第4章立体几何初步（期末复习讲义）高一数学下学期湘教版

第4章 立体几何初步（期末复习讲义） 内容导航 明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一　空间几何体的结构特征 题型二　空间几何体的表面积 题型三　多面体的体积 题型四　旋转体的表面积与体积 题型五　平面的基本性质与共面问题 题型六　直线与平面平行的判定与性质 题型七　平面与平面平行的判定与性质 题型八　直线与平面垂直的判定与性质 题型九　平面与平面垂直的判定与性质 题型十　异面直线所成角 题型十一　直线与平面所成角 题型十二　二面角 题型十三　外接球问题 题型十四　内切球问题 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 本章是湘教版必修第二册的重点章节，也是高考的必考内容。立体几何初步覆盖空间几何体的结构特征、表面积与体积计算、空间点线面的位置关系（平行与垂直）三大板块。期末分值占比约20%~25%，选择题、填空题、解答题均有涉及。 核心考点 复习目标 考情规律 空间几何体的结构特征 能识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 基础考点，多出现在选择题，常与截面、展开图结合 空间几何体的表面积 掌握柱、锥、台、球的表面积公式，能计算组合体表面积 必考内容，选择题填空题为主 空间几何体的体积 熟练运用体积公式，掌握割补法、等积法求体积 高频考点，选择填空解答均有，常与切接问题结合 平面的基本性质 理解三个公理和三个推论，能判断点线共面问题 基础考点，是立体几何推理的理论基础 空间点线面的位置关系 能判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 必考内容，多出现在判断命题真假的题型中 直线与平面平行的判定与性质 掌握线面平行的判定定理和性质定理，能证明线面平行 核心考点，解答题第一问常考 平面与平面平行的判定与性质 掌握面面平行的判定定理和性质定理 中档考点，常与线面平行交替考查 直线与平面垂直的判定与性质 掌握线面垂直的判定定理和性质定理 核心考点，解答题必考内容 平面与平面垂直的判定与性质 掌握面面垂直的判定定理和性质定理 核心考点，解答题常与线面垂直综合 空间角（异面直线角、线面角、二面角） 会求异面直线所成角、线面角、二面角 重难考点，解答题第二问高频出现 球的切接问题 会求几何体的外接球与内切球半径 难度提升考点，常见于选择填空压轴题 考情总结：本章分值占比约20%~25%，是期末考试的"大题板块"。核心得分点集中在：① 线面、面面平行与垂直的证明（解答题第一问）；② 空间角的计算（解答题第二问）；③ 几何体的体积计算与等积法应用。易错点：线面平行判定漏"平面外"条件、线面垂直判定漏"两条相交直线"条件、空间角范围混淆（异面直线角为锐角或直角，线面角≤90°）、体积公式忘记乘1/3。 知识点01 空间几何体的结构特征 1. 多面体 名称 定义 特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行 侧棱平行且相等；两底面是全等多边形 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形 侧棱交于一点（顶点） 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 上下底面相似；侧棱延长线交于一点 2. 旋转体 名称 定义 特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 轴截面是矩形；母线平行且相等 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 轴截面是等腰三角形 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 轴截面是等腰梯形 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 球心到球面上任意一点的距离相等 易错点：① 棱柱侧棱不一定垂直于底面（直棱柱才垂直），但侧棱一定互相平行；② 棱锥的侧棱不一定相等（正棱锥才相等）；③ 棱台的侧棱延长线必交于一点，否则不是棱台；④ 圆柱、圆锥、圆台的轴截面是解题的关键，熟练掌握轴截面与各量的关系。 知识点02 空间几何体的表面积与体积 1. 表面积公式 几何体 侧面积公式 表面积公式 圆柱 圆锥 圆台 球 — 2. 体积公式 几何体 体积公式 说明 柱体（棱柱、圆柱） S为底面积，h为高 锥体（棱锥、圆锥） S为底面积，h为高 台体（棱台、圆台） S上、S下为上下底面积 球 R为球半径 易错点：① 锥体体积公式容易忘记乘；② 台体体积公式结构复杂，可用"大锥减小锥"替代；③ 求组合体表面积时，注意相交部分要减去；④ 球的表面积和体积公式别混淆：S=4πR²，V=πR³。 知识点03 平面的基本性质与空间位置关系 1. 三个公理 公理 内容 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 判定直线在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 确定平面；判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 判定两平面相交；找交线 2. 空间点线面的位置关系 位置关系 分类 直线与直线 平行、相交、异面（不同在任何一个平面内） 直线与平面 直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 平面与平面 平行、相交 易错点：① 异面直线是"不同在任何一个平面内"，不能误解为"分别在两个平面内"；② 垂直于同一条直线的两条直线不一定平行；③ 平行于同一个平面的两条直线不一定平行。 知识点04 空间中的平行关系 1. 直线与平面平行 判定定理 性质定理 文字 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号 关键 在平面内找一条直线与已知直线平行 找过已知直线的平面与已知平面的交线 2. 平面与平面平行 判定定理 性质定理 文字 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 符号 关键 在一个平面内找两条相交直线 利用面面平行推出线面平行 方法总结：证线面平行→找线线平行（中位线、平行四边形）；证面面平行→找线面平行，先在一个面内找两条相交直线。平行关系的转化链：线线平行 ⇌ 线面平行 ⇌ 面面平行。 知识点05 空间中的垂直关系 1. 直线与平面垂直 判定定理 性质定理 文字 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号 关键 在平面内找两条相交直线都与l垂直 两个垂直→平行 2. 平面与平面垂直 判定定理 性质定理 文字 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 符号 关键 在一个平面内找另一个平面的垂线 面面垂直→线面垂直 方法总结：证线面垂直→找线线垂直（勾股定理逆定理、菱形/正方形对角线、等腰三角形底边中线等）；证面面垂直→在一个平面内找另一个平面的垂线，转化为线面垂直。垂直关系的转化链：线线垂直 ⇌ 线面垂直 ⇌ 面面垂直。 知识点06 空间角 空间角 定义 范围 求法 异面直线所成角 过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角（或直角） 平移法：中位线平移→解三角形 直线与平面所成角 直线与它在平面内的射影所成的角 找射影→在直角三角形中求解 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，其平面角为棱的垂线与两半平面交线所成的角 定义法、垂线法、向量法 易错点：① 异面直线所成角范围是，平移后若求得钝角，应取补角；② 线面角是直线与射影的夹角，不是直线与平面内任意直线的夹角；③ 二面角的平面角范围是，注意不是。 题型一　空间几何体的结构特征 解｜题｜技｜巧 判断几何体类型的关键是抓住定义中的本质特征。