飞秒用科学记数法可表示为（    ） A．秒 B． 秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，其表示形式为，其中，是整数，表示时关键要正确确定的值和的值． 用科学记数法表示即可得到答案． 【解析】解：130飞秒秒， 故选：C． 36．将化为小数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义，把一个数写成的形式，说明是把原来数的小数向右移动了位得到，由此只要的小数点向左移动位，即可得到原来的数． 【解析】解：， 故选：． 【点睛】此题考查了科学记数法，解题的关键是掌握用科学记数法表示较小的数的方法及还原原数． 题型十二 分式方程的概念 例题 37．下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，即可得出答案． 【解析】A、是整式方程，不符合题意； B、是整式方程，不符合题意； C、是关于的整式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 巩固训练 38．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【解析】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 题型十三 解分式方程 例题 39．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】该题考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． （1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解析】（1）解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：． 检验：把代入． ∴原方程的解为：． （2）解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：． 检验：把代入． ∴原方程无解． 巩固训练 40．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】（1）解： 方程两边同时乘以，得： ， 经检验，当时，， 所以，是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以，得： ， 经检验，当时，， 所以，是原分式方程的增根， 所以，原分式方程无解． 41．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，将分式方程转化为一般方程是解题的关键，最后记得要检验． （1）先将分式方程化为一般方程，再利用去分母、去括号、移项合并同类项、将系数化为1的步骤即可得出答案，最后检验是不是原方程的根； （2）先将分式方程化为一般方程，再利用去分母、去括号、移项合并同类项、将系数化为1的步骤即可得出答案，最后检验是不是原方程的根． 【解析】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 经检验是原方程的解； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 将系数化为1，得 经检验是增根，原方程无解． 题型十四 分式方程解法步骤的辨析 例题 42．解分式方程 时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可． 【解析】解： 去分母得， 故选：D 巩固训练 43．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题：计算： 解：原式…第一步 ……………………………第二步 ………………………………………第三步 习题：解方程： 解：方程两边同乘，得……第一步 解得……………………………………第二步 经检验，是分式方程的解……………第三步 (1)解答过程中，习题从第______步开始出现错误，习题从第______步开始出现错误； (2)任选一个习题写出正确的解答过程． 【答案】(1)二；一 (2)习题：；习题： 【分析】（）根据计算过程判断即可求解； （）习题：先分母因式分解，再约分，然后进行同分母分式的加法运算即可； 习题：按照解分式方程的一般步骤解答即可； 本题考查了分式的加减运算，解分式方程，正确计算是解题的关键． 【解析】（1）解：解答过程中，习题从第二步开始出现错误，习题从第一步开始出现错误， 故答案为：二 ， 一； （2）解：习题：原式 ； 习题：方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解． 题型十五 增根、无解问题 例题 44．若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母为0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值． 【解析】解：由分式方程的最简公分母是， 得分式方程的增根是. 分式方程转化成整式方程为， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 巩固训练 45．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，求解方程可得，再由方程无解可得分式方程没有意义时，或，两种情况即可求的值，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键． 【解析】解： ， ， ∵方程无解，可分为以下两种情况： 分式方程没有意义时，或， 此时， 整式不成立时，， ∴， ∴的值为或， 故选：． 46．若关于x的方程有增根，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【解析】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式有增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：1． 题型十六 分式方程的代数应用 例题 47．小明准备完成题目：解方程．发现分母的位置“”处印刷不清，查阅答案后得知这个方程的解是，请你帮助小明推断印刷不清的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解分式方程，设印刷不清的位置的式子为，把代入分式方程计算确定出即可． 【解析】解：设印刷不清的位置的式子为，即， 把代入得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为， ∵， ∴，，，， ∴推断印刷不清的位置可能是． 故选：A． 巩固训练 48．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程有意义的条件，解出分式方程，根据解是非负数求出m取值范围，再根据是分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案． 【解析】解： ． ∵分式方程的解是非负数， ∴，且， 解得：且， 故选：A 49．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 50．若关于的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】24 【分析】先计算出不等式组的解集，再根据解的情况判断出；然后计算分式方程的解，再结合其解为非负整数即可求解． 【解析】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∵该不等式组至多有两个偶数解， ∴， 解得， ， 解得且， ∵该方程解为非负整数， ∴，13， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了含参不等式组和分式方程，熟练掌握不等式组的解和分式方程的解是解题的关键． 题型十七 分式方程的实际应用 例题 51．小明用滴滴打车去火车站，他可以选择两条不同路线：路线A的全程是15千米，但交通拥堵；路线B的全程比路线A的全程多6千米，但平均车速是走路线A时速度的1.5倍，走路线B的全程比走路线A少用15分钟．设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从实际问题抽象出分式方程，设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据走路线B的全程比走路线A少用15分钟列方程即可． 【解析】解：由题意，得 ． 故选D． 