易错09 圆中的几何综合（六大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（上海专用）

易错09 圆中的几何综合 易错陷阱一：垂径定理应用错误 一、垂径定理内容 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 二、常见错误情形及原因 （1）对定理条件理解不深，非直径的线段垂直弦时误用垂径定理。 （2）计算弦长、半径等时，未结合勾股定理，或公式运用错误。 易错提醒 （1）牢记定理条件：必须是直径垂直于弦。 （2）计算时，利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解。 例1．（2022·上海·中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 ．（结果保留） 【答案】400π 【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图， ∵AC=11，BC=21， ∴AB=AC+BC=32， ∵OD⊥AB于D， ∴AD=BD=AB=16， ∴CD=AD-AC=5， 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 OD==12, 在Rt△OBD中，由勾股定理，得 OB==20， ∴这个花坛的面积=202π=400π， 故答案为：400π． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键． 易错警示： 1.垂径定理应用错误：作后，不能正确利用垂径定理得到, 进而在计算长度时出错。 2勾股定理计算错误：在和中运用勾股定理计算和时，出现平方运算、开方运算等错误，导致半径计算错误，最终花坛面积计算错误。 变式1-1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，是以为底边的等腰三角形，点为的外心，连接，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外心性质、垂径定理性质的应用，等边三角形的判定与性质，连接，证明为等边三角形，求出，求出后再求即可． 【详解】解：连接， ∵O为的外心， ∴， ∵， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∵，O为的外心， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 变式1-2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，半径垂直于弦，垂足为点．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图：连接，则，由垂径定理可得，然后根据勾股定理列方程求得即可解答． 【详解】解：如图：连接，则， ∵在中，半径垂直于弦，垂足为点， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 变式1-3．（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，长度为的弦与直径交于点，已知，且． (1)求证：； (2)求的半径长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线定理，垂径定理，勾股定理等； （1）连接、，由线段垂直平分线定理得是的垂直平分线，即可得证； （2）设半径为，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解； 掌握线段垂直平分线定理，能熟练利用垂径定理，勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接、， ， ， 是的垂直平分线， ； （2）解：设半径为， ，， ， ， ， ， 解得：， 故的半径长为． 变式1-4．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，点A、、、在上，，点为中点，点平分，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据垂径定理可得，再根据圆周角定理可得，即、重合；进而得到，最后根据垂径定理可得； （2）如图：连接，易得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为中点， ∴， ∵点平分， ∴， ∴、重合， ∵，交于点， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得：． ∴的半径为5． 易错陷阱二：圆周角定理及推论混淆 一、圆周角定理及推论 （1）定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 （2）推论：直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等。 二、常见错误情形及原因 （1）混淆推论，如误将圆内非直径的弦所对直角当作直径推论。 （2）计算角度时，未找准同弧对应的圆周角或圆心角。 易错提醒 （1）明确定理和推论的前提条件，仔细辨别角的位置和所对弧。 （2）利用圆周角与圆心角关系时，确保是同弧所对。 例2．已知在中，弦的长等于半径的倍，则弦所对的圆周角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，则，，由余弦，求出，则，最后由圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角为或， 故答案为：或． 易错警示： 1.垂径定理及三角函数应用错误：作后，利用垂径定理得到时出错；在计算的值时，边的比例关系对应错误，导致度数计算错误。 2.圆周角定理及圆内接四边形性质应用错误：由利用圆周角定理求时出错；在利用圆内接四边形对角互补求时，逻辑混乱，计算错误，或者遗漏圆内接四边形中另一个圆周角的情况。 变式2-1．如图，在中，弦与半径交于点，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，圆周角定理；先利用三角形外角的性质求出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 变式2-2．如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2-3．如图，点，，在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】设圆心为，连接、，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数，因为不知道点的位置，需要进行分类讨论． 【详解】解：如图设圆心为，连接、， ∵弦的长度等于圆半径的倍， 即， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 情况一点在的位置， 可得． 情况二点在的位置， 有， ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；考查圆内接四边形对角互补，因为不知道点的位置，需要进行分类讨论，这才是解题的关键． 易错陷阱三：圆与圆的位置关系判断出错 一、圆与圆的位置关系及判定方法 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含。设两圆的半径分别为和, 圆心距为, 则： 外离：; 外切：; 相交：; 内切：; 内含：(当时为同心圆)。 二、常见错误情形及原因 1.概念理解错误：对不同位置关系的概念模糊，比如混淆外切和内切的定义，导致判断错误；或者没有考虑到时同心圆属于内含的特殊情况。 2.计算错误：在计算圆心距或者两圆半径时出现失误，进而根据位置关系的数量判定条件得出错误结论。 3.条件运用错误：没有准确使用两圆位置关系的数量判定条件，如在判断相交时，错误地认为只要即可，忽略了还需满足。 易错提醒 (1)牢记圆与圆位置关系的概念和对应的数量判定条件，通过对比记忆加深理解。 (2)计算圆心距和半径时仔细认真，反复检查计算结果。 (3)运用判定条件时，严格按照条件要求逐一核对，确保判断准确。 例3-1．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：B． 易错警示： 1.圆的内切性质运用错误：根据圆与圆内 切求圆心距时出错，对圆内切时圆心距与两圆半径的关系(理解有误。 2.圆与圆位置关系判定错误：计算圆与圆圆心距的 最大值后，与两圆半径之和比较时出错，对圆相交的判定条件运用不当，从而错误判断两圆位置关系。 例3-2．（2023·上海·中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：由题意画出图形如下：连接，   过点，且， 的半径为7， 过点，它的半径为，且， ， ， ，， 在边上，点在延长线上， ，即， ， 与有公共点， ，即， 不等式①可化为， 解方程得：或， 画出函数的大致图象如下：    由函数图象可知，当时，， 即不等式①的解集为， 同理可得：不等式②的解集为或， 则不等式组的解集为， 又， 半径r的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键． 易错警示： 1:勾股定理计算错误：在计算和 时，出现平方运算、开方运算失误。 2.