棱柱看侧棱是否平行，棱锥看侧棱是否交于一点，棱台看侧棱延长线是否交于一点。旋转体要抓住轴截面——轴截面是连接旋转体各要素的桥梁。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆棱柱定义：只满足“两个面平行、其余各面为四边形”不是棱柱，必须相邻四边形公共边互相平行。 1. 误判棱锥：其余各面都是三角形，但无公共顶点的几何体不是棱锥。 1. 棱台判定易错：只看上下底面相似，忽略侧棱延长线必须交于一点才是棱台。 1. 直棱柱、正棱柱概念混淆：普通棱柱侧棱不垂直底面，直棱柱侧棱才垂直底面。 1. 旋转体轴截面认错：圆柱轴截面是矩形、圆锥是等腰三角形、圆台是等腰梯形，容易形状记混。 【典例1】以下说法正确的是　　 A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 【解析】 各个侧面是矩形的棱柱，且上下底也是矩形的棱柱才是长方体，故选项错误， 由直棱柱的定义可知，选项正确，根据正四棱锥的定义为：底面是正方体，侧面是全等的等腰三角形且有公共顶点，故选项错误，当底面为菱形时，四条边也相等，但不满足正四棱柱的定义，故选项错误． 故选：． 【变式1】一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是　　 A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 【解析】以为正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为，正六棱锥的高为，正六棱锥的侧棱长为，由正六棱锥的高、底面的半径、侧棱长构成直角三角形得，，故侧棱长和底面正六边形的边长不可能相等，故选：． 【变式2】以下说法正确的是　　 ①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体； ③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体． A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥ 【解析】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确； ②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确； ③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确； ④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误； ⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误； ⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确．故选：． 题型二　空间几何体的表面积 解｜题｜技｜巧 多面体的表面积 = 各个面的面积之和 = 侧面积 + 底面积。 棱柱：侧面展开为矩形； 棱锥：各侧面是三角形； 棱台：各侧面是梯形。 正棱锥/正棱台要注意斜高、高、边心距构成的直角三角形。 易｜错｜点｜拨 1. 计算组合多面体表面积时，相邻贴合面未扣除重合面积，重复计算导致结果偏大。 1. 正棱锥、正棱台求表面积时，误把棱长当作斜高代入侧面积公式。 1. 分不清侧面积与表面积，只求侧面积遗漏上下底面面积。 1. 棱台侧面为梯形，容易误用三角形面积公式计算单个侧面。 1. 展开图还原几何体时，对应边长、面的位置关系判断错误。 【典例2】 若长方体的长、宽、高分别是，，，且，，则长方体的全面积是　　 A．50 B．164 C．132 D．98 【解析】因为， 又，，所以， 则， 所以长方体的全面积为．故选：． 【变式1】 在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为　　 A． B． C． D． 【解析】在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，所以，设到平面的距离，到平面的距离，则，则三棱锥的体积为 ． 故三棱锥和三棱锥的体积之比为．故选：． 【变式2】如图是一个棱长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是 　 　． ①直线与直线垂直； ②直线与直线相交； ②直线与直线平行； ④直线与直线异面． 【解析】作出正方体得到直观图如图所示： 由直观图可知与为相互垂直的异面直线，故①正确； 与为异面直线，故②错误； 与为异面直线，故③错误； 直线与直线异面，故④正确． 故答案为：①④． 题型三　多面体的体积 【解｜题｜技｜巧】 柱体V=Sh，锥体V=⅓Sh，台体V=⅓(S上+S下+√(S上S下))h。三棱锥常用等积法：变换顶点和底面建立等量关系求高或距离。不规则几何体用割补法：分割或补形为规则几何体。 易｜错｜点｜拨 1. 锥体、台体体积公式漏乘，直接按柱体公式计算。 1. 求高时误把斜高、母线当作几何体的垂直高，不利用勾股定理求真实高。 1. 等体积法变换顶点与底面时，底面积和高不匹配，乱套公式。 1. 不规则几何体割补时，分割或补形后体积拆分计算出错、漏算部分几何体。 1. 棱台体积易漏掉项，只简单套用上下底面积之和。 【典例3】 在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为　　 A． B． C． D． 【解析】在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，所以， 设到平面的距离，到平面的距离，则， 则三棱锥的体积为 ． 故三棱锥和三棱锥的体积之比为．故选：． 变式1：如图，一个三棱锥中，，，分别为棱，，上的点，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比　　 A． B． C． D． 【解析】作，交于点，，又， ，可得点，到平面的距离相等，． 由题意，小三棱锥与大三棱锥相似，相似比为，则体积比为， 设，则，，．故选：． 变式2：正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为，则其体积为　　 A．28 B． C．32 D．24 【解析】如图所示，正四棱台中，是高， 连接，，设，垂足为， 显然， 该正四棱台的高为， 正四棱台的体积．故选：． 题型四　旋转体的表面积与体积 【解｜题｜技｜巧】 圆柱：；圆锥：；圆台：；球：。旋转体的轴截面是解题的关键：将空间问题转化为平面三角形/矩形/梯形问题。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆圆柱、圆锥、圆台侧面积公式，半径、母线代入混乱。 1. 球的表面积公式与体积公式系数、指数记反。 1. 圆锥、圆台计算高时，不会借助轴截面直角三角形求高，直接用母线代替高。 1. 旋转体组合体表面积，忽略内部相切、重合曲面的面积扣除。 1. 圆台侧面积公式记错，混淆顺序，漏写两底面半径之和。 【典例4】已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为，则该圆台的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，如图圆台中，，，则， 又由母线与下底面所成为角的正切值为，即， 则，故，该圆台的表面积． 故选：． 变式1：若某圆锥的母线与底面所成的角为，且其母线长为4，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】因为圆锥的母线长为4，其母线与底面所成的角为， 所以圆锥的底面半径，圆锥的高， 所以圆锥的体积为．故选：． 变式2：如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，，，则该青铜器的体积为： ．故选：． 题型五　平面的基本性质与共面问题 解｜题｜技｜巧 证明点线共面的常用方法：① 先用公理2确定一个平面，再证其余点线都在该平面内；② 分别确定两个平面，再证它们是同一个平面（同一法）。证明三点共线：先确定两个平面的交线，再证第三个点也在交线上。 