专题04 几种简单几何体的表面积与体积知识归纳与题型突破（15类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题04 几种简单几何体的表面积与体积知识归纳与题型突破 知识点1 几种简单几何体的表面积 1.棱柱的表面积： 2.棱锥的表面积： 3.棱台的表面积： 4.球的表面积： 知识点2 几种简单几何体的体积 1.锥体、柱体及台体的高： （1）锥体的高：锥体（棱锥、圆锥）的顶点到底面的距离. （2）台体或柱体的高：台体（棱台、圆台）或柱体（棱柱、圆柱）的两底面之间的距离. 2.棱柱的体积： 3.棱锥的体积： 4.棱台的体积： 5.棱柱、棱锥、棱台的体积计算公式之间的关系： 6.球的体积： 题型一 柱体的面积计算问题 【例1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    【答案】 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱表面积的有关计算、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】首先证得，然后分别求出三个侧面的面积相加即可求出结果. 【详解】过点作，连， 因为，，， 所以，则，即， 由是平面内两条相交直线， 所以平面，又， 所以平面，又平面， 所以， 所以该斜三棱柱的侧面积为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是作，证明. 【变式1-1】（24-25高二上·辽宁朝阳·期末）已知圆柱的底面半径，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据题意求出母线长，然后代入圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径，所以母线长， 所以圆柱的表面积为. 故选：D 【变式1-2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知侧面都是矩形的四棱柱，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则这个棱柱的侧面积是 ． 【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据题意，由棱柱侧面积公式，计算可得答案. 【详解】根据题意，该四棱柱的侧面积都是矩形，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则其侧面积为； 故答案为： 【变式1-3】（23-24高二·上海·课堂例题）将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，其表面积增加了 ． 【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】分别计算出小正方体表面积总和与原正方体的表面积作差即可得. 【详解】，则这27个全等的小正方体的棱长均为， 小正方体表面积总和为， 原正方体的表面积为， 故表面积增加了. 故答案为：. 题型二 锥体的面积计算问题 【例2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 【答案】/ 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算、求组合多面体的表面积 【分析】先计算正四棱锥的斜高，即可求得几何体的表面积. 【详解】题意得正四棱锥的斜高， 故几何体表面积为. 故答案为：. 【变式2-1】（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知圆锥的底面半径为1，且其轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据题设确定圆锥母线长、底面周长，应用侧面积公式求圆锥侧面积. 【详解】由题设，圆锥的母线长为2，底面周长为，故圆锥的侧面积为. 故选：A 【变式2-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【答案】18 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 【变式2-3】（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的表面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据题意，以母线长为半径绕一圈可带动底面圆走三圈，推知母线长后即可求解. 【详解】设圆锥母线长，底面半径为，由题意，即， 侧面展开的扇形的弧长是，于是侧面积为， 底面积为，故表面积为. 故答案为： 题型三 台体的面积计算问题 【例3】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为，进而可求表面积. 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【答案】C 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】先根据正四棱台的结构特点，求出斜高，在根据侧面积的计算方法求其侧面积. 【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为， 所以侧面梯形的斜高为， 所以棱台的侧面积为. 故选：C 【变式3-2】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的侧面积为 【答案】18 【知识点】棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正四棱台内切球的性质及其一个轴截面示意图，求出上下底边长、斜高，进而求侧面积. 【详解】令上底面边长为，则下底面边长为，棱台高为2，其中一个轴截面示意图如下， 由图易知：侧面斜高为，则，可得， 所以，上下底面边长分别为，斜高为， 故该正四棱台的侧面积为. 故答案为： 【变式3-3】（2024·陕西商洛·一模）如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是 平方分米． 【答案】 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】求出圆台的母线长，利用圆台的表面积公式即得答案. 【详解】由题可知该圆台形水泥墩的母线长分米， 则该水泥墩的表面积为平方分米． 故答案为：. 题型四 球的面积计算问题 【例4】（24-25高二上·上海·期末）将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 【答案】; 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据球的体积和表面积公式，即可求解. 【详解】设小球的半径为，则，得， 所以这些小球的表面积之和为. 故答案为： 【变式4-1】（23-24高二下·云南·期末）某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意，这种球体的表面积为. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，且，，则球的表面积为 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】依题意可通过构造长方体求出外接球的半径，即可得出其表面积. 