解答06 导数（十大考点训练+真题模拟题练）-2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 解答06 导数 【考点01 含参的讨论单调（可因式分解）】 【例1】已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【例2】已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 则， 则，又， 所以在点处的切线方程为. （2）由，， 则， 当时，， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或， 当时，，由，得或； 由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增； 当时，，由，得或； 由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【变式1-1】已知函数，其中为常数. (1)当时，求在处的切线方程 (2)当时，，证明： (3)当时，试讨论的单调性； 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【详解】（1）由题设，则， 所以，，故在处的切线方程为. （2）由， 所以，要证，即证恒成立， 令且，则， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 所以，即，故，得证. （3）由题设且， 当， 时，，即在上单调递增， 时，，即在上单调递减， 时，，即在上单调递增， 当，则恒成立，即在上单调递增， 当， 时，，即在上单调递增， 时，，即在上单调递减， 时，，即在上单调递增. 【变式1-2】求函数，的单调区间． 【答案】答案见解析 【详解】由题意得，， 由得，， 当时，由得，或，由得，， ∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 当时，在上恒成立， ∴函数的单调递增区间为，没有单调递减区间． 当时，由得，或，由得，， ∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上得，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【变式1-3】设函数，，，. (1)讨论函数零点的个数； (2)若，讨论函数的单调性. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【详解】（1）， 当，即时，恒成立， 所以在上单调递增， 又， ， 所以函数有唯一的零点； 当，即时， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 当，即时，无零点； 当，即时，有唯一的零点； 当，即时，有两个零点， 综上，当时，无零点； 当或时，有唯一的零点； 当时，有两个零点. （2）， ， ①当时，， 当，，单调递增， 当，，单调递减， ②当时，， 当，，单调递增， 当，，单调递减， ③当时，，的单调递增区间为， ④当时，令，得或，， 当变化时，，变化如下表， 1 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 －ln m－1－ 单调递减 单调递增 即的单调递增区间为，，单调递减区间为. ⑤当时，令，得或， 当变化时，，变化如下表， 1 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 －ln m－1－ 单调递增 即的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【考点02 含参的讨论单调（不可因式分解）】 【例3】已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)试讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）， 当时，，， 所以在处的切线方程为，整理得. （2）因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，在处取得最小值， 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得或， 令，解得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，上单调递减. 【例4】已知函数． (1)若，求的极值点； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值点为1，无极大值点. (2)答案见解析 【详解】（1）当时，函数， 求导得， 由，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值点为1，无极大值点. （2）由， 求导得， 令，， 当时，，恒成立，，在上单调递增； 当时，，方程的解为， 若，即，则， 当时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和， 递减区间为； 当时，的递减区间为，递增区间为. 【变式2-1】已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)试讨论函数的单调性并判断有无极值． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）当时，， ，又， 所以． 所以在处的切线方程为：． （2）， 因为在上单调递增，所以，恒成立． 即，恒成立． 所以，恒成立，所以； （3）因为，由． 若即，则恒成立， 所以在上单调递增，无极值； 若即，由或， 得， 故，得或， ，得， 所以在和上单调递增， 在上单调递减， 所以函数的极大值为 极小值为． 综上：当时，在上单调递增，无极值； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值为，极小值为． 【变式2-2】已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线； (2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围； (3)讨论函数的导函数在定义域上的单调性. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）时，， ，则，， 所以在点处的切线为，整理得：， 故在点处的切线为； （2）易知， 因为在上为增函数，所以在恒成立， 由在恒成立，得，， 设，， 令，在上恒成立， 所以在上递增，，即在上恒成立， 所以在上递增，，故，即； （3）由题意知，定义域为，故， 设，， （ⅰ）当时，即时，对恒成立，即对恒成立， 故函数在上单调递增. （ⅱ）当时，即时， 令，解得：， ①当时，由韦达定理得：，，故， 令，解得：或， 令，解得：， 故函数在和上单调递增，在上单调递减. ②当时，由韦达定理得： ，，故， 令，解得：，令，解得：， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增. 【变式2-3】设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为． 当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为 当时，则，此时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增 综上，当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． 【考点03 讨论零点的个数】 【例5】已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)答案见解析 【详解】（1），， 令， 所以当时，，为单调递减函数； 当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递增函数， 所以的极大值为，极小值为. （2）的零点个数即为与的交点个数， 由，可得，， 时；时；时， 结合（1）画出图象如下： 所以，当时，函数无零点； 当或，函数有一个零点； 当或时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点. 