易｜错｜点｜拨 1. 公理2记错：三点必须不共线才能确定唯一平面，共线三点可确定无数平面。 1. 混淆“异面直线”概念：误认为分别在两个平面内的直线就是异面直线，实际可平行或相交。 1. 证明点线共面时，遗漏关键直线、未全部纳入同一平面就下结论。 1. 三点共线证明易错：不会利用两平面交线，找不到公共交线推理依据。 1. 误用平面推论：随意过两点作平面，忽略立体几何中平面的唯一性条件。 【典例5】下列命题中，正确的命题是　　 A．空间不同三点确定一个平面 B．若一直线与两条平行线都相交，则这三条直线在同一平面内 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．有三条直线两两相交，则三条直线一定共面 【解析】对于：由公理3，过不共线的三点有且只有一个平面，故错误； 对于，设，，，如图所示， ，与确定一个平面．，，，，，，，，，在同一个平面内．即正确； 对于：平面内两组对边相等的四边形是平行四边形，但在空间中，两组对边相等的四边形不一定是平行四边形，比如空间四边形，故错误； 对于：比如墙角处的三条交线，就不能确定一个平面，只有空间两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故错误； 故选：． 变式1：下列四个命题中的真命题是　　 A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 【解析】对于、，一条直线与另两条直线都相交或三条直线两两都相交，比如棱柱共点三条棱，这三条直线就不共面，也不一定能确定一个平面，故、错，对于，若三条直线相互平行，其中两条可以确定一个平面，另一条可以与已知平面平行，故错误，对于，一条直线与两条平行直线都相交，这三条直线能确定一个平面，故选：． 变式2：下列命题中正确的是　　 A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线 D．若、、是三条直线，且与都相交，则直线、、共面 【解析】对于选项：不共线的三点确定一个平面，故错误， 对于选项：由墙角模型可知，显然错误， 对于选项：根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不垂直，故错误， 对于选项：因为，所以与唯一确定一个平面，设为平面，又与和都相交，所以也在平面内，即直线、、共面，故选项正确，故选：． 题型六　直线与平面平行的判定与性质 解｜题｜技｜巧 证明线面平行两步走：①在平面内找一条直线与已知直线平行；②利用线面平行判定定理证之。构造平行线的方法：中位线法、平行四边形法、比例线段法。线面平行性质定理：过平行直线的平面与已知平面的交线与该直线平行。 易｜错｜点｜拨 1. 线面平行判定漏条件：忽略直线在平面外，只证线线平行就直接下结论。 1. 中位线、平行四边形找平行线出错，线段中点、平行关系看错。 1. 线面平行性质乱用：由直接推出平行于平面内任意直线。 1. 不会构造辅助平面：使用性质定理时，不会作过已知直线的辅助平面找交线。 1. 平行传递性误用：平行于同一平面的两条直线，不一定平行，可能相交、异面。 【典例6】 已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】若，，则或与异面，故错误； 如果，，那么或与相交或与异面，故错误； 如果，则与平行于的所有直线垂直，又，那么，故正确； 若，，则或或与相交，故错误．故选：． 变式1：设、为两条不重合直线，、是两个不重合平面，则正确命题为　　 A． 若，，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，则 【解析】若，，则与可以平行、异面或者相交，故错误； 因为，，所以，又，所以，故错误； 若，且，则根据线面垂直的判定可知，故正确； 因为，可设，若，，可能有，，此时，故错误．故选：． 变式2：如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． （1）证明：平面． （2）在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由． 【解析】（1）连交于，因为为中点， 所以是中位线，所以． 又平面，平面． 所以平面． （2）上存在点，且，使得平面， 证明：上取点，且， 因为为上的点，且， 所以在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 题型七　平面与平面平行的判定与性质 解｜题｜技｜巧 证明面面平行：在一个平面内找两条相交直线分别平行于另一个平面。面面平行的性质：两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面。平行转化链：线线平行→线面平行→面面平行。 易｜错｜点｜拨 1. 面面平行判定漏关键：只在一个平面内找两条平行直线，不是相交直线，不能证面面平行。 1. 遗漏“相交”条件：必须是两条相交直线分别平行另一平面，缺一不可。 1. 面面平行性质理解偏差：两平面平行，误推出平面内任意两条直线互相平行，实际可能异面。 1. 平行转化链条混乱：不会在线线平行、线面平行、面面平行之间灵活转化。 1. 多个平面平行判断时，混淆传递性，推理逻辑不严谨。 【典例7】设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是　　 A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一个平面 【解析】选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，选项错误； 选项，，平行于同一个平面，则，选项正确； 选项，，平行于同一条直线，与可能相交，选项错误； 变式1：若，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列条件能推出的是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】对于，，，，可能相交，故错误； 对于，，，，可能相交，故错误； 对于，，，假设，相交，不妨设如图所示： 设与，分别于，，设为两平面交线上一点，连接，， 则，，则，与三角形内角和矛盾， 故，不可能相交，则，故正确； 对于，，，，可能相交，故错误；故选：． 变式2：如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 【解析】证明：（1）连接，如图所示： ，分别是，的中点，， 又平面，平面，直线平面； （2）连接，如图所示： ，分别是，的中点，， 又平面，平面，平面， 由（1）得平面，且平面，平面，， 平面平面． 题型八　直线与平面垂直的判定与性质 解｜题｜技｜巧 证明线面垂直：在平面内找两条相交直线与已知直线垂直。垂直的常用工具：勾股定理逆定理、菱形/正方形对角线、等腰三角形底边中线、线面垂直定义。线面垂直性质：垂直于同一平面的两条直线平行。 易｜错｜点｜拨 1. 线面垂直判定漏条件：只垂直平面内一条或两条平行直线，未垂直两条相交直线就下结论。 1. 找线线垂直出错：不会用勾股逆定理、菱形对角线、等腰三角形中线等垂直模型。 1. 线面垂直性质乱用：垂直于同一平面的两条直线才平行，垂直于同一直线的两直线不一定平行。 1. 混淆“直线垂直平面”与“直线垂直平面内某条直线”，概念不等价。 1. 推理书写不规范：漏掉“相交” “直线在平面内”等关键条件，步骤缺失扣分。 【典例8】 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　 A．，， B．， C．， D．， 【解析】若，，，则与可能平行与可能异面，故错误； 若，，则或，故错误； 若，，则或，故错误； 若，根据线面垂直的判定方法，易得，故正确；故选：． 变式1：已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是　　 A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【解析】，且，或，或与相交，故不成立； ，且，故成立； ，且，或，或与相交，故不成立； 由，且，知不成立，故不正确．故选：． 