【详解】根据题意分别以为棱长构造长方体如下图所示： 易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设其半径为， 因此， 所以球的表面积为. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）将一个半径为的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和，比原金属球的表面积增加了 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据球的体积公式，结合表面积公式进行求解即可. 【详解】设小球的半径为， 由题意可知：， 于是有， 故答案为： 题型五 球与几何体切、接面积计算问题 【例5】（22-23高二上·四川德阳·期末）在边长为6的菱形中，，沿对角线将折起，使得二面角的大小为，连接，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】取中点，分别取和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则是四面体外接球球心，中，求得，求出半径后可得表面积． 【详解】如图，取中点，连接，分别取和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则是四面体外接球球心，连接， 由原平面图形是菱形，且，知，分别在上，且， 是二面角的平面角，因此，是等边三角形，边长为，， 中，，所以， 又，所以， 所以四面体的外接球的表面积为， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知一圆柱的底面半径为2，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】由圆柱体积公式求得圆柱高，从而求得球的半径，然后由球表面积公式计算． 【详解】由题意圆柱的轴截面是球的大圆的内接矩形，矩形的对角线是球的直径， 设圆柱高为，球半径为，圆柱底面半径为， 由得，所以，， 球表面积为， 故选：A． 【变式5-2】（24-25高二下·河南信阳·开学考试）若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为 . 【答案】 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设在底面的投影为，确定球心位置，求，由此可求侧棱和侧面三角形的高，再求侧面积. 【详解】如下图，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题设，球体半径，则， 所以，，， 中边上的高为， 故正四棱锥的侧面积为. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据过圆锥及内切球球心的截面图中的几何关系，设圆锥的高为，母线长为，可得，，进而根据圆锥和球的表面积可得. 【详解】 由题意，过圆锥的高及内切球球心的截面图如图，设圆锥的高为，母线长为， 则在中，， 由得，又，故， 代入，可得，得，故， 圆锥的表面积为， 内切球的表面积为，故圆锥表面积与其内切球的表面积之比为， 故答案为： 题型六 面积计算中的最值问题 【例6】（24-25高二上·上海·期末）如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 【答案】(1)表面积，体积； (2). 【知识点】三角恒等变换的化简问题、棱柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）根据给定条件，求出半球半径，再借助球的表面积及体积公式列式计算即得. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b，求出的关系，再求出正四棱柱表面积的关系，借助三角代换求出最大值. 【详解】（1）依题意，半球内接正方体下底面正方形中心为半球底面圆圆心， 而正方体下底面正方形外接圆半径为， 因此半球的半径， 所以半球表面积，体积. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b， 依题意，，即，令，， 该正四棱柱的表面积 ，其中锐角由确定， 则当，即时，， 所以正四棱柱表面积的最大值. 【变式6-1】（多选）（23-24高一下·河北·期中）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，是两条母线，是的中点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．面积的最大值为 C．当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为 D．圆锥的内切球的表面积为 【答案】ACD 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，进而求出圆锥的高，结合圆锥体积公式计算即可判断A；确定当时的面积最大，即可判断B；如图，确定点A到点P的最小距离为，利用余弦定理计算即可判断C；的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径，结合等面积法求出内切圆半径计算即可判断D. 【详解】A：因为圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形， 所以扇形的弧长为，即圆锥的底面周长为． 设圆锥的底面半径为，母线长为， 则，解得，又，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积，故A正确； B：当为轴截面时，在中，，因为， 所以此时为钝角，又， 当时，的面积最大，且最大值为2，故B错误； C：当为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，点A到点P的最小距离为，如图， 在中，，由余弦定理得 ，故C正确； D：当为轴截面时，的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径． 设的内切圆半径为，则， 所以，所以内切球的表面积为，故D正确． 故选：ACD 【变式6-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】取中点，连接，取的外心，过点作平面，过点作平面交于点，进而确定球心的位置及二面角的平面角为并确定范围，利用几何关系求球体半径，即可得球体表面积的范围. 【详解】由题意知，和是等边三角形， 取中点，连接，取的外心，则是的外心， 过点作平面，则三棱锥的外接球球心在上 过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心， 由，知，为二面角的平面角，则， 设，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据球心的性质确定位置，并求出二面角的平面角的范围为关键. 【变式6-3】（2025·江西赣州·一模）在三棱锥中，点P在平面的射影为的中点，且，，设该三棱锥的体积为V，该三棱锥外接球的表面积为S，若，则S的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据条件先判定三棱锥的特征，结合体积公式求出高的范围，再判定外接球的球心位置，利用勾股定理结合飘带函数的性质判定外接球半径的范围，计算表面积即可. 