【例6】已知. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)答案见解析 【详解】（1）当时，，定义域为， 则，， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以时，， 所以在上单调递减，所以时，； （3）令，得，即， 令，，则，即①， 当时，对求导得， 则在上恒成立，故在上单调递减， 故方程①的解的个数即为函数的零点个数， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，，且当时，， 而，即， 当，即时，方程①有两个不同的解， 从而的零点个数为2； 当或，即或时，方程①只有一个解， 从而的零点个数为1； 当，即时，方程①无解，从而的零点个数为0. 综上，当时，的零点个数为2； 当或时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为0. 【变式3-1】已知函数 (1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； (2)求的单调区间； (3)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)； (2)答案见详解； (3)答案见详解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取到极小值，符合题意. 所以. （2）， 令，则或， 当时，，所以在上单调递增； 当，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为. （3）由（2）可知，当，的单调递增区间为，；单调递减区间为， 当时，函数取到极大值，即， 所以， 当时，函数取到极小值，即， 当即时，有1个零点； 当即时，有2个零点； 当即时，有3个零点. 【变式3-2】已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)讨论的零点个数，并证明. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意可得，则，解得． （2）当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 证明如下： 令，得或． 设函数． ① 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点； ② 当时，，故是上的增函数， 由得. ∵，， ∴有唯一的零点，则有两个零点； ③ 当时，． 由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴． 若，则，，则， ，则没有零点，故有唯一的零点； 若，则，，则有一个零点，故有两个零点； 若，则，，， ， 又，时，， ∴在和内各有一个零点，即有两个大于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 【变式3-3】讨论函数在区间上的零点个数． 【答案】答案见解析 【详解】设函数，则， 所以在上单调递增. ①当时，，且， 故在区间内有唯一零点0， 而0是在区间内的唯一零点， 所以有一个零点； ②当或，即或时，在区间内无零点， 而0是在区间内的唯一零点， 所以有一个零点； ③当且，即时，结合单调递增可知， 在区间内有一个零点，且， 而0是函数在区间内的唯一零点， 所以有两个零点． 综上所述，当或时，有一个零点； 当时，有两个零点． 【考点04 由零点个数求参数范围】 【例7】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)设，求证：当时，有且仅有2个不同的零点． （参考数据：） 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题设，则， 又，则在、上，在上， 所以的递增区间为、，递减区间为. （2）由，得，即方程在上有且仅有2个不同的根， 等价于与在上有2个交点，且， ①当时，存在，且图象连续且单调递增， 所以在上有且仅有1个零点，即使， 当时，，在上递减， 当时，，在上递增， 所以在上存在唯一极小值点， 则， 记，则，故在上单调递减， 所以，故上恒成立， 则， 综上，时，与在上有1个交点； ②当时，，即在上单调递增， 而在上递增，故在上递增， 而，由①知， 所以时，与在上有1个交点； ③当时，， 令，则，即在上单调递增， 所以， 所以时，与在上无交点； 综上，时，与在上有2个交点， 即当时，有且仅有2个不同的零点，得证. 【点睛】方法点睛：求含参数的函数的单调区间，求导后能转化为一元二次方程的问题，常利用判别式进行分类讨论求解；函数有两个极值点即为导函数有两个零点，在此基础上证不等式恒成立问题，常转化为构造函数，通过求最大值与最小值证明；函数有几个零点问题，常转化为两个函数的图象有几个交点问题处理. 【例8】已知函数． (1)当时，求的极小值； (2)若函数有2个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，函数定义域为，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 所以当时，取得极小值. （2）依题意，函数的定义域为， 由，得，令函数， 求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 则当，即时，直线与函数的图象有两个交点，即有两个零点， 所以的取值范围是. 【变式4-1】已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围; (2)若，求证：有且只有1个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由可得， 设，，， 当时，当时，， 所以在上单调调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以等价于， 设，，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故实数a的取值范围为； （2）， 当时，，， 所以在上单调递增，又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因，当时， ， 取，则，且， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 由于，所以，所以， 所以，所以 又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 综上可知，当时，有且只有1个零点，得证. 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 【变式4-2】已知函数是奇函数． (1)求a； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)证明：函数有且仅有1个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）∵函数是奇函数， ∴，即， ∴，即对定义域内任意恒成立， ∴，解得或（舍）， ∴，此时， 由得定义域为，符合题意. （2）由（1）得，， ∴，， ∴，故曲线在点处的切线方程为，即. （3）∵， ∴函数的定义域为，，， ∵，∴，，， ∴，故在上为增函数， ∴有且仅有1个零点，零点为0. 【变式4-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，； 易知，则； 因此切线方程为， 即； （2）设函数，； 显然； 令，其中，即； 当时，， 则时，，，此时在上单调递减； 当时，，，此时在上单调递增； 因此，可知，因此在上存在零点，不合题意； 当时，由可得； 所以，使得； 可得时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以要使函数在上没有零点，只需，解得， 所以实数a的取值范围为. 