圆与圆位置关系不等式建立错误：根据与有公共点建立不等式组时，对两圆位置关系对应的数量关系理解有误，导致不等式列错。 3.二次函数与不等式求解错误：在求解不等式时，解方程出错，或者根据二次函数图象确定不等式解集时出错。 变式3-1．（24-25九年级下·上海徐汇·阶段练习）已知与内切，的半径为2，的长等于6，那么的半径等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查两圆的位置关系．根据圆心距和两圆半径之间的关系：即可得出． 【详解】解：∵与内切，的半径为2，设的半径为，的长等于6， ∵， ∴只可能是 ∴的半径为． 故答案为：8． 变式3-2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，的外接的半径为5，，点P为BC的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为 ． 【答案】或/2或8 【分析】本题考查了相切两圆的性质，勾股定理，分两种情况，由相切两圆的性质，如果两圆相切，那么连心线必经过切点，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴， ∵，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 当在内部时，两圆相切于，如图， ∴， ∴此时的半径为2； 当在外部时，两圆相切于，如图， ∴， ∴此时的半径为， ∴的半径为或， 故答案为：或． 变式3-3．（2024·上海浦东新·二模）如图，在中，，，．点D在边上，且，交边于点E，那么以E为圆心，为半径的和以D为圆心，为半径的的位置关系是（  ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】本题考查的是两圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，再证明，求解，，再结合两圆的位置关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴以E为圆心，为半径的和以D为圆心，为半径的的位置关系是外切． 故选B 变式3-4．（2023·上海虹口·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 易错陷阱四：切线性质与判定出错 一、切线性质与判定 （1）性质：切线垂直于过切点的半径。 （2）判定：经过半径外端且垂直于该半径的直线是切线。 二、常见错误情形及原因 （1）判定切线时，遗漏 “半径外端” 条件，仅知垂直于半径就判定。 （2）运用性质时，未确定切点与半径的对应关系。 易错提醒 判定切线严格满足 “过半径外端且垂直”；运用性质时，先找切点与半径。 例4．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径与线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6， 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用相似三角形的判定和性质列出比例式即可求得的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ． ． ∴, ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：在中， ，， ， ． 即的半径为6． ， ， ． ，， ∴， ∴， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定和性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 易错警示： 1. 等腰三角形及圆的性质运用错误：由推导, 以及由推导时出错，对等腰三角形等边对等角性质理解不深；在利用这些角的关系推导时，逻辑不清晰。 2. 切线判定定理应用错误：证明后，对圆的切线判定定理 （经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)理解有误，没有明确是半径这一条件，导致不能正确得出是的切线。 变式4-1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，是的直径，弦与相交于点E．点D为的中点，过点D作，交的延长线于点F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，由平行线的性质求得，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）如图，连接，先证明，求出，根据即可求解． 【详解】（1）解：为的切线，理由如下： 如图，连接， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴，即的半径为1． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，相似三角形的性质与判定等知识，正确作出辅助线是解题关键． 变式4-2．（2024·上海嘉定·三模）如图，是的直径，连接交于点，连接、，使得． (1)试判断与的位置关系并说明理由 (2)若点是的中点，与交于点，求证：． 【答案】(1)相切，理由见详解 (2)见详解 【分析】（1）由圆周角定理得到，证得，根据相似三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）由弧和圆周角的关系证得，根据直角三角形的性质和三角形的外角定理证得，由等腰三角形的判定定理即可证得结论． 【详解】（1）解：相切，理由如下， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）证明：∵， ∴， 点是的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧和圆周角的关系，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 变式4-3．（2024·上海·模拟预测）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证； （2）连接交于．连接，先根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，在中，求得，再证明由得，由此即可解题. 【详解】（1）证明：①四边形是菱形， ， ，则 又为的半径的外端点， 是的切线． （2）解：连接交于．连接，   菱形，， ，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ∵ ∴ 为直径， ， 而 ， 又 ． ∴ ． 易错陷阱五：圆与相似三角形综合出错 一、综合应用要点 利用圆中圆周角相等、弧相等推导角的关系，进而判定相似三角形。 二、常见错误情形及原因 （1）找相似三角形时，对应角、边关系错乱，如忽略圆周角对应顺序。 （2）列比例式时，未按相似三角形对应边成比例计算。 易错提醒 （1）仔细分析圆中角的关系（如同弧所对圆周角相等），确定相似三角形对应元素。 （2）列比例式后，检查对应边是否匹配。 例5．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证； （2）设，，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解； （3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，，连接交于点，证明在与中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴, ∴ ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，点边中点， 设，，则 由（1）可得 ∴， ∴， 又∵ ∴, ∴ 即， ∵， 在中，， ∴， ∴ 解得：或（舍去） ∴； （3）解：①当时，点与点重合，舍去； ②当时，如图所示，延长交于点P，    ∵点是的中点，， ∴， 设， ∵ ∴， ∴， 设， ∵ ∴，   ∴， ∴， ∴， 连接交于点，    ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键． 易错警示： (1)问易错分析 1.等腰三角形性质运用不熟练，角的等量代换出错，不能顺利推出。 2.对三角形中位线判定及性质理解有误，无法正确判定是中位线并推出. (2)问易错分析 1.角的等量关系梳理不清，不能准确证明。 2.利用勾股定理和相似三角形性质列方程求解时，计算错误，如方程求解出错。 (3)问易错分析 1.对等腰三角形以为腰的分类讨论不全或情况分析错误。 2.相似三角形判定和性质运用混乱，对应边比例关系找错，计算时出错。 变式5-1．（2024·上海·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一点，且BC：CA=2：1，连接OC并延长交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，则圆心O到弦AB的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先延长DO交圆O于点E，连接AD，BE，BO，作OF⊥AB，即可求出CE，再证明，即可求出AC，BC，然后根据垂径定理求出BF，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】先延长DO交圆O于点E，连接AD，BE，BO，过点O作OF⊥AB，于点F， ∴EO=CO+CD=5cm， ∴CE=8cm． ∵∠ADC=∠CBE，∠ACD=∠BCE， ∴， ∴， 即AC·BC=CE·CD， 则2AC2=16， 解得， ∴， 则． ∵OF⊥AB， ∴． 