【详解】因为，，故， 取的中点D，连接，由题意可知平面，，    则，易得， 由题意知该三棱锥外接球的球心O在直线上， 设（为负，则球心在平面的下方），外接球半径为R， 故， 易知在上单调递增，即 则，所以. 故答案为：. 题型七 柱体的体积计算问题 【例7】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是 ． 【答案】256 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又由已知可得正方体的棱长为8， 故. 故答案为：256. 【变式7-1】（2024高二上·江苏·学业考试）已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据圆柱的体积公式计算. 【详解】根据题意，圆柱的体积为. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】如图所示，    该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 由于是两个相同的直三棱柱，所以 . 所以 . 故选：D. 【变式7-3】（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 【答案】6 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】观察几何体，利用切割法的思想进行解决： , ,由即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以 ,设点到侧面的距离是， 由， 所以 . 故答案为：6. 题型八 锥体的体积计算问题 【例8】（2025高二上·辽宁·学业考试）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接，设，可得出，其中，利用余弦定理结合的取值范围可求出的值，利用三角形的面积公式可求出等腰梯形的面积，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，则， 因为，则， 因为平面，平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 因为四边形为等腰梯形，则，且， 不妨设，则，其中， 又因为，， 由余弦定理可得， ， 所以，，解得， 因为，则， 所以， ， 因为平面，故. 因此，四棱锥的体积为. 【变式8-1】（24-25高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则该正四棱锥的体积为 . 【答案】/ 【知识点】正棱锥及其有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】记该正四棱锥为，连结、，交点记为，连结，根据题中条件，以及正棱锥的结构特征，求出底面积和高，即可得出体积. 【详解】记该正四棱锥为，连结、，交点记为，连结， 由正棱锥的结构特征可知：O为S在底面的射影，为正四棱锥为的高， 因为正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则， 则底面积，， 因此， 所以该正四棱锥的体积为. 故答案为： 【变式8-2】（24-25高二上·天津·期末）如图，在正方体 中，是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ）(棱台体积公式： A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断正方体的截面形状、柱体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】取上靠近的三等分点，连接，可得四边形是平面在正方体的截面，且将此正方体分为棱台和另一部分，设正方体棱长为，根据公式求出棱台的体积，再根据正方体体积求出另一部分体积，即可得到结果. 【详解】因为， 所以为上靠近的三等分点， 取上靠近的三等分点， 连接， 则， 所以平面在正方体的截面为四边形， 则将此正方体分为棱台和另一部分， 设正方体棱长为，则， 所以棱台的体积， 又，，， 所以， 又正方体体积， 所以另一部分体积， 所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为. 故选：B 【变式8-3】（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、面面平行证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）连接、、，推导出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）设，计算得出，证明出平面，可知为三棱锥的高，结合锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）连接、、. 因为、分别为、的中点，所以，，， 因为，，所以，，， 所以，四边形是平行四边形，所以，， 因为平面，平面，则平面， 又因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. （2）设，因为，则，则，    所以，，所以，. 由（1）知，平面，所以， 因为为的中点，则，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 即为三棱锥的高. 所以，，故. 题型九 台体的体积计算问题 【例9】（24-25高一下·全国·课后作业）设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为 ． 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据圆台的几何特征结合圆台的体积公式计算即可. 【详解】设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l． 作于点，则，． 又，，，． 又，，，． 又，． 圆台的体积为． 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式计算得解. 【详解】正三棱台的上底面积，下底面积， 所以此三棱台的体积. 故选：B 【变式9-2】（24-25高二上·四川内江·期末）已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，且每条侧棱长均相等，若，则该四棱台的体积为 . 【答案】/ 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据题意得该四棱台为正四棱台，且该四棱台补全后的正四棱锥的高等于底面正方形对角线的一半，从而利用棱台的体积公式，即可求解． 【详解】根据题意可得该四棱台为正四棱台，又， 可知该四棱台补全后的正四棱锥的高等于底面正方形对角线的一半，即为， 又上下底面分别是边长为2和4的正方形，正四棱台的高为， 该四棱台的体积为. 