【考点05 零点（根）之间的关系证明】 【例9】已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求的取值范围； (3)若函数的两个零点为，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由，得，则切点为． 函数求导得，故切线斜率， 所以切线方程为：． （2）等价转换为：，记， 对求导可得：， 时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又因为当时，时，， 且， 的取值范围为． （3）由（2）可得，， 且． 设，则，其中， 两式相乘得：． 需证明：， 构造函数， 时，单调递减；时，单调递增． ， 综上，，因此，原不等式得证． 【例10】已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若方程的根为、，且，求证：． 【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间； (2)证明见解析 【详解】（1）解：因为，， 所以定义域为， ， 所以在上单调递减，即的单调递减区间为，无单调递增区间； （2）证明：，， 当时，当时 所以在上是单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以，且， 当时，，所以，即， 设直线与的交点的横坐标为，则， 下面证明当时，， 设， ， 则， 当时，，当时，， 所以在上是减函数，在上增函数， 又因为，， 所以当时，，， 故当时，， 设直线与的交点的横坐标为，则， 所以，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式5-1】已知，，是关于x的方程的三个不同的根，且. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）令，则 则当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 又，所以，即，所以a的取值范围为. （2）证明：由（1）可知， 下面证明，. ①证明. 令，因为，所以. 由，得，故，则，， 所以. 设，，则， 故在上为增函数，故，即，， 故，则. ②证明. 由题可知，， 因为在上单调递增，，所以成立. 综上，. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 【变式5-2】已知函数和， (1)求在处的切线方程； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若与有相同的最小值． ①求出； ②证明：存在实数，使得和共有三个不同的根、、，且、、依次成等差数列． 【答案】(1) (2) (3)① ；②证明见解析 【详解】（1）解：因为，则，所以，， 所以，在处的切线方程为. （2）解：当时，不等式等价于． 设，则，且. 对于函数，. （ⅰ）当且时，，故， 则在上单调递增，因此； （ⅱ）当时，令得，． 由得，， 故当时，，在单调递减，因此，不合乎题意. 综上，的取值范围是． （3）解：①的定义域为，而， 若，则，此时无最小值，故. 函数的定义域为，而. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，其中，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上，. ②由①可得和的最小值为. 当时，考虑的解的个数、的解的个数. 设，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以， 而，， 设，其中，则， 故在上为增函数，故，故， 故有两个不同的零点，即方程的解的个数为. 设，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以， 而，， 有两个不同的零点即的解的个数为. 当，由①讨论可得、仅有一个解， 当时，由①讨论可得、均无根， 故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则. 设，其中，故， 设，其中，则， 故在上为增函数，故即， 所以，所以在上为增函数， 而，， 故在上有且只有一个零点，且， 当时，，即，即， 当时，，即，即， 因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点， 故， 此时有两个不同的根、， 此时有两个不同的根、， 故，，，， 所以，即，即， 故为方程的解，同理也为方程的解， 又可化为，即，即， 故为方程的解，同理也为方程的解， 所以，而，故，即. 【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系． 【变式5-3】设函数 ，其中 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 ， （i） 证明: 函数 恰有两个零点; （ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: . 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题设，且，则， 所以，又， 所以切线方程为，即：. （2）（i）由，令，又， 易知在上递减， 又，， ∴在上有唯一零点，即在上唯一零点， 设零点为，则， ∴，，递增；，，递减； ∴是唯一极值点，且为极大值， 令且，则，故在上递减， ∴，即， ∴，又， 根据零点存在性定理知在上存在零点，又∵在单调递减； ∴在存在唯一零点， 又∵，在上单调递增；， ∴在上的唯一零点为1， 故恰有两个零点； （ii）由题意，，即， 则，即， 当时，，又，则， ∴，得， 即，得证. 【点睛】方法点睛：在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究. 【考点06 不等式的证明】 【例11】已知函数. (1)若，求的单调区间和极值； (2)若，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，定义域为，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 又因为，当时，；当时，. 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为， 故有极小值，无极大值. （2）当时，，定义域为，则， 令，则， 故在上单调递增， 又因为，， 所以，存在，使得，即，即， 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 因此，当时，. 【例12】已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明过程见解析 【详解】（1），， 故， 若时，，又，所以， 所以在上单调递减， 所以最大值为， 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， 若时，时，， 所以在上单调递增，故最大值为， 综上，当时，最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为； （2）当时，，定义域为， ， 即证，即， 令，则， 令，， 则，故在上单调递减， 其中，， 由零点存在性定理得，使得，即， 当时，，，当时，，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， ，故， 所以，所以， 故. 【变式6-1】设函数． (1)若不等式恒成立，求的取值范围； (2)当时，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 设函数， 则， 令，则， 故函数在上单调递减． 因为，所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以．