精品解析：天津市第二十五中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

2024-2025学年第二学期高二数学 月考一 一、单选题 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A B. 9 C. D. 1 2. 函数的极大值点是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C D. 4. 现有3名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（ ） A. 12种 B. 20种 C. 6种 D. 8种 5. 要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ） A 10 B. 8 C. 6 D. 5 6. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ） A. B. 90 C. 40 D. 7. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. -1 C. D. 8. 数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知随机变量，且，则（ ） A B. C. D. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 函数的单调递减区间为______． 12. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为______.（用数值作答） 13. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是______． 14. 若函数有两个零点，则的取值范围是_______． 15. 已知，直线与曲线相切，则最小值是______________． 三、解答题 16. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4） （5）． 17. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 18. 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为.求的分布列. 19. 春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为，第四关挑战成功的概率为，且各关挑战成功与否相互独立. （1）求参与者甲未能参与第四关的概率； （2）记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望. 20. 已知函数（其中）. （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高二数学 月考一 一、单选题 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的计算公式可得. 【详解】. 故选：B 2. 函数的极大值点是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的区间单调性求极大值点即可. 详解】由题设，当时，当或时， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值点是1. 故选：B 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数图像，确定函数单调性，进而可判断； 【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增， 结合选项，只有A符合； 故选：A 4. 现有3名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（ ） A. 12种 B. 20种 C. 6种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，先安排甲同学的位置，再安排乙同学的位置，最后根据分步乘法计数原理计算出总的方法数. 【详解】原来名同学站成一排，有个空位可以插入甲同学，所以甲同学有种不同的排法.  当甲同学插入后，此时包括原来名同学和甲同学一共有个人， 这个人形成了个空位，所以乙同学有种不同的排法.  故完成将甲、乙名同学加入排列这件事，分两步： 第一步甲同学有种排法，第二步乙同学有种排法， 那么根据分步乘法计数原理，不同的方法共有（种）.  故选：B. 5. 要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作， 所以不同方法种数为. 故选：C 6. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ） A. B. 90 C. 40 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由二项式系数和求出，再由展开式公式写出二项式的展开式通项，然后得到结果. 【详解】由题意可知：，∴， 则二项式的展开式通项， 令，即时，， 即展开式常数项为20. 故选：A. 7. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，代入，求出. 【详解】，令得，解得. 故选：B 8. 数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况， 则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为. 故选：A 9. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布的期望值公式，即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 则不等式的解集为. 故选：D. 二、填空题 11. 函数的单调递减区间为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数求得的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为，∵， 令得， ∴函数的单调递减区间是． 故答案为： 12. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为______.（用数值作答） 【答案】 【解析】 【分析】直接运用独立重复试验概率公式进行计算求解即可. 【详解】投球4次，恰好投进3个球的概率为. 故答案为：. 13. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】由互斥事件的和事件概率计算及条件概率计算公式即可求解； 【详解】设“从中取出2粒都是黑子”为事件，“从中取出2粒都是白子”为事件， “任意取出2粒恰好是同一色”为事件，则，且事件与互斥． 所以， 即任意取出2粒恰好是同一色的概率为． 故所求概率为． 故答案为： 14. 若函数有两个零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】条件函数有两个零点可转化为函数与函数的图象有两个交点，作两函数的图象，观察图象列不等式可求的范围. 【详解】因为函数有两个零点， 所以方程有两个实根， 所以函数与函数的图象有且仅有两个交点， 函数的定义域为， 函数的导函数为， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，当时，， 当时，， 画出函数与函数的图象， 观察图象可得实数的取值范围是． 故答案为：. 15. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是______________． 【答案】27 【解析】 【分析】由导数几何意义和切线斜率可求得切点坐标，由此得到，利用配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由得：；当时， ， 直线与曲线相切的切点坐标为， ，又为正实数， , （当且仅当，即，即时取等号）， 的最小值为27. 故答案为：27. 三、解答题 16. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4） （5）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可． 小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 ，则 【小问5详解】 17. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用求出a，b的值，再进行检验； （2）结合函数单调性和极值情况，只需满足，解之即得. 【小问1详解】 由题意得， 由函数在及处取得极值，得 解得，此时，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 故. 【小问2详解】 由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根，所以 解得，所以实数c的取值范围是． 18. 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为.求的分布列. 【答案】分布列见解析 【解析】 【分析】根据题意确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率. 【详解】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 19. 春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为，第四关挑战成功的概率为，且各关挑战成功与否相互独立. （1）求参与者甲未能参与第四关的概率； （2）记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲未能参与第四关包含两种情况，前三个关卡挑战成功0个和1个，利用二项分布，相互独立事件概率乘法公式求解； （2）的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望． 【小问1详解】 参与者甲未能参与第四关的概率为： 【小问2详解】 记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 的分布列为： X  0  1  2  3  4  P         数学期望为 20. 已知函数（其中）. （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，，则，所以，，， 所以，当时，在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：函数的定义域为，. 当时，对任意的，，此时函数的增区间为，无减区间； 当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为. 【小问3详解】 解：由可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$