变式2：如图，在三棱台中，，平面，，，，且为中点．求证：平面． 【解析】证明：如图， 由，为的中点，可得， 又平面，平面，可得， 而，则平面． 题型九　平面与平面垂直的判定与性质 解｜题｜技｜巧 证明面面垂直：在一个平面内找另一个平面的垂线，转化为线面垂直。面面垂直的性质：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。垂直转化链：线线垂直→线面垂直→面面垂直。 易｜错｜点｜拨 1. 面面垂直判定不会转化：不会找一个平面内垂直于另一平面的直线，无法转化为线面垂直。 1. 面面垂直性质乱用：两平面垂直，误认为平面内任意直线都垂直另一平面。 1. 用性质定理时，未找两平面交线，直接作垂线导致推理错误。 1. 垂直转化逻辑混乱：不会在线线垂直、线面垂直、面面垂直之间逆向推导。 1. 正方体、棱锥中面面垂直证明，找不到隐藏的垂线和交线，无从下手。 【典例9】设，为两条直线，，为两个平面，则的充分条件是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【解析】对于，如图1，，，，则满足，，，平面与不一定垂直，故错误； 对于，如图2，，，，则满足，，平面与不一定垂直，故错误； 对于，如图3，如图，，，在直线，上取两个向量，则分别为平面，的法向量，且，则，故正确； 对于，如图4，，，，，，则，平面与不一定垂直，故错误； 故选：． 变式1：若为一条直线，，，为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是　　 A．， B．若， C．， D．若， 【解析】对，若，，，可能相交也可能平行，故项不正确； 对，，，则可能有，故，项不正确； 对，，，则必有，故项正确．故选：． 变式2：如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）在线段上是否存在点，使得平面？请说明理由． 【解析】（1）证明：因为，为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 因此． （2）证明：由（1）知，平面，平面，所以． 在矩形中，， 又因为，，平面，所以平面． 平面，所以． 又因为，，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）存在为中点时，平面． 理由：取中点为，连接，， 因为为中点，，且． 在矩形中，为中点，所以，且． 所以，且，所以四边形为平行四边形， 因此，又因为面，面， 所以面． 题型十　异面直线所成角 解｜题｜技｜巧 平移法：将两条异面直线平移到同一个三角形中解三角形。常用中位线或平行四边形做平移。范围：(0°,90°]。若平移后得钝角，应取其补角作为异面直线所成角。 易｜错｜点｜拨 1. 记错范围：异面直线所成角范围为，算出钝角不取补角直接作答。 1. 平移法找角时，平移不到位，找错异面直线的夹角。 1. 解三角形求角时，三角函数值计算错误，角度象限判断失误。 1. 误把异面直线本身夹角的钝角当作所求角，忽略取锐角或直角的要求。 1. 正方体、棱锥中不会利用中位线、平行四边形快速平移构造角。 【典例10】如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体与直三棱柱的组合体，且为等腰直角三角形，则直线与直线所成的角为　　 A． B． C． D． 【解析】连接，，如图所示， 因为为等腰直角三角形，四边形为正方形，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 故或其补角是直线与直线所成的角， 设正方体的棱长为，在中，由勾股定理知，， 所以为等边三角形，所以， 所以直线与直线所成的角为．故选：． 变式1：如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是　　 A． B． C． D．0 【解析】如图， 连接，且， 四边形为平行四边形，得， 为异面直线与所成角，连接， 可得△为等边三角形，则， 异面直线与所成角的余弦值是．故选：． 变式2：如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，连接，， ，分别是，的中点，， 是异面直线与所成的角，且△是等边三角形， ．故选：． 题型十一　直线与平面所成角 解｜题｜技｜巧 关键：找射影。过斜线上一点作平面的垂线，连结垂足和斜足得射影。在直角三角形中：sinθ=对边(垂线段长)/斜边(斜线段长)。范围：[0°,90°]。 易｜错｜点｜拨 1. 概念理解错误：把直线与平面内任意直线夹角当作线面角，不会找平面射影。 1. 记错范围：线面角范围，容易漏掉和特殊情况。 1. 作垂线找射影时，垂足位置找错，构造不出直角三角形。 1. 计算时混淆对边、斜边，正弦、余弦比值代反。 1. 直线平行或垂直平面时，不会快速判定线面角为或。 【典例11】已知平面外两点到平面的距离分别为1和2，两点在平面内的射影之间的距离为，求直线和平面所成的角． 【解析】①当点在平面的同侧时，如图l所示，由点分别向平面作垂线，垂足分别为．则．由点向作垂线，垂足为，则与平面所成的角即为与所成的角，即为和平面所成的角. 在中，. 直线和平面所成的角为 ②当点位于平面的异侧时，如图2所示，由点分别向平面作垂线，垂足分别为．与平面相交于点，为在平面上的射影． 图2 或为直线和平面所成的角. 在中，.在中，. 直线和平面所成的角为. 综合①、②所知：直线和平面所成的角为或. 变式1：如图,空间四边形中,两两互相垂直, ,为中点. （1）求与平面所成的角；（2）求证:⊥平面. 【解析】（1）∵且，∴⊥面. ∵在面内的射影为， ∴是与平面所成的角.∵， ∴直线与平面所成的角为. （2）∵两两垂直，，∴. ∵是的中点，∴.∵⊥面，∴. ∵，∴⊥面. 变式2：如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点． （1）证明：面； （2）若，，求直线与平面所成角的正切值． 【解析】（1）证明：为圆直径，，即， 面，， ，面，面，面． （2）【解析】面，为与平面所成的角， ，，直线与平面所成角的正切值：． 题型十二　二面角 解｜题｜技｜巧 定义法：在棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得平面角。垂线法：过二面角一个面内一点作另一个面的垂线，再作棱的垂线。范围：[0°,180°]。注意区分锐二面角和钝二面角。 易｜错｜点｜拨 1. 记错二面角范围：应为，常与异面直线角范围混淆。 1. 找二面角平面角时，不在棱上取公共点作垂线，构不成标准平面角。 1. 分不清锐二面角与钝二面角，求解后不判断取舍。 1. 定义法、垂线法作平面角时，垂线作图不规范，角度不是真实二面角。 1. 解三角形求二面角时，边长计算出错，导致角度偏差。 【典例12】如图，在多面体中，四边形是矩形，四边形是直角梯形，，，，与交于点，连接． （1）证明：平面； （2）若，平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 因为四边形是矩形，所以是的中点，所以，， 因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又面，面，所以面． （2）因为四边形是直角梯形，，，所以， 因为四边形是矩形，所以， 又，所以面，又面，所以， 过点，作，连接， 又，面，面，所以面， 又面，所以， 平面与平面的夹角为平面与平面的夹角，平面角为， 在中，， 因为，所以，为的中点， 因为，所以，， 所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为． 变式1：如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接交于点，连接，如图，则为的中点，由于是的中点，故， 平面，平面，平面； （2）证明：在四棱柱中，底面是菱形，则， 又平面，且平面，则， 平面，平面，， 平面，又平面，； （3）连接，，，是的中点，， ，平面，平面， 又平面，， 由底面是菱形，得， 又，，平面， 平面，又平面， ，则为二面角的平面角， ，，， 由余弦定理可知， 二面角的余弦值为． 变式2：如图，在三棱锥中，，，． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：在中，， 所以，过点作于点，连接，则， 因为，，为公共边，所以． 所以，且， 又，所以，所以， 又因为，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）过点作于点，过点作（或的延长线）于点，连接，因为平面平面， 平面平面，平面，，所以平面， 而平面，所以，又，， 所以平面，所以，所以即为二面角的平面角． 设，因为，所以， 所以，， ， 由（1）得，则， 故， 所以， 得， 所以当时，二面角的正切值为． 题型十三　外接球问题 解｜题｜技｜巧 外接球：球心到各顶点距离相等=R。长方体(正方体)：体对角线=2R。直棱柱：球心在上下底面外心连线的中点。正棱锥：球心在高线上，列勾股方程R²=r²+(h-R)²。 易｜错｜点｜拨 1. 长方体外接球不会用体对角线=2R，盲目列方程求解。 1. 直棱柱、正棱锥外接球球心位置找错，不在上下底面外心连线中点或高线上。 1. 列勾股方程求外接球半径时，等量关系列错、符号混乱。 1. 混淆正方体、长方体外接球半径公式，记混系数。 1. 棱锥底面外接圆半径计算错误，导致外接球整体半径出错。 【典例13】已知三棱锥中，，，两两互相垂直，且，，，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】因为三棱锥中，，，两两互相垂直， 可以将三棱锥补形为长方体，且长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 又，，， 则球的直径，即， 所以外接球的体积为．故选：． 变式1：已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为， 则圆柱的外接球的半径为， 可得该圆柱的外接球的体积为．故选：． 变式2：已知一个长方体的长、宽、高分别为，，，则其外接球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】设长方体的外接球半径为，所以：， 解得：，故．故选：． 题型十四　内切球问题 解｜题｜技｜巧 内切球：球心到各面距离相等=R。正方体：R=a/2。三棱锥：等体积法R=3V/S表。圆柱/圆锥：轴截面法——轴截面的内切圆半径即为内切球半径。 易｜错｜点｜拨 1. 正方体内切球半径与外接球半径记反。 1. 三棱锥内切球不会用等体积法，无从下手。 1. 旋转体内切球不会借助轴截面内切圆求半径。 1. 计算几何体表面积求内切球时，漏算部分侧面面积。 1. 混淆内切球与外接球几何特征，分不清球心到顶点、到面的距离区别。 【典例13】如图，在正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上点，且平面，设，则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】设正四面体的边长为2，在正四面体中，平面，所以，则点为正四面体内切球的球心， ，则， 设正四面体内切球的半径为， 因为， 所以， 解得，而，故．故选：． 变式1：棱长为2的正方体的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【解析】棱长为2的正方体的内切球半径为，所以内切球的体积为. 故选：C. 变式2：已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，由已知圆锥的高为3，该圆锥的内切球的半径为1，，，可知，所以圆锥的轴截面为正三角形， 因为，所以圆锥底面圆半径，母线， 则圆锥的表面积为．故选：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 2．若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 3．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B 4．已知圆锥的底面半径为，其内切球的体积为，则圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1，作出截面图如下， 因为底面半径为，所以，即, 由内切圆的性质可得，即为正三角形，所以圆锥的母线长为. 5．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 【答案】 【解析】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 2．记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，设该圆锥的高为，则，. 由可得，化简得， 故. 3．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 【答案】AC 【解析】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC.    4．在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】 【解析】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面ABC B． C．平面 D．PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点， ，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且. ，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设，， 则，， 所以，，与矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面， 所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形， 所以点为的中点，又为的中点， 所以，且， 又分别为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 2．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【答案】 【解析】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 3．如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 立体几何初步（期末复习讲义） 内容导航 明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一　空间几何体的结构特征 题型二　空间几何体的表面积 题型三　多面体的体积 题型四　旋转体的表面积与体积 题型五　平面的基本性质与共面问题 题型六　直线与平面平行的判定与性质 题型七　平面与平面平行的判定与性质 题型八　直线与平面垂直的判定与性质 题型九　平面与平面垂直的判定与性质 题型十　异面直线所成角 题型十一　直线与平面所成角 题型十二　二面角 题型十三　外接球问题 题型十四　内切球问题 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 本章是湘教版必修第二册的重点章节，也是高考的必考内容。立体几何初步覆盖空间几何体的结构特征、表面积与体积计算、空间点线面的位置关系（平行与垂直）三大板块。期末分值占比约20%~25%，选择题、填空题、解答题均有涉及。 