因为恒成立，所以， 所以的取值范围为. （2）令，则在上单调递减． 又，， 所以在上有唯一零点，设为，即． 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以当时，． 因为函数在上单调递增，所以，所以． 【变式6-2】已知函数. (1)若，，求的单调区间和极值； (2)若，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）若，，则， 则， 令，得，令，得， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）若，则， 则， 当时，函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在唯一实数，使得，即， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 【变式6-3】已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）由，定义域为， 令得或， 当时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为. （3）因为，令，得或， 因为，所以，， 又，所以， 所以 ， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. 【考点07 数列型函数不等式证明】 【例13】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，，， 则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，恒成立，所以恒成立. 令，则， 令，则且不恒为0， 即在上单调递减，则， 所以当时，且不恒为0， 所以在区间上单调递减，故，所以， 综上，实数的取值范围为； （3）取，由（2）得当时，，所以. 取，则有， 即， 所以，，，， 将上述式子相加得，得证. 【例14】洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)证明：在区间上单调递减； (2)对于恒成立，求实数的取值范围； (3)，证明：（附：）. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）， 令，则， 令，则， 若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减， 若，则单调递增，，即 存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增， 且， 在区间上单调递减，且在上连续， 综上，在区间上单调递减. （2）当时，，成立.当时，由可得， 令， 由（1）可知在上单调递减，. 由洛必达法则：， . （3）当且时，，令， 则，令，则， 在上单调递增，， 即在上单调递增，（当时取等号）， ， ， ， ， 即. 【变式7-1】已知函数． (1)若函数是单调函数，求实数的取值范围； (2)证明：对任意的都成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，， 设，， 所以，， 故在上单调递减，在上单调递增， 从而，又， 所以的值域为， 因为是单调函数，所以，当且仅当时，解得， 故实数的取值范围是． （2）证明：由（1）可得当时，在上单调递增， 所以当时，，即，所以， 取可得：， 所以，故， 依次取得： ，，，…，， 以上各式相加得： ． 所以对任意的都成立． 【变式7-2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，证明见解析 【详解】（1）的定义域为，， ①当时，恒成立，在上单调递减； ②当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增. 综上可得：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以当时，函数的最小值为， 因为，即， 当时，，即， 即， 令，则，， 所以， 故当时，. 即. 【变式7-3】已知，. (1)当时，求函数在的最小值； (2)若函数为增函数，求实数的取值范围； (3)若时，，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在上恒成立，当且仅当时取等号，则在上单调递增， 所以函数在的最小值为. （2）因为，则， 因为函数为增函数，则恒成立， 由（1），当且仅当，即时取等号， 所以. （3）因为时，，即，得到， 令，则， 令，则， 所以，即， 所以， 即. 【考点08 双变量问题】 【例15】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存在，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 【例16】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【详解】（1）先确定定义域为， 对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上，，即，所以在上单调递增； 在上，，即，所以在上单调递减. 当时，在上，，即，所以在上单调递减； 在上，，即，所以在上单调递增. 综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立. 令，. 对求导得. 因为恒成立且，所以是的最大值点，则. ，解得. 当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故. （3）由得，两边取对数整理得， 令.则. ，在递增，递减，则 又，当， 不妨设，则. 记，，则， 在递增，则，即. 又 因为在递减，所以，则. 原命题得证. 【变式8-1】已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【答案】(1)单调递减区间为和；单调递增区间为 (2)，证明见解析 【详解】（1）的定义域为，，， 令得，令得且， 即在区间和上，单调递减， 在区间上，单调递增， 所以的增区间为，减区间为，． （2），证明如下： 令，则定义域为，， 令，则， 则当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 则，所以在，上单调递增， 因为且，所以或， 所以恒成立，即，所以. 【变式8-2】已知函数． (1)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (2)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数在处有极值， 可得，解得，经检验，满足题意， 所以 当时，在单调递减； 当或时，在上单调递增， 可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为， 方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是. （2）在递减，可得时，， ，即为， 即 即为 即对任意且时恒成立. 所以在递减；在递增. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， 在上单调递增，即，则. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， ，当时等号成立，则，则. 综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第2问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解. 【变式8-3】已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立，即在上恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）当时，，， 所以要证，即证，即证. 