第五章 图形的轴对称（单元重点综合测试A卷，北师大版2024）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第五章 图形的轴对称（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．正方形的对称轴有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．8条 3．如图，在ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD 4．如图，平分，在上取一点P，过P作，若，则点P到的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（   ） A．在，两边高线的交点处 B．在，两边中线的交点处 C．在，两边垂直平分线的交点处 D．在，两内角平分线的交点处 6．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C． D．5 7．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点在同一直线上，已知的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 10．如图，在中，，平分交于D，若，，则点D到边的距离是 ． 11．如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点．下列结论：①；②；③；④，其中说法错误的是 ． 12．如图，把图中的一个白色方格涂黑，和原来的两个黑色方格恰好构成一个轴对称图形的概率是 ． 13．如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 15．（5分）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．若的周长为18，求的长． 16．（5分）已知：如图，，点E在上，求证：． 17．（5分）如图，在中，，，请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得与的周长之差为．（不写作法，保留作图痕迹） 18．（5分）如图，点都在的方格纸的格点上，若该方格纸上还有一格点，使得格点能组成一个轴对称图形，画出满足条件的格点． 19．（5分）如下图，在中，，平分，，，的面积为．求的长． 20．（6分）如图，若凹四边形中，，则称凹四边形为“箭头形”．请根据“箭头形”的图形特征，解答下面两个问题：    (1)“箭头形”是___________对称图形； (2)与是否相等？请说明理由． 21．（6分）如图， 在长方形纸片中，M 为边的中点，将纸片沿、折叠，使点A落在点处，点D落在点处．若， 求的度数 22．（6分）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的． (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴． (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴． 23．（6分）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 24．（7分）如图，在正方形网格中，画出与成轴对称的三角形．    25．（10分）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】 （1）试说明：； 【问题探究】 （2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 26．（10分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解． 如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）． (2)性质探究． 如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． (3)拓展应用． 如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为 ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 图形的轴对称（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是找出对称轴从而判段是否是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，对各选项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意； B、不是轴对称图形，本选项不合题意； C、是轴对称图形，本选项符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不合题意． 故选：C． 2．正方形的对称轴有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．8条 【答案】C 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念并找全对称轴． 根据轴对称图形的概念找全对称轴即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知， 正方形的对称轴一共有4条． 故选：C． 3．如图，在ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD 【答案】C 【知识点】等边对等角、根据三线合一证明 【分析】利用等腰三角形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，故本选项正确，不符合题意； B、∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，故本选项正确，不符合题意； C、∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，而无法得到∠BAD＝∠CAD＝∠C，故本选项错误，符合题意； D、∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD，故本选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4．如图，平分，在上取一点P，过P作，若，则点P到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，在上取一点P，过P作，， 则：点到的距离等于，点到的距离等于点到的距离， ∴点P到的距离为； 故选B． 5．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（   ） A．在，两边高线的交点处 B．在，两边中线的交点处 C．在，两边垂直平分线的交点处 D．在，两内角平分线的交点处 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决问题的关键． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在，两边垂直平分线的交点处． 故选：C． 6．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意可得，由作图可得平分，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：在中，，过点作于点，如图， ∵， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴点到的距离为4， 故选：B． 7．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】设计轴对称图案 【分析】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示： ． 故选D． 8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点在同一直线上，已知的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余、折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质，直角三角形两锐角互余，理解折叠的性质，掌握角度的和差计算是关键． 由折叠得，，，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得，，，， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 【答案】/30度 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查成轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据成轴对称的两条图形的对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，平分交于D，若，，则点D到边的距离是 ． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．首先得出，然后利用角平分线的性质可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，平分， ∴D到边的距离． 