核心考点 复习目标 考情规律 空间几何体的结构特征 能识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 基础考点，多出现在选择题，常与截面、展开图结合 空间几何体的表面积 掌握柱、锥、台、球的表面积公式，能计算组合体表面积 必考内容，选择题填空题为主 空间几何体的体积 熟练运用体积公式，掌握割补法、等积法求体积 高频考点，选择填空解答均有，常与切接问题结合 平面的基本性质 理解三个公理和三个推论，能判断点线共面问题 基础考点，是立体几何推理的理论基础 空间点线面的位置关系 能判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 必考内容，多出现在判断命题真假的题型中 直线与平面平行的判定与性质 掌握线面平行的判定定理和性质定理，能证明线面平行 核心考点，解答题第一问常考 平面与平面平行的判定与性质 掌握面面平行的判定定理和性质定理 中档考点，常与线面平行交替考查 直线与平面垂直的判定与性质 掌握线面垂直的判定定理和性质定理 核心考点，解答题必考内容 平面与平面垂直的判定与性质 掌握面面垂直的判定定理和性质定理 核心考点，解答题常与线面垂直综合 空间角（异面直线角、线面角、二面角） 会求异面直线所成角、线面角、二面角 重难考点，解答题第二问高频出现 球的切接问题 会求几何体的外接球与内切球半径 难度提升考点，常见于选择填空压轴题 考情总结：本章分值占比约20%~25%，是期末考试的"大题板块"。核心得分点集中在：① 线面、面面平行与垂直的证明（解答题第一问）；② 空间角的计算（解答题第二问）；③ 几何体的体积计算与等积法应用。易错点：线面平行判定漏"平面外"条件、线面垂直判定漏"两条相交直线"条件、空间角范围混淆（异面直线角为锐角或直角，线面角≤90°）、体积公式忘记乘1/3。 知识点01 空间几何体的结构特征 1. 多面体 名称 定义 特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行 侧棱平行且相等；两底面是全等多边形 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形 侧棱交于一点（顶点） 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 上下底面相似；侧棱延长线交于一点 2. 旋转体 名称 定义 特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 轴截面是矩形；母线平行且相等 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 轴截面是等腰三角形 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 轴截面是等腰梯形 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 球心到球面上任意一点的距离相等 易错点：① 棱柱侧棱不一定垂直于底面（直棱柱才垂直），但侧棱一定互相平行；② 棱锥的侧棱不一定相等（正棱锥才相等）；③ 棱台的侧棱延长线必交于一点，否则不是棱台；④ 圆柱、圆锥、圆台的轴截面是解题的关键，熟练掌握轴截面与各量的关系。 知识点02 空间几何体的表面积与体积 1. 表面积公式 几何体 侧面积公式 表面积公式 圆柱 圆锥 圆台 球 — 2. 体积公式 几何体 体积公式 说明 柱体（棱柱、圆柱） S为底面积，h为高 锥体（棱锥、圆锥） S为底面积，h为高 台体（棱台、圆台） S上、S下为上下底面积 球 R为球半径 易错点：① 锥体体积公式容易忘记乘；② 台体体积公式结构复杂，可用"大锥减小锥"替代；③ 求组合体表面积时，注意相交部分要减去；④ 球的表面积和体积公式别混淆：S=4πR²，V=πR³。 知识点03 平面的基本性质与空间位置关系 1. 三个公理 公理 内容 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 判定直线在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 确定平面；判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 判定两平面相交；找交线 2. 空间点线面的位置关系 位置关系 分类 直线与直线 平行、相交、异面（不同在任何一个平面内） 直线与平面 直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 平面与平面 平行、相交 易错点：① 异面直线是"不同在任何一个平面内"，不能误解为"分别在两个平面内"；② 垂直于同一条直线的两条直线不一定平行；③ 平行于同一个平面的两条直线不一定平行。 知识点04 空间中的平行关系 1. 直线与平面平行 判定定理 性质定理 文字 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号 关键 在平面内找一条直线与已知直线平行 找过已知直线的平面与已知平面的交线 2. 平面与平面平行 判定定理 性质定理 文字 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 符号 关键 在一个平面内找两条相交直线 利用面面平行推出线面平行 方法总结：证线面平行→找线线平行（中位线、平行四边形）；证面面平行→找线面平行，先在一个面内找两条相交直线。平行关系的转化链：线线平行 ⇌ 线面平行 ⇌ 面面平行。 知识点05 空间中的垂直关系 1. 直线与平面垂直 判定定理 性质定理 文字 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号 关键 在平面内找两条相交直线都与l垂直 两个垂直→平行 2. 平面与平面垂直 判定定理 性质定理 文字 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 符号 关键 在一个平面内找另一个平面的垂线 面面垂直→线面垂直 方法总结：证线面垂直→找线线垂直（勾股定理逆定理、菱形/正方形对角线、等腰三角形底边中线等）；证面面垂直→在一个平面内找另一个平面的垂线，转化为线面垂直。垂直关系的转化链：线线垂直 ⇌ 线面垂直 ⇌ 面面垂直。 知识点06 空间角 空间角 定义 范围 求法 异面直线所成角 过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角（或直角） 平移法：中位线平移→解三角形 直线与平面所成角 直线与它在平面内的射影所成的角 找射影→在直角三角形中求解 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，其平面角为棱的垂线与两半平面交线所成的角 定义法、垂线法、向量法 易错点：① 异面直线所成角范围是，平移后若求得钝角，应取补角；② 线面角是直线与射影的夹角，不是直线与平面内任意直线的夹角；③ 二面角的平面角范围是，注意不是。 题型一　空间几何体的结构特征 解｜题｜技｜巧 判断几何体类型的关键是抓住定义中的本质特征。棱柱看侧棱是否平行，棱锥看侧棱是否交于一点，棱台看侧棱延长线是否交于一点。旋转体要抓住轴截面——轴截面是连接旋转体各要素的桥梁。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆棱柱定义：只满足“两个面平行、其余各面为四边形”不是棱柱，必须相邻四边形公共边互相平行。 1. 误判棱锥：其余各面都是三角形，但无公共顶点的几何体不是棱锥。 1. 棱台判定易错：只看上下底面相似，忽略侧棱延长线必须交于一点才是棱台。 1. 直棱柱、正棱柱概念混淆：普通棱柱侧棱不垂直底面，直棱柱侧棱才垂直底面。 1. 旋转体轴截面认错：圆柱轴截面是矩形、圆锥是等腰三角形、圆台是等腰梯形，容易形状记混。 【典例1】以下说法正确的是　　 A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 【变式1】一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是　　 A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 【变式2】以下说法正确的是　　 ①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体； ③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体． A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥ 题型二　空间几何体的表面积 解｜题｜技｜巧 多面体的表面积 = 各个面的面积之和 = 侧面积 + 底面积。 