在Rt△BOF中，BO=5cm， ∴（cm）． 故选：C． 【点睛】这是一道关于圆得综合问题，考查了相似三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，构造相似三角形求出线段的长是解题的关键． 变式5-2．如图1，是圆O的直径，点C在圆O上，点D是的中点，，的延长线交于点E，为圆O的切线，交于点F，． (1)证明：； (2)若，设，，求； (3)如图2，延长与交于点N，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线判定，相似三角形判定及性质，切线性质，解直角三角形，勾股定理等． （1）根据题意连接并延长交于点，继而得到，利用切线性质得，继而得到本题答案； （2）连接，利用圆内接四边形性质得，继而得，设，则，，利用相似三角形判定及性质可得本题答案； （3）证明，利用勾股定理求得，继而得到，，再设，利用相似性质比即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：连接并延长交于点， ， ∵是的中点，， ∴，即， 又过圆心，所以， ∵为圆的切线，为半径， ∴，； （2）解：连接， ∵四边形为圆内接四边形，为四边形的一个外角， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵为圆O的切线， ∴，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， （3）解：∵，过圆心， ∴，， ∴，，， 在中， ∵，， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∵由（2）得，又， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，∴，， ∴． 变式5-3．（2024·上海虹口·三模）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． (1)求的值 (2)如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 【答案】(1) (2)①y关于x的函数表达式为；②当x为时的值最大，最大值为 【分析】（1）连接，先求出的长，可得，，由此可求的长，结合三角形面积公式即可求解； （2）①证明可得，即可求解； ②如图，连接，证明，可得，得到，然后用含x的代数式表示出，最后根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵切半圆于点D， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵， ∴，， ∴； （2）解：①∵为半圆O的直径，，设， ∴， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点G，如图2， ∵， ∴， ∴. ∵P为线段上一点， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； ②连接，如图3， ∵圆周角所对的弧是， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：， ∴当x为时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的应用，求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，准确的作出辅助线是解题的关键． 变式5-4．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 【答案】(1)20 (2)存在， (3)的值为或 【分析】（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则 （2）由，则，即，即，解得：，即可求解 （3）①如图2所示，当时，设，则，则，即，解得：，即可求解； ②如图3所示，当时，，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，由三角函数可求解． 【详解】（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值，圆周角等知识．属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 变式5-5．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 易错陷阱六：圆与三角函数综合出错 一、综合应用要点 在圆中构造直角三角形，利用三角函数求边或角。 二、常见错误情形及原因 （1）未正确构造直角三角形，如错把弦长当直角边，未利用半径或直径。 （2）三角函数值与边的关系混淆，计算错误。 易错提醒 （1）借助圆的性质（如直径所对圆周角是直角）构造直角三角形。 （2）明确三角函数定义，找准对应边与角。 例6．（2024·上海·模拟预测）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点D，过点C作的垂线，交于点E，交于点F，交于点G，交过点A且与平行的直线于点H，连结． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求和的大小； (3)若，，求的长． 【答案】(1)是的切线，见解析 (2)， (3) 【分析】（1）由题意得，，，则，进而可证是的切线； （2）由，，，可得，则，，由，可得，由，可得； （3）设，则，由，可求，由，可得，则，可求，由勾股定理得，，则，，由勾股定理得，，，即，可求满足要求的解为，则，如图，连接，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：是的切线，理由如下； ∵为等腰三角形的外接圆，，延长交于点D， ∴，， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； （3）解：设，则， ∴，即， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 由勾股定理得，， ∴，， 由勾股定理得，， ， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， 如图，连接，设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了外接圆，等腰三角形的性质，切线的判定，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，勾股定理，正切等知识．熟练掌握外接圆，等腰三角形的性质，切线的判定，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，勾股定理，正切是解题的关键． 易错警示： (1)问易错分析 ·等腰三角形性质运用不熟练，不能由推出。 ·切线判定定理应用错误，没有明确是半径，或不能由得出是切线。 (2)问易错分析 ·等腰三角形三线合一及角度计算错误，由推导等角度出错。 ·圆周角定理应用错误，不能根据同弧所对圆周角相等得出。 (3)问易错分析 三角函数及勾股定理计算错误，根据计算边的长度时出错，或利用勾股定理列方程求解边长时失误。 ·方程求解错误，在求解关于和的方程时，出现计算错误，如合并同类项、开方运算错误。 变式6-1．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，是的直径，是的弦且与交于点E（E不与O重合），，点F在弧上，连接交于点H，交于点G． (1)如图1，设为x，为y，求：y关于x的函数解析式及其定义域； (2)如图2，过点B作于点N，交于点M，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点Q，连接并延长交的延长线于点P，若，，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，连接，利用垂径定理证明，推出，再根据圆周角定理得到，设的半径为，设为x，为y，则，则，在中，，求得，则，，即可得到，再根据是的弦且与交于点E（E不与O重合）得到； （2）连接，在上截取，连接，在上截取，连接．证明即可解决问题； （3）如图3中，由可设，，由是重心知， ，求出a值，过点H作于S，过A作于K，求出，从而得出，设，在中，求出t值，得到和，设，在中，利用勾股定理求出m，根据同弧所对圆周角相等得出，在中，求出值，进一步求出的值．. 【详解】（1）证明：如图1中，连接，连接， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 设的半径为，设为x，为y， 则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴，， ∴ ∵是的弦且与交于点E（E不与O重合）， ∴，即， ∴ （2）如图2中，连接，在上截取，连接． ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3中，连接． ， 设，，     由题意知点是重心， ，， 连接， ∵， ∴， ∴ ∴， 即 ∴， ，，， 在中，由勾股定理得， 即 可得， ∴，，，， ∴ 过点H作于S，过A作于K， 则， ∴，， ， 设， ∴， 在中，， 解得：或（舍）， ， ∴， 设，则， 在中，， 解得：或36（舍）， ∴， ， ∵， ∴， 在中，，， ． ∴ 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于压轴题． 变式6-2．（2024·上海普陀·模拟预测）在中，于点D，P是边上（与点A，C不重合）的动点，连接PB交于点M，过C，P，M三点作交的延长线于点N，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若与相切，求此时的半径r； (3)在点P的运动过程中，设线段长为y，圆半径为r，求y关于r的函数解析式及其定义域 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形性质和同弧所对圆周角相等推出，再结合等腰三角形的性质推出，即可求证； （2）连接并延长交于点H，连接，根据，推出，从而得到，证明，得到，再利用同一个三角形面积不变性求解出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出半径； （3）连接，，，作，根据条件推出，利用垂径定理和圆周角定理推出，再利用三角函数即可求得线段MN和半径r之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵ ∴ ∵圆内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图2，连接并延长交于点H，连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴为的垂直平分线，即 又∵与相切，即 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 在中， 在中，， 即：，解得． 当与相切时，的半径r为． （3）如答图3，连接，，，作， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴，， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， 即． 【点睛】本题考查了圆的综合题型，涉及到了等腰三角形的性质、垂直平分线的判定、圆周角定理、平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、同一个三角形的面积不变性、三角函数等知识点，解题的关键是能够正确作出辅助线，熟练运用各知识点． 变式6-3．（2024·上海崇明·模拟预测）如图，是的外接圆，于，交于点， (1)求证：； (2)连结并延长交于点，延长交于，连结交于点，若平分， ①若，，求的长． ②连结，若，，求：关于的函数关系式及其定义域 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）延长交于点，连接，可得，由得，再根据等角的余角相等即可证明结论； （2）①连接，结合（1）的结论先证明，进而可得，，得出是等腰三角形，由等腰三角形三线合一性质得，继而得到垂直平分，证明，，再利用，解三角形即可； ②利用角平分线性质和面积比得出，由，得出，继而求出，再根据比例性质即可得出函数解析式． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即点为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到、的距离相等， 设点到、的距离为，点到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵是的外接圆，， ∴在中，， ∴， ∴关于的函数关系式为． 【点睛】本题考查直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．利用相似三角形的性质和平行线进行等面积变换是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 【答案】D 【分析】本题考查判断点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理等．根据题意先计算出斜边，继而得出，再根据等积法求出，再利用勾股定理求出，再逐一对选项进行分析继而得到本题答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵、分别是斜边上的高和中线， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵是以点为圆心，半径长为2的圆， ∴，， ∴点在圆内、点在圆外， 故选：D． 2．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P在对角线上，以点A为圆心，2为半径长作，以点P为圆心作，如果点C在内而点D在外，并且与外切，那么可以作为半径长的值是（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和点和圆的位置关系，过点作，解题关键是求出、的长，再确定的半径的取值范围即可． 【详解】解：矩形中，，，则，， 由勾股定理可得：， 过点作，则，， 即，， ∴，， 令与交于点，设，则，，， ，， ∴， ∵点C在内而点D在外，并且与外切， ∴，即， ∴， 即的半径的取值范围为：， 故，四个选项中，只有4.5在该范围内， 故答案为：C． 二、填空题 3．（2025·上海徐汇·一模）如图，四边形中，，如果，且，那么的长是 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】延长，过点D作，交的延长线于点H，证明A、B、C、D四点共圆，得出，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：延长，过点D作，交的延长线于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴，（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四点共圆，圆内角四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆内接四边形的判定和性质． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，，，，，点在边上，以为半径的交边于点，当四边形是一个等腰梯形，且与有公共点时，则的半径长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作交于，过点作于点，设，则，所以，证明四边形是平行四边形，则，即，再证明，所以，即，求出，则，然后根据圆与圆的关系即可求解． 【详解】解：如图，作交于，过点作于点， 设， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 即， ∴， 当两圆外切时， ，即（舍去）， 当两圆内切时，，即（舍去），， 即两圆相交时，， ∴与有公共点时，的半径长的取值范围， 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的性质，圆与圆的关系，垂径定理，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知，点A、B在射线上（点A在点O、B之间），半径长为4的与直线相切，半径长为10的与内含，那么的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．先根据圆的切线性质得到，则，根据圆与圆内含，得到，结合点A在点O、B之间即可求解． 【详解】解：设切点为点， 则由题意得，， ∵， ∴， ∵半径长为10的与内含， ∴， ∴， ∴， ∵点A在点O、B之间， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，点是边上的动点，以为圆心，为半径的与边的另一交点为，过点作的垂线，交于点．如果以为圆心，为半径的与有公共点，设的长为，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，分别求出与外切时的值及点与点重合时的值即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，当与外切于点时，连接，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点与点重合时，此时与重合，则， 综上，的取值范围是， 故答案为：． 7．（2025·上海·模拟预测）如图，已知，是正六边形的两条对角线，点，分别为线段，上的点，且有，，若，，三点共线，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查的是正多边形与圆、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 设正六边形中心为，连接交于，连接、，由正六边形的性质可知，直线为正六边形的对称轴，由正多边形性质可得是等边三角形，设正六边形边长为，由正多边形的性质及勾股定理得，作于点，然后由相似三角形的判定与性质可得答案． 