故答案为：6． 11．如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点．下列结论：①；②；③；④，其中说法错误的是 ． 【答案】② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，全等三角形的性质与判定，由轴对称的性质即可得①④正确，再证明可得③正确，由现有条件无法证明②，据此可得答案． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴正确的有①③④，错误的有②， 故答案为：②． 12．如图，把图中的一个白色方格涂黑，和原来的两个黑色方格恰好构成一个轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【知识点】设计轴对称图案、根据概率公式计算概率 【分析】由在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有14种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 本题主要考查了利用轴对称设计图案，概率公式的应用，概率=所求情况数与总情况数之比，同时也考查了轴对称的定义． 【详解】解：由题意可得，共种等可能情况，其中构成轴对称图形的有如下10种情况： 所以概率 故答案为： 13．如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，将则的周长的最小值转化为的长是解题的关键．连接，由是的垂直平分线，得点A与C关于对称，则最小值为的长，且为定值，再运用面积即可求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴点A与C关于对称， ∴， 此时，最小值为的长， ∵，点G为的中点， ∴， ∵的面积为20， ∴， ∴， ∴的最小值为8， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【答案】对应角是和和和．对应线段是和和和 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的角叫对应角，能够重合的线段叫对应线段． 【详解】解：对应角是和和和．对应线段是和和和． 15．（5分）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．若的周长为18，求的长． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：是边的垂直平分线，， ， 的周长为18， ， ， ． 16．（5分）已知：如图，，点E在上，求证：． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知． 【详解】解：∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 17．（5分）如图，在中，，，请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得与的周长之差为．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关作图和性质是解题关键． 作的垂直平分线，交于点，得，将与的周长之差变形为即可求解． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点， 的周长为，的周长为，且， 的周长与的周长之差为． 点为所求． 18．（5分）如图，点都在的方格纸的格点上，若该方格纸上还有一格点，使得格点能组成一个轴对称图形，画出满足条件的格点． 【答案】见详解 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 分别以的垂直平分线，所在直线，所在直线为对称轴，即可得到满足条件的所有点的位置． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 19．（5分）如下图，在中，，平分，，，的面积为．求的长． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式得到，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 平分，，， ． ， ， ， ， 解得：． 20．（6分）如图，若凹四边形中，，则称凹四边形为“箭头形”．请根据“箭头形”的图形特征，解答下面两个问题：    (1)“箭头形”是___________对称图形； (2)与是否相等？请说明理由． 【答案】(1)轴 (2)；理由见解析 【知识点】等边对等角、轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． （1）根据轴对称的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行判断即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质，得出，，求出，即可得出答案即可． 【详解】（1）解：“箭头形”是轴对称图形； （2）解：，理由如下： 连接，如图所示：    ∵， ∴，， ∴， ∴． 21．（6分）如图， 在长方形纸片中，M 为边的中点，将纸片沿、折叠，使点A落在点处，点D落在点处．若， 求的度数 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，平角的定义计算即可． 【详解】解：∵长方形纸片中，M边为的中点，将纸片沿、折叠，使点A落在点处，点D落在点处，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（6分）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的． (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴． (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴． 【答案】(1)是，图见详解； (2)有四种，图见详解． 【知识点】轴对称图形的识别、设计轴对称图案、画对称轴 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，解答本题的关键是掌握轴对称的定义，难点在第二问，注意不要漏解． （1）根据轴对称图形的概念，可得此图为轴对称图形，然后画出对称轴即可． （2）只要满足移动之后是轴对称图形即可，注意不要遗漏． 【详解】（1）解：该图是轴对称图形，对称轴如图所示： （2）解：共有四种方法，如图所示： 23．（6分）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，，运用角角边即可求证； （2）根据全等的性质，线段和差得到，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 24．（7分）如图，在正方形网格中，画出与成轴对称的三角形．    【答案】见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义解答即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：如图，    25．（10分）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】 （1）试说明：； 【问题探究】 （2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 26．（10分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解． 如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）． (2)性质探究． 如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． (3)拓展应用． 如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】(1)是 (2)见详解 (3)或或． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS）、等边对等角、折叠问题 【分析】（1）根据“筝形”的定义判断即可； （2）结论：（答案不唯一）．利用全等三角形的判定和性质证明即可； （3）①根据“筝形”的定义判断即可；②分三种情形：，，，分别求解可得结论． 本题属于四边形综合题，考查了新定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和，翻折变换等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 四边形是“筝形”． 故答案为：是； （2）解：结论：（答案不唯一）． 理由：如图，连接． ，， ． ； （3）解：∵折叠， ，，， ， ∵是锐角的高， ， ， 当时， ， ， ， ， 当时，则， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是锐角的高， ∴； 当时，则， ∴， ∵折叠， ∴ ∵是锐角的高， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或或． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$