棱柱：侧面展开为矩形； 棱锥：各侧面是三角形； 棱台：各侧面是梯形。 正棱锥/正棱台要注意斜高、高、边心距构成的直角三角形。 易｜错｜点｜拨 1. 计算组合多面体表面积时，相邻贴合面未扣除重合面积，重复计算导致结果偏大。 1. 正棱锥、正棱台求表面积时，误把棱长当作斜高代入侧面积公式。 1. 分不清侧面积与表面积，只求侧面积遗漏上下底面面积。 1. 棱台侧面为梯形，容易误用三角形面积公式计算单个侧面。 1. 展开图还原几何体时，对应边长、面的位置关系判断错误。 【典例2】 若长方体的长、宽、高分别是，，，且，，则长方体的全面积是　　 A．50 B．164 C．132 D．98 【变式1】 在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为　　 A． B． C． D． 【变式2】如图是一个棱长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是 　 　． ①直线与直线垂直； ②直线与直线相交； ②直线与直线平行； ④直线与直线异面． 题型三　多面体的体积 【解｜题｜技｜巧】 柱体V=Sh，锥体V=⅓Sh，台体V=⅓(S上+S下+√(S上S下))h。三棱锥常用等积法：变换顶点和底面建立等量关系求高或距离。不规则几何体用割补法：分割或补形为规则几何体。 易｜错｜点｜拨 1. 锥体、台体体积公式漏乘，直接按柱体公式计算。 1. 求高时误把斜高、母线当作几何体的垂直高，不利用勾股定理求真实高。 1. 等体积法变换顶点与底面时，底面积和高不匹配，乱套公式。 1. 不规则几何体割补时，分割或补形后体积拆分计算出错、漏算部分几何体。 1. 棱台体积易漏掉项，只简单套用上下底面积之和。 【典例3】 在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为　　 A． B． C． D． 变式1：如图，一个三棱锥中，，，分别为棱，，上的点，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比　　 A． B． C． D． 变式2：正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为，则其体积为　　 A．28 B． C．32 D．24 题型四　旋转体的表面积与体积 【解｜题｜技｜巧】 圆柱：；圆锥：；圆台：；球：。旋转体的轴截面是解题的关键：将空间问题转化为平面三角形/矩形/梯形问题。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆圆柱、圆锥、圆台侧面积公式，半径、母线代入混乱。 1. 球的表面积公式与体积公式系数、指数记反。 1. 圆锥、圆台计算高时，不会借助轴截面直角三角形求高，直接用母线代替高。 1. 旋转体组合体表面积，忽略内部相切、重合曲面的面积扣除。 1. 圆台侧面积公式记错，混淆顺序，漏写两底面半径之和。 【典例4】已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为，则该圆台的表面积为　　 A． B． C． D． 变式1：若某圆锥的母线与底面所成的角为，且其母线长为4，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 变式2：如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为　　 A． B． C． D． 题型五　平面的基本性质与共面问题 解｜题｜技｜巧 证明点线共面的常用方法：① 先用公理2确定一个平面，再证其余点线都在该平面内；② 分别确定两个平面，再证它们是同一个平面（同一法）。证明三点共线：先确定两个平面的交线，再证第三个点也在交线上。 易｜错｜点｜拨 1. 公理2记错：三点必须不共线才能确定唯一平面，共线三点可确定无数平面。 1. 混淆“异面直线”概念：误认为分别在两个平面内的直线就是异面直线，实际可平行或相交。 1. 证明点线共面时，遗漏关键直线、未全部纳入同一平面就下结论。 1. 三点共线证明易错：不会利用两平面交线，找不到公共交线推理依据。 1. 误用平面推论：随意过两点作平面，忽略立体几何中平面的唯一性条件。 【典例5】下列命题中，正确的命题是　　 A．空间不同三点确定一个平面 B．若一直线与两条平行线都相交，则这三条直线在同一平面内 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．有三条直线两两相交，则三条直线一定共面 变式1：下列四个命题中的真命题是　　 A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 变式2：下列命题中正确的是　　 A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线 D．若、、是三条直线，且与都相交，则直线、、共面 题型六　直线与平面平行的判定与性质 解｜题｜技｜巧 证明线面平行两步走：①在平面内找一条直线与已知直线平行；②利用线面平行判定定理证之。构造平行线的方法：中位线法、平行四边形法、比例线段法。线面平行性质定理：过平行直线的平面与已知平面的交线与该直线平行。 易｜错｜点｜拨 1. 线面平行判定漏条件：忽略直线在平面外，只证线线平行就直接下结论。 1. 中位线、平行四边形找平行线出错，线段中点、平行关系看错。 1. 线面平行性质乱用：由直接推出平行于平面内任意直线。 1. 不会构造辅助平面：使用性质定理时，不会作过已知直线的辅助平面找交线。 1. 平行传递性误用：平行于同一平面的两条直线，不一定平行，可能相交、异面。 【典例6】 已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 变式1：设、为两条不重合直线，、是两个不重合平面，则正确命题为　　 A． 若，，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，则 变式2：如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． （1）证明：平面． （2）在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由． 题型七　平面与平面平行的判定与性质 解｜题｜技｜巧 证明面面平行：在一个平面内找两条相交直线分别平行于另一个平面。面面平行的性质：两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面。平行转化链：线线平行→线面平行→面面平行。 易｜错｜点｜拨 1. 面面平行判定漏关键：只在一个平面内找两条平行直线，不是相交直线，不能证面面平行。 1. 遗漏“相交”条件：必须是两条相交直线分别平行另一平面，缺一不可。 1. 面面平行性质理解偏差：两平面平行，误推出平面内任意两条直线互相平行，实际可能异面。 1. 平行转化链条混乱：不会在线线平行、线面平行、面面平行之间灵活转化。 1. 多个平面平行判断时，混淆传递性，推理逻辑不严谨。 【典例7】设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是　　 A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一个平面 变式1：若，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列条件能推出的是　　 A．， B．， C．， D．， 变式2：如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 题型八　直线与平面垂直的判定与性质 解｜题｜技｜巧 证明线面垂直：在平面内找两条相交直线与已知直线垂直。垂直的常用工具：勾股定理逆定理、菱形/正方形对角线、等腰三角形底边中线、线面垂直定义。线面垂直性质：垂直于同一平面的两条直线平行。 易｜错｜点｜拨 1. 线面垂直判定漏条件：只垂直平面内一条或两条平行直线，未垂直两条相交直线就下结论。 1. 找线线垂直出错：不会用勾股逆定理、菱形对角线、等腰三角形中线等垂直模型。 1. 线面垂直性质乱用：垂直于同一平面的两条直线才平行，垂直于同一直线的两直线不一定平行。 