【详解】解：设正六边形中心为，连接交于，连接、，作于点， 由正六边形的性质可知，直线为正六边形的对称轴， ，，，， 是等边三角形， 设正六边形边长为， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得负值舍去， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为 ． 【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F，先确定，由勾股定理得，可得，然后根据圆周角定理得到，继而得到点D、E为翻折前后的对应点，然后证明，再由等腰三角形的性质，结合解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F， ∵为直径， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴点E为点D关于的对称点， ∴由翻折得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，难度较大，方法不唯一，解题的关键在于辅助线的添加，合理利用圆的有关性质． 三、解答题 9．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 【答案】(1)的半径为； (2)． 【分析】（1）连接交于点，由垂径定理、含的直角三角形特征推得且，再结合含的直角三角形特征、勾股定理得到，求解即可得到半径； （2）连接、，由圆周角定理推得，解直角三角形求出，由即可得解． 【详解】（1）解：连接交于点， 点为弧的中点，即平分， 且， ，，， ， ， ，， ，， 即， ， 的半径为． （2）解：连接、， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、含的直角三角形特征、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程、圆周角定理、解直角三角形、求正切值，解题关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理． 10．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，⊙和⊙相交于、两点，与交于点，的延长线交⊙于点，点为的中点，，连接．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据，，可判断垂直平分，根据垂径定理的推论可得，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：连接，，， ∵，， ∴，在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 11．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：⊙的直径，⊙与相交于点，D，⊙的直径与⊙相交于点，设⊙的半径为，的长为， (1)如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当点在线段上时，如果的长为3，求公共弦的长； 【答案】(1)y关于x的函数解析式为，定义域为 (2)或 【分析】本题是三角形相似的高难度应用，难度较大，还需要进行分类讨论． （1）连接利用三角形形似推导函数关系式； （2）通过点B向弦作垂线段，利用与的关系，分两种情况点E在上，在上求解． 【详解】（1）解：连接， ∵的直径， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴ ∵, ∴， ∴y关于x的函数解析式为，定义域为； （2）解：作，垂足为M， ∵是的弦， ∴． 设两圆的公共弦与相交于H，则垂直平分． ∴ 当点E在线段上时，， ∴， ∴， ∴． 当点E在线段上时，， ∴ ∴． ∴． 12．（2023·上海闵行·二模）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，连接、． (1)求证：； (2)设点为的中点，连接、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证出，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，同理可得，根据平行线的判定可得，然后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴， 由圆的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：由题意，画出图形如下： ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）已得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、矩形的判定等知识，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键． 13．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心， (1)如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长； (2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）由，，推出，即可证得，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根，即． 答：的长为； （2）解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点， 则，， 设外半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为． 14．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）在中，，点P是边上一点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)以点A为圆心，长度为半径作，交线段于点G． ①如图2，如果点G是的重心，求的值； ②如图3，连接并延长，交边于点D，如果平分，，，求的半径长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②的半径长为 【分析】（1）过点C作于点D，由题意易证，则有，然后可由进行求证即可； （2）①过点A作于点E，由题意易得，，，则可设，则有，，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解； ②由题意易得，则有，过点G作于点Q，连接，然后可得，则有，，进而可得，最后根据相似三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：过点C作于点D，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （2）解：①过点A作于点E，如图所示： ∴， ∵点G是的重心， ∴是的中线，且， ∴，， 设，则有，， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴； ②∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点G作于点Q，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， 即的半径长为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、垂径定理、勾股定理、三角函数及三角形的重心，熟练掌握相似三角形的性质与判定、垂径定理、勾股定理、三角函数及三角形的重心是解题的关键． 15．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知，线段，以为直径作，点C是上一点，D是的中点，分别过D、C两点作于M点，于N点． (1)当点N与O点重合时，求． (2)设．当N在线段上时，求y关于x的函数关系时，并写出x的取值范围； (3)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)为或 【分析】（1）根据题意可得此时，由D是的中点，可得，利用等腰三角形的性质可求出再构建一个含的直角三角形，利用三角形外角的性质结合等腰三角形的性质，利用余切的定义即可解答； （2）连接交于点G，证明，利用勾股定理求出，得到，由，建立关系式化简即可得到关系式，再根据，N在线段上，当重合时，由临界点即可求出x的取值范围； （2）分点N在上和点N在上，两种情况讨论，即可解答． 【详解】（1）解：如图，当点N与O点重合时， ∵，即， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，构建一个含的直角三角形，， ∴， 在上取点，使得，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接交于点G， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴或（无解）， 解得：， ∵N在线段上，当重合时， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， 综上，， ∴y关于x的函数关系为； （3）解：当点N在上时，如图，过点作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 设， 同理（2）得：， ∵， ∴， ∴，即， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 当点N在上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，余切的定义，动点函数关系式，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 16．