故答案为： 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期末）将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    【答案】 【知识点】求旋转体的体积、台体体积的有关计算 【分析】根据扇形和圆台的几何关系，求上下底面圆的半径，以及高，最后代入圆台的体积同时，即可求解. 【详解】由条件可知，， 设圆台上底面的半径为，下底面半径为， 弧长的长为,弧长， 所以，，，， 圆台上下底面的高， 所以圆台的体积. 故答案为： 题型十 球的体积计算问题 【例10】（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据球的体积公式，三棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】解：设正三棱柱的所有棱长均为2， 由正弦定理可知底面三角形外接圆半径为：， 则正三棱柱的外接球的半径为， ∴球的体积为， 又正三棱柱的体积为， ∴. 故选：A. 【变式10-1】（2023高二下·辽宁·学业考试）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰，置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体，求其直径的一个近似公式．已知球的半径为，则由此公式可得球的体积约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】由，求出的值即可. 【详解】由题意可得解得，故该球的体积约为. 故选：D. 【变式10-2】（24-25高二上·四川内江·期末）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意可所求球即为该正方体的内切球，从而可求解． 【详解】根据题意可所求球即为该正方体的内切球， 该球的半径为正方体的棱长的一半，即， 所求球的体积为 故选：B 【变式10-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）表面积为 的球的体积是 . 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设球的半径为，根据表面积求出，再由球的体积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以球的体积. 故答案为： 题型十一 球与几何体切、接体积计算问题 【例11】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知某圆台的母线长为13，一个半径为6的球恰好与此圆台的各个面均相切，则这个圆台的体积为 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、台体体积的有关计算 【分析】作出辅助线，根据条件，得到方程，求出上下底面的半径，从而利用台体体积公式求出答案. 【详解】如图，球内切于圆台，故与上下底面的切点为，与侧面切于点， 则，， 设，则①， 过点作⊥于点，则，， 由勾股定理得， 又，故②， 由①②得， 所以圆台的上底面面积为，下底面面积为， 圆台的高为， 故圆台的体积为. 故答案为： 【变式11-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】由题意得到上底面面积和下底面面积，然后由圆台体积公式求得结果. 【详解】由题意可知圆台下底面面积，上底面面积， 如图：由题意可知，则， ∴圆台体积. 故选：C. 【变式11-2】（23-24高一下·安徽安庆·期中）已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】先求棱锥的高，利用球的表面积公式得，然后由求解可得，可求棱锥体积. 【详解】如图，设四棱锥的棱长为，在底面的射影为，则平面， 且为的交点，且， 由正四棱锥的对称性可知在直线上， 设外接球的半径为，则其表面积为，所以， 则，故，解得或（舍）， 故正四棱锥的体积为． 故选：A． 【变式11-3】（2025·山东济宁·一模）已知正四棱台的高为3，其顶点都在同一球面上．若该球的半径为5，球心在正四棱台的一个底面上，则该正四棱台的体积为 ． 【答案】122 【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意求出上下底面的边长，再利用棱台的体积公式求解即可. 【详解】因为球心在正四棱台的一底面上，设球心所在底面为下底面，正四棱台的高为3，球半径为5， 连接球心与正四棱台上底面一顶点，以及球心与上底面中心，构成直角三角形， 设上底面边长为，则上底面中心到顶点距离为 根据勾股定理，即，解得， 因为球心在下底面，下底面中心到顶点距离就是球半径5， 设下底面边长为，则，解得， 根据正四棱台体积公式（其中是高，是下底面积，是上底面积）， 下底面积，上底面积， 已知高，则体积 故答案为：122 题型十二 体积计算中的最值问题 【例12】（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在四棱锥S-ABCD中，，底面ABCD是正方形，若四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为，则四棱锥S-ABCD的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三元基本（均值）不等式、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】由题可得外接球半径为2，平面ABCD，设底面正方形边长为，， 由图可得，然后由三次基本不等式可得答案. 【详解】设外接球半径为r，则. 因，底面ABCD是正方形，则，又， 平面SBC，则平面SBC，又平面SBC，则. 因，则，又，平面ABCD， 则平面ABCD，即为四棱锥底面所对应的高. 连接AC，BD，设交点为F，过F做平面ABCD垂线，则垂线上任意一点到A，B，C ，D距离相同.因平面ABCD，平面ABCD，则，即O，F，S ，C四点共面.取SC中点H，过H做SC中垂线，交过F平面ABCD垂线于O，则， 故O为外接球球心.设底面正方形边长为，，则， 又，则四边形为矩形，则. 则由勾股定理，. 四棱锥体积为：，则， 由三次基本不等式，， 当且仅当，即时取等号.则. 故选：A 【变式12-1】（24-25高二下·广东阳江·阶段练习）已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球的体积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】利用球的体积公式得到，结合勾股定理得到，再构造，结合直线与椭圆的位置关系求解最值即可. 【详解】设该正三棱柱的外接球半径为，且正三棱柱的外接球的体积为， 则，解得，如图，我们作出符合题意的正三棱柱， 设球心为，底面外接圆圆心为，由正三棱台性质得，， 则由勾股定理得，即， 设，当直线与曲线相切时，最大， 联立方程得， 由，得（舍去负根）， 故的最大值为，此时，，故A正确. 故选：A 【变式12-2】（23-24高一下·安徽·期中）已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】立体几何新定义、多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求出的范围，从而得出答案即可． 