1. 混淆“直线垂直平面”与“直线垂直平面内某条直线”，概念不等价。 1. 推理书写不规范：漏掉“相交” “直线在平面内”等关键条件，步骤缺失扣分。 【典例8】 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　 A．，， B．， C．， D．， 变式1：已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是　　 A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 变式2：如图，在三棱台中，，平面，，，，且为中点．求证：平面． 题型九　平面与平面垂直的判定与性质 解｜题｜技｜巧 证明面面垂直：在一个平面内找另一个平面的垂线，转化为线面垂直。面面垂直的性质：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。垂直转化链：线线垂直→线面垂直→面面垂直。 易｜错｜点｜拨 1. 面面垂直判定不会转化：不会找一个平面内垂直于另一平面的直线，无法转化为线面垂直。 1. 面面垂直性质乱用：两平面垂直，误认为平面内任意直线都垂直另一平面。 1. 用性质定理时，未找两平面交线，直接作垂线导致推理错误。 1. 垂直转化逻辑混乱：不会在线线垂直、线面垂直、面面垂直之间逆向推导。 1. 正方体、棱锥中面面垂直证明，找不到隐藏的垂线和交线，无从下手。 【典例9】设，为两条直线，，为两个平面，则的充分条件是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1：若为一条直线，，，为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是　　 A．， B．若， C．， D．若， 变式2：如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）在线段上是否存在点，使得平面？请说明理由． 题型十　异面直线所成角 解｜题｜技｜巧 平移法：将两条异面直线平移到同一个三角形中解三角形。常用中位线或平行四边形做平移。范围：(0°,90°]。若平移后得钝角，应取其补角作为异面直线所成角。 易｜错｜点｜拨 1. 记错范围：异面直线所成角范围为，算出钝角不取补角直接作答。 1. 平移法找角时，平移不到位，找错异面直线的夹角。 1. 解三角形求角时，三角函数值计算错误，角度象限判断失误。 1. 误把异面直线本身夹角的钝角当作所求角，忽略取锐角或直角的要求。 1. 正方体、棱锥中不会利用中位线、平行四边形快速平移构造角。 【典例10】如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体与直三棱柱的组合体，且为等腰直角三角形，则直线与直线所成的角为　　 A． B． C． D． 变式1：如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是　　 A． B． C． D．0 变式2：如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为　　 A． B． C． D． 题型十一　直线与平面所成角 解｜题｜技｜巧 关键：找射影。过斜线上一点作平面的垂线，连结垂足和斜足得射影。在直角三角形中：sinθ=对边(垂线段长)/斜边(斜线段长)。范围：[0°,90°]。 易｜错｜点｜拨 1. 概念理解错误：把直线与平面内任意直线夹角当作线面角，不会找平面射影。 1. 记错范围：线面角范围，容易漏掉和特殊情况。 1. 作垂线找射影时，垂足位置找错，构造不出直角三角形。 1. 计算时混淆对边、斜边，正弦、余弦比值代反。 1. 直线平行或垂直平面时，不会快速判定线面角为或。 【典例11】已知平面外两点到平面的距离分别为1和2，两点在平面内的射影之间的距离为，求直线和平面所成的角． 变式1：如图,空间四边形中,两两互相垂直, ,为中点. （1）求与平面所成的角；（2）求证:⊥平面. 变式2：如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点． （1）证明：面； （2）若，，求直线与平面所成角的正切值． 题型十二　二面角 解｜题｜技｜巧 定义法：在棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得平面角。垂线法：过二面角一个面内一点作另一个面的垂线，再作棱的垂线。范围：[0°,180°]。注意区分锐二面角和钝二面角。 易｜错｜点｜拨 1. 记错二面角范围：应为，常与异面直线角范围混淆。 1. 找二面角平面角时，不在棱上取公共点作垂线，构不成标准平面角。 1. 分不清锐二面角与钝二面角，求解后不判断取舍。 1. 定义法、垂线法作平面角时，垂线作图不规范，角度不是真实二面角。 1. 解三角形求二面角时，边长计算出错，导致角度偏差。 【典例12】如图，在多面体中，四边形是矩形，四边形是直角梯形，，，，与交于点，连接． （1）证明：平面； （2）若，平面与平面的夹角的余弦值． 变式1：如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 变式2：如图，在三棱锥中，，，． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 题型十三　外接球问题 解｜题｜技｜巧 外接球：球心到各顶点距离相等=R。长方体(正方体)：体对角线=2R。直棱柱：球心在上下底面外心连线的中点。正棱锥：球心在高线上，列勾股方程R²=r²+(h-R)²。 易｜错｜点｜拨 1. 长方体外接球不会用体对角线=2R，盲目列方程求解。 1. 直棱柱、正棱锥外接球球心位置找错，不在上下底面外心连线中点或高线上。 1. 列勾股方程求外接球半径时，等量关系列错、符号混乱。 1. 混淆正方体、长方体外接球半径公式，记混系数。 1. 棱锥底面外接圆半径计算错误，导致外接球整体半径出错。 【典例13】已知三棱锥中，，，两两互相垂直，且，，，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为　　 A． B． C． D． 变式1：已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 变式2：已知一个长方体的长、宽、高分别为，，，则其外接球的体积为　　 A． B． C． D． 题型十四　内切球问题 解｜题｜技｜巧 内切球：球心到各面距离相等=R。正方体：R=a/2。三棱锥：等体积法R=3V/S表。圆柱/圆锥：轴截面法——轴截面的内切圆半径即为内切球半径。 易｜错｜点｜拨 1. 正方体内切球半径与外接球半径记反。 1. 三棱锥内切球不会用等体积法，无从下手。 1. 旋转体内切球不会借助轴截面内切圆求半径。 1. 计算几何体表面积求内切球时，漏算部分侧面面积。 1. 混淆内切球与外接球几何特征，分不清球心到顶点、到面的距离区别。 【典例13】如图，在正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上点，且平面，设，则的值为　　 A． B． C． D． 变式1：棱长为2的正方体的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 变式2：已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面半径为，其内切球的体积为，则圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D．4 5．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为    4．在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面ABC B． C．平面 D．PQ与MN相交 2．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 3．如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 学科网（北京）股份有限公司 $