巩固训练 52．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意可得顺水速度为，逆水速度为，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行所用时间＝以最大航速逆流航行所用时间，根据等量关系列出方程求解即可． 【解析】解：设江水的流速为， 根据题意得：， ， 解得． 经检验，是原方程的解． 答：江水的流速为． 故答案为：6． 53．中华优秀传统文化是中华民族的瑰宝，为弘扬古代科技智慧，我市某校为各班采购《天工开物》和《齐民要术》科普类读本若干套．已知每套《天工开物》的价格比每套《齐民要术》的价格贵30元，用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，求每套《齐民要术》的价格．若设每套《齐民要术》的价格为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．设每套《齐民要术》的价格为x元，可得出每套《天工开物》的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解析】解：根据题意得：． 故答案为：． 题型十八 新定义、规律题 例题 54．设，，定义新运算：，若，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断． 【解析】解：A．∵， ∴，故不正确； B．∵， ， ∴，故正确； C．∵，， ∴，故不正确； D．，， ∴，故不正确； 故选B． 巩固训练 55．有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，........，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 56．对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：，则的值为 ；若，则a的值为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查新定义运算的含义，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键．运用定义运算代入计算可得，再计算即可；运用定义运算代入得到，求解这个分式方程即可，注意检验． 【解析】解：∵， ∴； ∵， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 的值为． 故答案为：； 题型十九 解答综合题 例题 57．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入计算即可． 【解析】解：原式 ， 当时，原式 巩固训练 58．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【解析】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 59．某公司员工积极参加爱心捐款活动．已知第一次捐款总额为48000元，第二次捐款总额为50000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？列出方程并求解． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．如果设第一次捐款人数为x人，则第二次捐款人数为人，根据“两次人均捐款额恰好相等”列分式方程求解即可． 【解析】解：如果设第一次捐款人数为x人，则第二次捐款人数为人， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 即第一次捐款人数为480人． 60．某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． (1)求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ (2)若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 【答案】(1)品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 (2)套 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键。 （1）设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元，列方程求解即可； （2）设购进品牌套装套，则购进品牌套装套，根据题意列不等式求解即可。 【解析】（1）解：设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元 由题意得 解得 经检验，是分式方程的解 答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 （2）解：设购进品牌套装套，则购进品牌套装套， 由题意得： 解得 为正整数， 答：最少购进品牌工具套装套． 61．【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】（1）B；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【解析】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴ 62．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：　　，　　； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为，进而即可求解． 【解析】（1）解：∵的解为， ∴的解为或， 故答案为：5，； （2）∵方程， ∴， ∴； （3）方程可化为， 设，方程变形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 分式与分式方程 知识归纳与题型突破（十九类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 要点：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 二、分式的运算 1．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　 3.求几个分式的最简公分母的步骤： (1)取各分式的分母中系数最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母（或因式）的幂取指数最大的； (4)所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母; (5)各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式.这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分.　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 三、分式方程 1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 要点：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 四、分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 03 题型归纳 题型一 分式的概念 例题 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 2．下列代数式：，，，，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二　分式有意义的条件 例题 4．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 5．若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 题型三 分式的值、分式的值为零 例题 7．若分式的值是0，则的值为 ． 巩固训练 8．若分式的值为0，则x的值为 ． 9．若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 10．若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 题型四 分式的有关概念综合辨析 例题 11．