构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 再构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上所得，所以， 又等号不同时成立，（取等号的条件是，取等号的条件是） 所以，即. （3）先求出的大致范围，. 由题意知是方程的两个不同的根. 设，则方程有两个不同的正实数根， 所以，解得. 再化简， ，则， 所以. 由，得， 所以要证，即证，即证，即证， 即证，即证. 令，即证. 令， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以不等式成立. 【点睛】方法点睛：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类问题有两个策略： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的条件，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解； 二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解. 【考点09 恒(能)成立问题】 【例17】已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， ，故， 故函数在处的切线方程为，即； （2）定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可知函数在处取得极值，故符合题意， 因为，， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，恒成立，，当时，， 画出的图象如下： 故， 令，， ， 因为，所以，， 故在上单调递减， 又，故在上恒成立， 即，， 因为，所以，所以， 其中，故， 其中，，在上单调递增， 所以，即. 【例18】已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且，由可得， 令，其中，则， 由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，的极小值为， 且当时，；当时，. 如下图所示： 当时，即当时，直线与函数只有一个公共点， 当时，即当时，直线与函数有两个公共点， 当时，即当时，直线与函数无交点. 综上所述，当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. （2）由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以. 【变式9-1】已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 【变式9-2】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数的图象在点处的切线方程为. （i）求的最小值； （ii）若关于x的方程有两个根，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）1；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为，则， 若，则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）（i）函数的定义域为， 则，则， 因为函数的图象在的切线方程为， 所以，则， 所以， 因为，所以，令，则， 令，则，， 所以，使，即，则， 又，所以在上单调递增， 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. （ii）由题意可知，， 即方程有两个根，， 令，，则，所以， 设，由（1）知，在上单调递增，又， 所以，则， 由，得，， 所以， 要证，需证，即证， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 则在上单调递减，所以， 因此成立，故，得证. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 【变式9-3】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 【考点10 极值点偏移问题】 【例19】已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【详解】（1）当时，，所以 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）显然在时，不等式恒有解， 当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则 由（1）知时，即， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数a的取值范围是. 【例20】设函数． (1)当时，若函数有2个极值，求实数的取值范围； (2)当时，若函数的最小值为4，求实数的值； (3)当时，求证：总存在实数，当时，． 【答案】(1) (2)或． (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， ， 若函数有2个极值，则在有两个零点. 所以,解得． 故实数的取值范围为． （2）当时，，， ． 当时，，是上的减函数，无最小值，舍去； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 解得或． （3）当，时，有． 方法一：设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， ． 当时，恒成立，所以存在，当时，， 即当时，． 当时，，以下证明，且． 令，，则， 因为，所以是上的增函数， 由，得是上的增函数， 所以，故当时，． 故，， 由零点存在性定理知，存在，使， 故当时，，即当时，． 方法二：设， 又设，，则， 易知当时，，故． 又由，得， 当，时，取为与4中的较大者， 则当时，恒有，即当时，． 【变式10-1】已知函数，曲线在点处的切线与轴平行. (1)求实数的值； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数，可得， 所以，即曲线在点处的切线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，解得，故实数的值为. （2）由（1）知， 因为，所以由，即. 设，， 则在，上恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围是. 【变式10-2】已知函数 (1)当时，求证； (2)若函数有两个极值点且恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）当时，则，即. 设函数，则. 设函数，易知为增函数， ， 根据零点存在定理，存在使得，即. 时，，即，单调递减； 时，，即，单调递增， ， 所以，即. （2）由题意，函数的定义域为，， 函数有两个极值点即方程有两个不相等的正根， 则有，所以， 因为恒成立，所以对恒成立. 分离参数可得， 设函数，则， 令，则， 所以，时，，单调递增；时，，单调递减， 故，即，是减函数. 所以，，则. 故实数的取值范围是. 【变式10-3】已知函数. (1)若存在，使成立，求的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1），则， 当时，恒成立，一定存在使. 当时，令，则， 当单调递增；当单调递减； ，则， 综上. （2），令， 令，则（舍）或， 当单调递增；当单调递减； ， 则，则的最小值为. 