【详解】设三棱锥外接球的半径为， 则，所以球的半径为， 则球的两条弦的中点为， 则， 即弦分别是以为球心，半径为3和2的球的切线， 且弦在以为球心，半径为2的球的外部， 的最大距离为，最小距离为， 当三点共线时，分别取最大值与最小值， 故的伴随球半径分别为， 半径为时，的伴随球的体积为， 当半径为时，的伴随球的体积． ∴的伴随球的表面积的取值范围是． 故选：D. 【变式12-3】（24-25高二下·上海·阶段练习）长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案. 【详解】如图：    水量较少，水面恰好为长方体的截面时，； 水量较多，水面恰好为长方体的截面时，. 因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以的取值范围是. 故答案为： 题型十三 根据面积求其它量 【例13】（24-25高二上·湖南永州·期末）在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积不大于，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、球的表面积的有关计算、正弦定理解三角形 【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把也用表示，然后可表示出外接球半径，利用外接球的表面积不大于得即可求解. 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是，则， 设外接球球心是，则平面，平面，则， 同理，，又平面， 所以，是直角梯形， 设，外接球半径为，即， 则，所以， 在直角中，，， 则，，所以， 由三棱锥外接球的表面积不大于，得， ， 解得， 所以， 故答案为：. 【变式13-1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知正方体外接球的表面积与内切球的表面积之差为，则该正方体的棱长为 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先分别找出正方体外接球半径、内切球半径与正方体棱长的关系，再根据球的表面积公式求出外接球表面积与内切球表面积，最后根据它们的表面积之差列出方程求解正方体的棱长. 【详解】设正方体的棱长为.正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长. 正方体的体对角线长为，所以外接球半径. 正方体内切球的直径等于正方体的棱长，所以内切球半径.   正方体外接球的表面积. 正方体内切球的表面积.   已知正方体外接球的表面积与内切球的表面积之差为，则. 解得或（棱长不能为负舍去）. 故答案为：. 【变式13-2】（24-25高二下·云南·阶段练习）在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为 . 【答案】或 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，，设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，，进而求得棱台侧高，即可求解. 【详解】设外接球的半径为，由，得， 设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，（根据正方形外接圆半径与边长关系）， 设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，， 则正四棱台的高或， 侧面梯形的高 或， 正四棱台的表面积， 或正四棱台的表面积. 故答案为：或 【变式13-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点，作一个平面与另外三个顶点所在平面平行，则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是 . 【答案】4500 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】根据题目条件分析出原四面体的顶点分别为新四面体各个面的重心，则根据相似比易得新四面体的全面积. 【详解】设原四面体为，过每个顶点作平行平面得到新四面体 如下图所示，设过全面积为的四面体的每个顶点作一个平面与另外三个顶点所在平面平行， 作出的这四个平面围成的新四面体为，显然是唯一的， 而当分别为各个面对应三角形的重心时， 连接交于点，连接交于点， 则有，且为中位线， 所以且， 同理可得且，且， 且，且，且. 即当分别为各个面对应三角形的重心时恰满足题目条件， 此时四面体的棱长为四面体对应棱长的三倍， 所以四面体的全面积为. 故答案为：. 题型十四 根据体积求其它量 【例14】（24-25高二上·四川巴中·阶段练习）在四棱锥中，底面为矩形，，，为等边三角形，若四棱锥的体积为1，则此四棱锥的外接球表面积为 . 【答案】/ 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】连接交于,先根据为等边三角形以及四棱锥的体积为1可得平面,进而可得球心在平面中,进而求得外接球的半径与表面积即可. 【详解】连接交于,连接.因为底面ABCD为矩形,故. 又为等边三角形，故，，，则. 又四棱锥的体积为，设高为,则， 解得. 故为四棱锥的高，即平面， 又为底面外接圆的直径，故此四棱锥的外接球球心在平面中， 即三角形外接圆圆心. 设球半径为，则, 所以外接球的表面积为. 故答案为： 【变式14-1】（24-25高二上·贵州毕节·期末）《九章算术·商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭，已知，且该方亭的高为6，体积为26，则 ． 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】依题意可得， 即， 即，解得或（舍去）. 故答案为： 【变式14-2】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）若某圆台上、下底面的半径分别为1，3，且圆台的体积为，则该圆台的母线与底面所成角的正切值为 ． 【答案】 【知识点】圆台的结构特征辨析、台体体积的有关计算 【分析】根据圆台的体积公式计算得出，再结合圆台的轴截面根据正切公式计算. 【详解】设圆台的高为，则，解得． 取圆台的轴截面，如图所示．则所求为． 故答案为：． 【变式14-3】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为 . 【答案】1 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、求线面角 【分析】法一：根据台体的体积公式得三棱台的高，作辅助线并结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系得，进而求正三棱锥的高，即得结果. 【详解】法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为，则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得， 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则，知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故答案为：1 题型十五 “等体积法”求距离 【例15】（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)已知： ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】证明线面平行、求点面距离、求线面角 【分析】（1）构造线线平行，根据线线平行，证明线面平行. （2）利用体积法求点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦. 