下列说法正确的是（ ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．是最简分式 D．分式的分子为0，则分式的值为0 巩固训练 12．下列说法正确的是（   ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 13．下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，不可能是整数 D．无论为何值，的值总为正数 题型五 分式的基本性质 例题 14．把分式中的和都扩大2倍，分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．扩大4倍 巩固训练 15．下列分式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 16．下列化简运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六 最简分式、最简公分母 例题 17．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 18．分式与的最简公分母是 ． 19．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 20．分式与的最简公分母是 ． 题型七 约分、通分及其应用 例题 21．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 巩固训练 22．通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 23．已知 ，则 的值为 ． 题型八 分式的运算及其代数应用 例题 24．计算： (1)； (2)． 巩固训练 25．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 26．若（其中，为常数），则 ， ． 27．试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（ ） A． B． C． D． 题型九 根据分式的运算求代数式值 例题 28．已知，则的值为 ． 巩固训练 29．若，则的值为（ ） A． B． C． D．或 30．已知，则代数式的值为 ． 题型十 分式运算的实际应用、几何应用 例题 31．一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，那么甲、乙两人合作完成这项工程的所需要的时间是（    ）天 A． B． C． D． 巩固训练 32．宝安公园是深圳西部最美丽的市政公园之一，公园植被种类丰富，空气清新，风景秀丽，最高山峰海拔125米．小亮和同学利用周末去爬宝安公园，已知他们上山的速度为米/秒，下山的速度为米/秒，若他们上山和下山所走的路程相同，则他们爬山的平均速度为（　　）米/秒． A． B． C． D． 33．小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上，则甲、乙两块地的撒播密度比为（　　） A． B． C． D． 题型十一 整数指数幂及其应用 例题 34．一个水分子的质量大约为克，一滴水的质量大约为0.05克，则一滴水中水分子的个数大约是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 巩固训练 35．飞秒也叫毫微微秒，简称．1飞秒只有1秒的一千万亿分之一，即秒．130飞秒用科学记数法可表示为（    ） A．秒 B． 秒 C．秒 D．秒 36．将化为小数是（    ） A． B． C． D． 题型十二 分式方程的概念 例题 37．下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 38．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十三 解分式方程 例题 39．解下列方程： (1)； (2)． 巩固训练 40．解方程 (1) (2) 41．解方程： (1) (2) 题型十四 分式方程解法步骤的辨析 例题 42．解分式方程 时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 43．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题：计算： 解：原式…第一步 ……………………………第二步 ………………………………………第三步 习题：解方程： 解：方程两边同乘，得……第一步 解得……………………………………第二步 经检验，是分式方程的解……………第三步 (1)解答过程中，习题从第______步开始出现错误，习题从第______步开始出现错误； (2)任选一个习题写出正确的解答过程． 题型十五 增根、无解问题 例题 44．若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 巩固训练 45．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 46．若关于x的方程有增根，则a的值为 ． 题型十六 分式方程的代数应用 例题 47．小明准备完成题目：解方程．发现分母的位置“”处印刷不清，查阅答案后得知这个方程的解是，请你帮助小明推断印刷不清的位置可能是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 48．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D． 49．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 50．若关于的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 题型十七 分式方程的实际应用 例题 51．小明用滴滴打车去火车站，他可以选择两条不同路线：路线A的全程是15千米，但交通拥堵；路线B的全程比路线A的全程多6千米，但平均车速是走路线A时速度的1.5倍，走路线B的全程比走路线A少用15分钟．设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（    ） A． B． C． D． 巩固训练 52．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为 ． 53．中华优秀传统文化是中华民族的瑰宝，为弘扬古代科技智慧，我市某校为各班采购《天工开物》和《齐民要术》科普类读本若干套．已知每套《天工开物》的价格比每套《齐民要术》的价格贵30元，用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，求每套《齐民要术》的价格．若设每套《齐民要术》的价格为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型十八 新定义、规律题 例题 54．设，，定义新运算：，若，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 55．有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，........，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 56．对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：，则的值为 ；若，则a的值为 ． 题型十九 解答综合题 例题 57．先化简，再求值：，其中． 巩固训练 58．解下列方程： (1) (2) 59．某公司员工积极参加爱心捐款活动．已知第一次捐款总额为48000元，第二次捐款总额为50000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？列出方程并求解． 60．某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． (1)求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ (2)若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 61．【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 62．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：　　，　　； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$