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，求证：最大值小于； (2)若有两个零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）当时，， 先证明：，令，其中， 则， 当时， ， 所以 在上单调递增，即， 则不等式在上恒成立， 再证明：，令，其中， 则， 则当时， ，当时， ， 所以在上递增，在上递减， 即， 则不等式在上恒成立， 所以有，证毕； （2）由得：， 构造函数，由，因为，所以， 即函数在上单调递增， 由，根据单调性可得： 再构造，则， 则当时， ，当时， ， 所以在上递减，在上递增，即 当时，由，可知， 当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知， 而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点，根据数形结合可得：. 2．（2025·河南·二模）设，定义为的“函数”. (1)设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； (2)设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由题意，得，则，所以切点为， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）（ⅰ）由题，可得，定义域为， 则， 因为是的极小值点，则， 则 ， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，则， 所以在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，的取值范围为. （ⅱ）由题， 设，抛物线的对称轴为直线， 因为方程有两个正根，，所以，解得， 由题意知，得. 因为，，所以， ， 令， 则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 由，，得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以，所以， 所以，即. 3．（2025·湖南·二模）已知函数有三个不同的零点. (1)若，求的取值范围； (2)若，且对任意都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若，比较的极大值与的大小. 【答案】(1) (2) (3)极大值大于 【详解】（1）时，，， 知时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值是的极小值是， 由有三个零点知有解得. （2）由知，所以， 所以是方程的两个根， 即有，得， 所以，由，得， ①时，， 则此时不成立； ②时，， 所以只需，即，解得. 综上可知. （3）当时，， 由有三个零点知有两个不相等的解，记为（设）， 所以有，得（舍去）， 由求根公式知， 在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为， 由，得，得， 代入得， 由及知， 考虑函数， ，所以在上单调递减， 所以， 所以， 所以的极大值大于. 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常转化为直线与函数图象交点个数问题，也可利用函数单调性结合零点存在性定理解决；函数极值问题，常转化为导函数零点问题处理. 4．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数，． (1)证明：有唯一零点； (2)记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）不存在，理由见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有唯一零点1． 当时，因为，， 所以函数有唯一零点，得证， （2）（i）由（1）知，，且， 两边取自然对数，得，（*） 所以， 两式相减，得， 所以． 因为函数在上单调递增， 所以，所以数列单调递增． 假设数列中存在，，成等比数列，则， 所以． 由（*）式得，，代入上式，得 ， ．（**） 因为，所以， 又，所以方程（**）无解． 所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列． （ii）先证明：时，，（***） 设，则， 所以当时，，单调递减： 当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立． 由（***）式知，， 所以，所以， 所以． 在（***）式中，令，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，，当且仅当时等号成立． 当时，在（***）式中，令，得， 所以时， ． 当时，成立． 所以，得证． 5．（2025·安徽黄山·二模）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，判断函数在区间上的单调性； (2)令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：当时，． 【答案】(1)函数在区间上的单调递减； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设，则， 当，有，则， 所以在区间上的单调递减； （2）由题设，则， 所以上，即在上有解， 令且，则， 所以在上单调递增，故，即； （3）由，只需证恒成立， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，故， 所以，恒成立. 6．（2025·浙江杭州·二模）已知函数（）. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)当时，设的极大值为，求证：. 【答案】(1) (2)和 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. （2）因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. （3）当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 7．（2025·江苏南京·一模）已知函数． (1)若函数是增函数，求实数的取值范围； (2)试判断在上的零点个数． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）由题意得，且在定义域内恒成立. 则在定义域内恒成立，令，对求导可得，，时，，即单调递减， 时，，即单调递增， 所以，则，故实数的取值范围为； （2）I由（1），当时，在上单调递增. 注意到，时，， 则此时在上有一个零点； II当时，令， 则，. 则在上单调递增，在上单调递减， 注意到，， 则存在，使. ①若，即，则. 则此时在上单调递增，在上单调递减. 注意到时，，， 则，使；注意到， i若，则此时有一个零点； ii若，则使，则此时有两个零点； ②若，因在上单调递增， 则存在，使. 则，. 则此时在上单调递增，在上单调递减. 由①分析，在存在零点，又注意到， 则此时有一个零点. 综上可得：当时，在上有一个零点； 当时，在上有2个零点. 【点睛】关键点睛：零点个数问题常用两种方法处理，第一种利用数形结合思想，将问题转化为直线与函数图象交点个数问题；第二种，利用单调性结合零点存在性定理确定零点所在区间，从而确定个数. 8．（2025·北京丰台·一模）已知函数，直线l是曲线在点处的切线. (1)当，（为自然对数的底数）时，求l的方程； (2)若存在l经过点，求实数a的取值范围； (3)当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当，（为自然对数的底数）时， ，， ，， 所以直线l的方程为，即. （2）因为，所以. 因为，所以. 所以直线l的方程为. 因为l经过点，所以，化简得. 设，由题意知，存在，使得. 又因为， 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 所以在时取得最小值. 因为，所以，解得. 此时. 因为， 所以只需.所以a的取值范围是. （3）当时，，， ，， 直线l的方程为. 令，得，即， 所以. 由（2）知，当时，在时取得最小值， 因为，所以恒成立， 所以当时，取得最小值. 9．