【详解】（1）如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，所以是直角三角形， 又为中点，且，所以. 设点到平面的距离为，则. 又因为, 所以. 因为平面，平面，所以， 又底面为正方形，所以，平面，， 所以平面. 又平面，所以.所以为直角三角形. 中，，，. 因为，所以为直角三角形，所以. 所以.即点到平面的距离为. 又， 设直线与平面所成的角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为：. 【变式15-1】（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）已知正方体的棱长为3，E为CD的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】利用体积法求点到平面的距离. 【详解】如图：    因为. 在中，,. 所以边上的高为：， 所以. 设点到平面的距离为，由. 故选：A 【变式15-2】（24-25高二下·上海·阶段练习）在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于 . 【答案】 【知识点】求点面距离、锥体体积的有关计算 【分析】根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定可推出面，则，再利用等体积法转换即可. 【详解】面，面；. 且，面；. ；. ；； 设点到平面的距离等于. ；；即. 即点到平面的距离等于. 【变式15-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、证明线面垂直 【分析】利用线面垂直的性质得到，又，由线面垂直的判定定理，可得面，从而可得，再分别求出，，利用等体法，即可求解. 【详解】因为平面，又面，则， 又，，面，所以面， 又面，所以，又，是边长为的正方形， 所以，则，， 设点到平面的距离为， 由，得到，解得， 故答案为：. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 几种简单几何体的表面积与体积知识归纳与题型突破 知识点1 几种简单几何体的表面积 1.棱柱的表面积： 2.棱锥的表面积： 3.棱台的表面积： 4.球的表面积： 知识点2 几种简单几何体的体积 1.锥体、柱体及台体的高： （1）锥体的高：锥体（棱锥、圆锥）的顶点到底面的距离. （2）台体或柱体的高：台体（棱台、圆台）或柱体（棱柱、圆柱）的两底面之间的距离. 2.棱柱的体积： 3.棱锥的体积： 4.棱台的体积： 5.棱柱、棱锥、棱台的体积计算公式之间的关系： 6.球的体积： 题型一 柱体的面积计算问题 【例1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    【变式1-1】（24-25高二上·辽宁朝阳·期末）已知圆柱的底面半径，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知侧面都是矩形的四棱柱，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则这个棱柱的侧面积是 ． 【变式1-3】（23-24高二·上海·课堂例题）将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，其表面积增加了 ． 题型二 锥体的面积计算问题 【例2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 【变式2-1】（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知圆锥的底面半径为1，且其轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【变式2-3】（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的表面积为 ． 题型三 台体的面积计算问题 【例3】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【变式3-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【变式3-2】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的侧面积为 【变式3-3】（2024·陕西商洛·一模）如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是 平方分米． 题型四 球的面积计算问题 【例4】（24-25高二上·上海·期末）将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 【变式4-1】（23-24高二下·云南·期末）某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，且，，则球的表面积为 . 【变式4-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）将一个半径为的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和，比原金属球的表面积增加了 题型五 球与几何体切、接面积计算问题 【例5】（22-23高二上·四川德阳·期末）在边长为6的菱形中，，沿对角线将折起，使得二面角的大小为，连接，则四面体的外接球的表面积为 ． 【变式5-1】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知一圆柱的底面半径为2，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·河南信阳·开学考试）若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为 . 【变式5-3】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 题型六 面积计算中的最值问题 【例6】（24-25高二上·上海·期末）如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 【变式6-1】（多选）（23-24高一下·河北·期中）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，是两条母线，是的中点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．面积的最大值为 C．当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为 D．