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图-1，已知扇形的半径为，点是上动点，点是中点，与交于点，点为线段上一点，且，射线交半径于点，设． (1)如图-2，当时，求证：； (2)求的正切值（用关于的代数式表示）； (3)当为以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂径定理推论得到，而，然后得到，再证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据三角形中位线得到，那么，，，则； （3）过点P作平行线交延长线于点E，先确定当为以为腰的等腰三角形时，只有，根据平行线加角平分线得到，可得，则，那么，而，则在中，，而，故设，则，则由勾股定理得，整理得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图： ∵点是中点，过圆心， ∴，点C为中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使得，连接， 由（1）得点C为中点， ∴为中位线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴； （3）解：过点P作平行线交延长线于点E， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴当为以为腰的等腰三角形时，只有， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴设，则， ∴由勾股定理得，， ∴， 整理得，， 解得：（舍负）， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点，正确构造平行线得到相似三角形是解题的关键． 17．（2024·上海虹口·二模）在梯形中，，点E在射线上，点F在射线上，连接相交于点P，．    (1)如图①，如果，点E、F分别在边上．求证：； (2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆O，半圆O与的另一个交点为点G．设与弧的交点为Q． ①当时，求和的长； ②当点Q为弧的中点时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可得证； （2）①过作于，连接，根据锐角三角函数的定义，求出的长，从而求得和的长，根据勾股定理求出的长，从而得到的三角函数值，进而求得的长，然后根据，推出和相似，从而求出的长即可； ②过点作于，根据垂径定理以及勾股定理求出的三角函数值，然后用表示出的长，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ， 又， ， ， ； （2）解：①过作于，连接，如图：   ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ∵为直径， ， ， ， ， ； ②过点作于，连接，如图：   是的中点， ，， ， ， 设， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合运用三角函数的定义、垂径定理、相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定、勾股定理以及平行线的性质等知识点，掌握以上知识点是本题解题的关键． 18．（2024·上海·模拟预测）已知，为的直径，内接于，交于点E，． (1)设：为x，为y，求：y关于x的函数解析式及其定义域； (2)如图2，点F在弧上，连接，，，，点G在上，连接，若，求：的值； (3)如图3，在（2）的条件下，点H在弧上，连接，，分别交，于K，Q两点，，若，，若为和m的比例中项，求m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）连接，由题意易得，设，然后可得，进而问题可求解； （2）连接，令交于点I，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）延长交延长线于点M，由题意易证，，过点F作于T，则，设，，过点A作于N，得等腰，，过点B作于S，得等腰，过点D作，然后根据相似三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵为x，为y，，， ∴； （2）解：连接， ∵为的直径，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴，等腰， ∵， ∴， ∴， ∴， 令交于点I， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交延长线于点M， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∴，， 在四边形中，，， ∴平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，等腰， 过点F作于T，则， ∵，设，， 则，在等腰中，， 设，则， 在中，勾股得 ， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在等腰中，， ∴，， ∴， ， ∴， 在中， 解，可得， 过点A作于N，得等腰，， ∵，设，， 则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 在中，勾股得， 过点B作于S，得等腰， ∴， ∴， 在和中，，， ∴， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， 过点D作， ∴，， 在中，， 在中，， 设，，，勾股得， ∴， 解得，（舍）， ∴，， ，， 解得， ∴，， ∴． ∵为和m的比例中项， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，三角函数的定义，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19．（2024·上海普陀·三模）已知内接于，为的直径，为的中点，连接交于点． (1)如图，求的值； (2)如图，点在上，连接，，，交于点，若，求证； (3)如图，在（）的条件下，点在上，过点作，交于点．，过点作，垂足为，连接，，，点在的延长线上，连接，过点T作，交的延长线于点，若，请直接写出圆半径的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）连接，根据为的中点，可得，再根据中位线定理得出结论； （）连接，先证得，再根据得，根据即可得出结论； （）连接，先证，再证四边形是矩形，过作垂足为S，先证出，再能够证出从而，得到等腰直角，利用三角函数求出，再根据求出，最后用勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：如图，连接， 设， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 过点A作垂足为S， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴圆半径的长． 【点睛】本题是圆的综合题，考查圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、垂径定理、三角函数、勾股定理、圆周角定理等知识，构造辅助线解决问题是解题关键． 20．（2024·上海金山·三模）已知：以为直径的中，弦，垂足为，，． (1)如图，求的周长； (2)如图，为优弧上一动点（不与、、三点重合），为半径的中点，连接，若，弧的长为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)如图，在（2）的条件下，过点作于点，连接，当时，求的长，并判断以为直径的圆与直线的位置关系． 【答案】(1) (2)（） (3)，以为直径的圆与直线的位置关系为相交 【分析】（1）连接，设，则，根据垂径定理，得，利用勾股定理，得，求得x，继而计算的周长． （2）根据，得到，结合为半径的中点，得到，继而得到，，根据，利用弧长公式计算解答即可． （3）当点P在上时，过点M作于点H，过点O作于点G，证明四边形是矩形，，设，结合，得到，利用勾股定理，得，即得；当点P在上时，同理可证． 【详解】（1）解：如图，连接，设，则， 根据垂径定理，得， 根据勾股定理，得， 解得 ∴的周长为． （2）解：∵， ∴， ∵为半径的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据（1）得，， ∴当P与D重合时，， ∴是等边三角形， ∴ ∴． 故，且． （3）解：当点P在上时，过点M作于点H，过点O作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵为半径的中点， ∴， ∴, ∴，； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴； 过点M作于点K， 根据直角三角形的斜边大于任何一条直角边，得， 故满足， ∴以为直径的圆与直线的位置关系是相交． 