（2025·山东·模拟预测）已知函数. (1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程； (2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为， 所以，而，得到切点为， 设切线斜率为，由导数的几何意义得， 则切线方程为， 而切线l过点，得到， 解得，此时l的方程为， 即，则l的方程为. （2）因为， 且，所以， 令， 则． 因为有两个不同的极值点，，（）， 所以当时，，则只有一个极值点，不符合题意， 当且， ①当，，即时， 当时，恒成立，即，即恒成立， 设，则， 所以在上单调递减， 则，则，故； ②当，，即时， 当时，恒成立，即恒成立， 若，则当时，，不满足题意， 所以，此时，即， 设，则， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，故， 综上，的取值范围是． 10．（2025·河北张家口·一模）已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）时，， 所以，所以切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为即. （2）因为，使得即， 所以，令，则， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以， 所以. 11．（2025·北京西城·一模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)2 【详解】（1）由，则， 则，解得． （2）由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得， 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由（2）知，当时，函数在区间单调递增， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增. 综上所述，函数在上单调递增， 所以． 由，得， 令，则， 由，得或． 当变化时，与的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在和上单调递增，在上单调递减． 又因为，，且， 所以当时，；当时，． 即当且仅当时，恒成立， 所以使得成立的的最小值为2． 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递增； 当时，当时，， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为；的单调递减区间为. （2）若恒成立，即恒成立， 则恒成立， 设， ， ∵，∴， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 所以不合题意； 当时，当时，， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 则的最大值为， 则， 令，， ，则在上单调递增， 又， ∴由，得， ∴且， ∴. 1．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)证明见解析 (3)2 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 4．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)2 (3)证明过程见解析 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 6．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3个 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数． (1)求不等式的解集； (2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）若,则, 即,解得,即, 若,则, 解得,即, 综上,不等式的解集为. （2）. 画出的草图,则与轴围成, 的高为,所以, 所以,解得. 10．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解. 11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析. (2) 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 解答06 导数 【考点01 含参的讨论单调（可因式分解）】 【例1】已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【例2】已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式1-1】已知函数，其中为常数. (1)当时，求在处的切线方程 (2)当时，，证明： (3)当时，试讨论的单调性； 【变式1-2】求函数，的单调区间． 【变式1-3】设函数，，，. (1)讨论函数零点的个数； (2)若，讨论函数的单调性. 【考点02 含参的讨论单调（不可因式分解）】 【例3】已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)试讨论函数的单调性. 【例4】已知函数． (1)若，求的极值点； (2)讨论的单调性． 【变式2-1】已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)试讨论函数的单调性并判断有无极值． 【变式2-2】已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线； (2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围； (3)讨论函数的导函数在定义域上的单调性. 【变式2-3】设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【考点03 讨论零点的个数】 【例5】已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 【例6】已知. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 【变式3-1】已知函数 (1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； (2)求的单调区间； (3)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数． 【变式3-2】已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)讨论的零点个数，并证明. 【变式3-3】讨论函数在区间上的零点个数． 【考点04 由零点个数求参数范围】 【例7】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)设，求证：当时，有且仅有2个不同的零点． （参考数据：） 【例8】已知函数． (1)当时，求的极小值； (2)若函数有2个零点，求的取值范围． 【变式4-1】已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围; (2)若，求证：有且只有1个零点. 【变式4-2】已知函数是奇函数． (1)求a； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)证明：函数有且仅有1个零点． 【变式4-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围． 【考点05 零点（根）之间的关系证明】 【例9】已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求的取值范围； (3)若函数的两个零点为，求证：. 【例10】已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若方程的根为、，且，求证：． 