圆锥的内切球的表面积为 【变式6-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 【变式6-3】（2025·江西赣州·一模）在三棱锥中，点P在平面的射影为的中点，且，，设该三棱锥的体积为V，该三棱锥外接球的表面积为S，若，则S的取值范围为 ． 题型七 柱体的体积计算问题 【例7】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是 ． 【变式7-1】（2024高二上·江苏·学业考试）已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 题型八 锥体的体积计算问题 【例8】（2025高二上·辽宁·学业考试）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 【变式8-1】（24-25高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则该正四棱锥的体积为 . 【变式8-2】（24-25高二上·天津·期末）如图，在正方体 中，是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ）(棱台体积公式： A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 题型九 台体的体积计算问题 【例9】（24-25高一下·全国·课后作业）设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为 ． 【变式9-1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·四川内江·期末）已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，且每条侧棱长均相等，若，则该四棱台的体积为 . 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期末）将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    题型十 球的体积计算问题 【例10】（24-25高二下·云南玉溪·开学考试）已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2023高二下·辽宁·学业考试）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰，置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体，求其直径的一个近似公式．已知球的半径为，则由此公式可得球的体积约是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二上·四川内江·期末）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）表面积为 的球的体积是 . 题型十一 球与几何体切、接体积计算问题 【例11】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知某圆台的母线长为13，一个半径为6的球恰好与此圆台的各个面均相切，则这个圆台的体积为 . 【变式11-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高一下·安徽安庆·期中）已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2025·山东济宁·一模）已知正四棱台的高为3，其顶点都在同一球面上．若该球的半径为5，球心在正四棱台的一个底面上，则该正四棱台的体积为 ． 题型十二 体积计算中的最值问题 【例12】（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在四棱锥S-ABCD中，，底面ABCD是正方形，若四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为，则四棱锥S-ABCD的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高二下·广东阳江·阶段练习）已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球的体积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24高一下·安徽·期中）已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25高二下·上海·阶段练习）长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是 ． 题型十三 根据面积求其它量 【例13】（24-25高二上·湖南永州·期末）在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积不大于，则的取值范围为 . 【变式13-1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知正方体外接球的表面积与内切球的表面积之差为，则该正方体的棱长为 . 【变式13-2】（24-25高二下·云南·阶段练习）在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为 . 【变式13-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点，作一个平面与另外三个顶点所在平面平行，则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是 . 题型十四 根据体积求其它量 【例14】（24-25高二上·四川巴中·阶段练习）在四棱锥中，底面为矩形，，，为等边三角形，若四棱锥的体积为1，则此四棱锥的外接球表面积为 . 【变式14-1】（24-25高二上·贵州毕节·期末）《九章算术·商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭，已知，且该方亭的高为6，体积为26，则 ． 【变式14-2】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）若某圆台上、下底面的半径分别为1，3，且圆台的体积为，则该圆台的母线与底面所成角的正切值为 ． 【变式14-3】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为 . 题型十五 “等体积法”求距离 【例15】（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)已知： ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【变式15-1】（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）已知正方体的棱长为3，E为CD的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【变式15-2】（24-25高二下·上海·阶段练习）在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于 . 【变式15-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$