同理可证，当点P在上时，结论不变，且依然成立． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的应用，直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的应用，直线与圆的位置关系是解题的关键． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错09 圆中的几何综合 易错陷阱一：垂径定理应用错误 一、垂径定理内容 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 二、常见错误情形及原因 （1）对定理条件理解不深，非直径的线段垂直弦时误用垂径定理。 （2）计算弦长、半径等时，未结合勾股定理，或公式运用错误。 易错提醒 （1）牢记定理条件：必须是直径垂直于弦。 （2）计算时，利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解。 例1．（2022·上海·中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 ．（结果保留） 易错警示： 1.垂径定理应用错误：作后，不能正确利用垂径定理得到, 进而在计算长度时出错。 2勾股定理计算错误：在和中运用勾股定理计算和时，出现平方运算、开方运算等错误，导致半径计算错误，最终花坛面积计算错误。 变式1-1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，是以为底边的等腰三角形，点为的外心，连接，交于点．若，则的长为 ． 变式1-2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，半径垂直于弦，垂足为点．如果，那么 ． 变式1-3．（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，长度为的弦与直径交于点，已知，且． (1)求证：； (2)求的半径长． 变式1-4．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，点A、、、在上，，点为中点，点平分，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的半径． 易错陷阱二：圆周角定理及推论混淆 一、圆周角定理及推论 （1）定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 （2）推论：直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等。 二、常见错误情形及原因 （1）混淆推论，如误将圆内非直径的弦所对直角当作直径推论。 （2）计算角度时，未找准同弧对应的圆周角或圆心角。 易错提醒 （1）明确定理和推论的前提条件，仔细辨别角的位置和所对弧。 （2）利用圆周角与圆心角关系时，确保是同弧所对。 例2．已知在中，弦的长等于半径的倍，则弦所对的圆周角为 ． 易错警示： 1.垂径定理及三角函数应用错误：作后，利用垂径定理得到时出错；在计算的值时，边的比例关系对应错误，导致度数计算错误。 2.圆周角定理及圆内接四边形性质应用错误：由利用圆周角定理求时出错；在利用圆内接四边形对角互补求时，逻辑混乱，计算错误，或者遗漏圆内接四边形中另一个圆周角的情况。 变式2-1．如图，在中，弦与半径交于点，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式2-2．如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 变式2-3．如图，点，，在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是 ． 易错陷阱三：圆与圆的位置关系判断出错 一、圆与圆的位置关系及判定方法 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含。设两圆的半径分别为和, 圆心距为, 则： 外离：; 外切：; 相交：; 内切：; 内含：(当时为同心圆)。 二、常见错误情形及原因 1.概念理解错误：对不同位置关系的概念模糊，比如混淆外切和内切的定义，导致判断错误；或者没有考虑到时同心圆属于内含的特殊情况。 2.计算错误：在计算圆心距或者两圆半径时出现失误，进而根据位置关系的数量判定条件得出错误结论。 3.条件运用错误：没有准确使用两圆位置关系的数量判定条件，如在判断相交时，错误地认为只要即可，忽略了还需满足。 易错提醒 (1)牢记圆与圆位置关系的概念和对应的数量判定条件，通过对比记忆加深理解。 (2)计算圆心距和半径时仔细认真，反复检查计算结果。 (3)运用判定条件时，严格按照条件要求逐一核对，确保判断准确。 例3-1．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 易错警示： 1.圆的内切性质运用错误：根据圆与圆内 切求圆心距时出错，对圆内切时圆心距与两圆半径的关系(理解有误。 2.圆与圆位置关系判定错误：计算圆与圆圆心距的 最大值后，与两圆半径之和比较时出错，对圆相交的判定条件运用不当，从而错误判断两圆位置关系。 例3-2．（2023·上海·中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是 ． 易错警示： 1:勾股定理计算错误：在计算和 时，出现平方运算、开方运算失误。 2.圆与圆位置关系不等式建立错误：根据与有公共点建立不等式组时，对两圆位置关系对应的数量关系理解有误，导致不等式列错。 3.二次函数与不等式求解错误：在求解不等式时，解方程出错，或者根据二次函数图象确定不等式解集时出错。 变式3-1．（24-25九年级下·上海徐汇·阶段练习）已知与内切，的半径为2，的长等于6，那么的半径等于 ． 变式3-2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，的外接的半径为5，，点P为BC的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为 ． 变式3-3．（2024·上海浦东新·二模）如图，在中，，，．点D在边上，且，交边于点E，那么以E为圆心，为半径的和以D为圆心，为半径的的位置关系是（  ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 变式3-4．（2023·上海虹口·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 易错陷阱四：切线性质与判定出错 一、切线性质与判定 （1）性质：切线垂直于过切点的半径。 （2）判定：经过半径外端且垂直于该半径的直线是切线。 二、常见错误情形及原因 （1）判定切线时，遗漏 “半径外端” 条件，仅知垂直于半径就判定。 （2）运用性质时，未确定切点与半径的对应关系。 易错提醒 判定切线严格满足 “过半径外端且垂直”；运用性质时，先找切点与半径。 例4．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径与线段的长． 易错警示： 1. 等腰三角形及圆的性质运用错误：由推导, 以及由推导时出错，对等腰三角形等边对等角性质理解不深；在利用这些角的关系推导时，逻辑不清晰。 2. 切线判定定理应用错误：证明后，对圆的切线判定定理 （经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)理解有误，没有明确是半径这一条件，导致不能正确得出是的切线。 变式4-1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，是的直径，弦与相交于点E．点D为的中点，过点D作，交的延长线于点F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 变式4-2．（2024·上海嘉定·三模）如图，是的直径，连接交于点，连接、，使得． (1)试判断与的位置关系并说明理由 (2)若点是的中点，与交于点，求证：． 变式4-3．（2024·上海·模拟预测）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 易错陷阱五：圆与相似三角形综合出错 一、综合应用要点 利用圆中圆周角相等、弧相等推导角的关系，进而判定相似三角形。 二、常见错误情形及原因 （1）找相似三角形时，对应角、边关系错乱，如忽略圆周角对应顺序。 （2）列比例式时，未按相似三角形对应边成比例计算。 易错提醒 （1）仔细分析圆中角的关系（如同弧所对圆周角相等），确定相似三角形对应元素。 （2）列比例式后，检查对应边是否匹配。 例5．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 易错警示： (1)问易错分析 1.等腰三角形性质运用不熟练，角的等量代换出错，不能顺利推出。 2.对三角形中位线判定及性质理解有误，无法正确判定是中位线并推出. (2)问易错分析 1.角的等量关系梳理不清，不能准确证明。 2.利用勾股定理和相似三角形性质列方程求解时，计算错误，如方程求解出错。 (3)问易错分析 1.对等腰三角形以为腰的分类讨论不全或情况分析错误。 2.相似三角形判定和性质运用混乱，对应边比例关系找错，计算时出错。 变式5-1．