【变式5-1】已知，，是关于x的方程的三个不同的根，且. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 【变式5-2】已知函数和， (1)求在处的切线方程； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若与有相同的最小值． ①求出； ②证明：存在实数，使得和共有三个不同的根、、，且、、依次成等差数列． 【变式5-3】设函数 ，其中 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 ， （i） 证明: 函数 恰有两个零点; （ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: . 【考点06 不等式的证明】 【例11】已知函数. (1)若，求的单调区间和极值； (2)若，求证：. 【例12】已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 【变式6-1】设函数． (1)若不等式恒成立，求的取值范围； (2)当时，求证：． 【变式6-2】已知函数. (1)若，，求的单调区间和极值； (2)若，证明：当时，. 【变式6-3】已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，且，证明：． 【考点07 数列型函数不等式证明】 【例13】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 【例14】洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)证明：在区间上单调递减； (2)对于恒成立，求实数的取值范围； (3)，证明：（附：）. 【变式7-1】已知函数． (1)若函数是单调函数，求实数的取值范围； (2)证明：对任意的都成立． 【变式7-2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明. 【变式7-3】已知，. (1)当时，求函数在的最小值； (2)若函数为增函数，求实数的取值范围； (3)若时，，，证明：. 【考点08 双变量问题】 【例15】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【例16】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【变式8-1】已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【变式8-2】已知函数． (1)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (2)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围． 【变式8-3】已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 【考点09 恒(能)成立问题】 【例17】已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【例18】已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【变式9-1】已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【变式9-2】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数的图象在点处的切线方程为. （i）求的最小值； （ii）若关于x的方程有两个根，，证明：. 【变式9-3】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【考点10 极值点偏移问题】 【例19】已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【例20】设函数． (1)当时，若函数有2个极值，求实数的取值范围； (2)当时，若函数的最小值为4，求实数的值； (3)当时，求证：总存在实数，当时，． 【变式10-1】已知函数，曲线在点处的切线与轴平行. (1)求实数的值； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【变式10-2】已知函数 (1)当时，求证； (2)若函数有两个极值点且恒成立，求实数a的取值范围． 【变式10-3】已知函数. (1)若存在，使成立，求的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求的最小值. 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，求证：最大值小于； (2)若有两个零点，求实数k的取值范围. 2．（2025·河南·二模）设，定义为的“函数”. (1)设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； (2)设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 3．（2025·湖南·二模）已知函数有三个不同的零点. (1)若，求的取值范围； (2)若，且对任意都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若，比较的极大值与的大小. 4．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数，． (1)证明：有唯一零点； (2)记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 5．（2025·安徽黄山·二模）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，判断函数在区间上的单调性； (2)令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：当时，． 6．（2025·浙江杭州·二模）已知函数（）. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)当时，设的极大值为，求证：. 7．（2025·江苏南京·一模）已知函数． (1)若函数是增函数，求实数的取值范围； (2)试判断在上的零点个数． 8．（2025·北京丰台·一模）已知函数，直线l是曲线在点处的切线. (1)当，（为自然对数的底数）时，求l的方程； (2)若存在l经过点，求实数a的取值范围； (3)当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值. 9．（2025·山东·模拟预测）已知函数. (1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程； (2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围. 10．（2025·河北张家口·一模）已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 11．（2025·北京西城·一模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 1．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 4．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 6．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数． (1)求不等式的解集； (2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求． 10．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$