（2024·上海·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一点，且BC：CA=2：1，连接OC并延长交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，则圆心O到弦AB的距离为（　　） A． B． C． D． 变式5-2．如图1，是圆O的直径，点C在圆O上，点D是的中点，，的延长线交于点E，为圆O的切线，交于点F，． (1)证明：； (2)若，设，，求； (3)如图2，延长与交于点N，若，，求的长． 变式5-3．（2024·上海虹口·三模）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． (1)求的值 (2)如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 变式5-4．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 变式5-5．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 易错陷阱六：圆与三角函数综合出错 一、综合应用要点 在圆中构造直角三角形，利用三角函数求边或角。 二、常见错误情形及原因 （1）未正确构造直角三角形，如错把弦长当直角边，未利用半径或直径。 （2）三角函数值与边的关系混淆，计算错误。 易错提醒 （1）借助圆的性质（如直径所对圆周角是直角）构造直角三角形。 （2）明确三角函数定义，找准对应边与角。 例6．（2024·上海·模拟预测）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点D，过点C作的垂线，交于点E，交于点F，交于点G，交过点A且与平行的直线于点H，连结． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求和的大小； (3)若，，求的长． 易错警示： (1)问易错分析 ·等腰三角形性质运用不熟练，不能由推出。 ·切线判定定理应用错误，没有明确是半径，或不能由得出是切线。 (2)问易错分析 ·等腰三角形三线合一及角度计算错误，由推导等角度出错。 ·圆周角定理应用错误，不能根据同弧所对圆周角相等得出。 (3)问易错分析 三角函数及勾股定理计算错误，根据计算边的长度时出错，或利用勾股定理列方程求解边长时失误。 ·方程求解错误，在求解关于和的方程时，出现计算错误，如合并同类项、开方运算错误。 变式6-1．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，是的直径，是的弦且与交于点E（E不与O重合），，点F在弧上，连接交于点H，交于点G． (1)如图1，设为x，为y，求：y关于x的函数解析式及其定义域； (2)如图2，过点B作于点N，交于点M，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点Q，连接并延长交的延长线于点P，若，，，请直接写出的值． 变式6-2．（2024·上海普陀·模拟预测）在中，于点D，P是边上（与点A，C不重合）的动点，连接PB交于点M，过C，P，M三点作交的延长线于点N，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若与相切，求此时的半径r； (3)在点P的运动过程中，设线段长为y，圆半径为r，求y关于r的函数解析式及其定义域 变式6-3．（2024·上海崇明·模拟预测）如图，是的外接圆，于，交于点， (1)求证：； (2)连结并延长交于点，延长交于，连结交于点，若平分， ①若，，求的长． ②连结，若，，求：关于的函数关系式及其定义域 一、单选题 1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 2．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P在对角线上，以点A为圆心，2为半径长作，以点P为圆心作，如果点C在内而点D在外，并且与外切，那么可以作为半径长的值是（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 二、填空题 3．（2025·上海徐汇·一模）如图，四边形中，，如果，且，那么的长是 （用含的式子表示）． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，，，，，点在边上，以为半径的交边于点，当四边形是一个等腰梯形，且与有公共点时，则的半径长的取值范围是 ． 5．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知，点A、B在射线上（点A在点O、B之间），半径长为4的与直线相切，半径长为10的与内含，那么的取值范围是 6．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，点是边上的动点，以为圆心，为半径的与边的另一交点为，过点作的垂线，交于点．如果以为圆心，为半径的与有公共点，设的长为，那么的取值范围是 ． 7．（2025·上海·模拟预测）如图，已知，是正六边形的两条对角线，点，分别为线段，上的点，且有，，若，，三点共线，则 ． 8．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 10．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，⊙和⊙相交于、两点，与交于点，的延长线交⊙于点，点为的中点，，连接．求证：； 11．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：⊙的直径，⊙与相交于点，D，⊙的直径与⊙相交于点，设⊙的半径为，的长为， (1)如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当点在线段上时，如果的长为3，求公共弦的长； 12．（2023·上海闵行·二模）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，连接、． (1)求证：； (2)设点为的中点，连接、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形． 13．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心， (1)如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长； (2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 14．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）在中，，点P是边上一点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)以点A为圆心，长度为半径作，交线段于点G． ①如图2，如果点G是的重心，求的值； ②如图3，连接并延长，交边于点D，如果平分，，，求的半径长． 15．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知，线段，以为直径作，点C是上一点，D是的中点，分别过D、C两点作于M点，于N点． (1)当点N与O点重合时，求． (2)设．当N在线段上时，求y关于x的函数关系时，并写出x的取值范围； (3)当时，求的长度． 16．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图-1，已知扇形的半径为，点是上动点，点是中点，与交于点，点为线段上一点，且，射线交半径于点，设． (1)如图-2，当时，求证：； (2)求的正切值（用关于的代数式表示）； (3)当为以为腰的等腰三角形时，求的值． 17．（2024·上海虹口·二模）在梯形中，，点E在射线上，点F在射线上，连接相交于点P，．    (1)如图①，如果，点E、F分别在边上．求证：； (2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆O，半圆O与的另一个交点为点G．设与弧的交点为Q． ①当时，求和的长； ②当点Q为弧的中点时，求的长． 18．（2024·上海·模拟预测）已知，为的直径，内接于，交于点E，． (1)设：为x，为y，求：y关于x的函数解析式及其定义域； (2)如图2，点F在弧上，连接，，，，点G在上，连接，若，求：的值； (3)如图3，在（2）的条件下，点H在弧上，连接，，分别交，于K，Q两点，，若，，若为和m的比例中项，求m的值． 19．（2024·上海普陀·三模）已知内接于，为的直径，为的中点，连接交于点． (1)如图，求的值； (2)如图，点在上，连接，，，交于点，若，求证； (3)如图，在（）的条件下，点在上，过点作，交于点．，过点作，垂足为，连接，，，点在的延长线上，连接，过点T作，交的延长线于点，若，请直接写出圆半径的长． 20．（2024·上海金山·三模）已知：以为直径的中，弦，垂足为，，． (1)如图，求的周长； (2)如图，为优弧上一动点（不与、、三点重合），为半径的中点，连接，若，弧的长为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)如图，在（2）的条件下，过点作于点，连接，当时，求的长，并判断以为直径的圆与直线的位置关系． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$