四川省达州市万源市万源中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

数学试卷 第 1页 数学试卷 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 2. 已知复数 z 满足  i 3 iz   ，其中 i为虚数单位，则 z 的实部是（） A. 1 B. 3 C. -1 D. -3 4. 若 是函数 的导数，且 ，则 （ ） A. －2 B. 1 2 C. 1 2  D. 2 6. 设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，若 3 4S  ， 4 5 6 6a a a   ，则 9 6 S S （ ） A. 9 5 B. 19 10 C. 4 3 D. 19 6 7. 函数 2 ( ) x x xf x e   的大致图象是 A. B. C. D. 8．已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f′(x)，当 x>0 时，xf′(x)>f(x)．若 a＝ f（－log23） －log23 ， b＝ f（log46） log46 ，c＝ f sin π 8 sin π 8 ，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a 二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.已知圆锥曲线 C： ，若三个数 1， ，7成等差数列，则 C 的离心率为 A. B. C. D. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数 f(x)＝x(x－c)2在 x＝2 处有极大值，则 c＝________． 13．若曲线 y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是________．  f x     0 lim 2x f a x f a x       f x   1f a   f + 高二下学期 数学试卷 第 2页 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分 13 分) 函数 f(x)＝ln x＋ln (2－x)＋ax(a>0)． (1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在(0，1]上的最大值为 1 2 ，求 a 的值． 数学答案 1-8 BCAC BADC 9.BC 10.BD 11.BCD 12.6 13.(-,-4)U(0,+) 14.4 11.【答案】BCD 【详解】圆C:(x-)^}+(y-1*}=4的圆心C(1,1),半径r=2,连接P$C, 对于B,点O在圆C上,则PQ=d-r=22-2,B正确; 对于C,由切线长定理知,APB=2乙APC,而sin/APC-lAC|22- #PC C#2 当且仅当PC1/时取等号,因此<APB的最大值为",C正确; 对于D,设P(t.6-t),则以PC为直径的圆的方程为(x-1)(x-t)+(y-1)(y+1-6)= 即x②}+y2-(t+1)x+(t-7)y+6=0 与已知圆的方程相减可得直线AB的方程为(1-t)x+(t-5)y+8=0即(x-5y+8)-1(x-y)=0 [x-5y+8-0 可得 x=2 由) 直线AB过定点(2.2),故D正确 lx-y=0 #2 故选:BCD 士a. 当a=1时,f(x)=-2+ r2-x ,_ x(2-x) 令/(x)-0,得x-2. 当02时,/(x)>0;当2<2时,f(x)<0 所以f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(\2,2). 2-2x (2当xE(0,1]时,/(x)= x(2-x) +a>o,即fx)在(0,1]上单调递增,故 fx)在(0,1]上的最大值为 f1)=a,因 此! 2 , 16.(本小题满分15分) 已知等差数列{a.)的前n项和为S,公差d幸0,且S.+S=50,a,a,a;成等比数列 (I)求数列a.)的通项公式; 解:(I)依题意得 3a.2 3x2 2d+5a.+4 4x5 2 2 2d-50 .......................................分 (a.+3d)}=a.(a.+12d) f=3 解得 ......................... d=2' '= +(n-1)=3+2(n-1)=2n+1, 即=2n+1. ...............-7分 (II) 。 ................................. 法一:T.=3+53+7.32+...+(2n+1):3--1 3T.= 3.-3.+5-3+7.3+..+(.22n-1).31+(.2+1).3”........-10分 -2T.=3+2:3+2.3+..+2:3”-1-(2n+1)3” =3+2.3(1-3-~) -(2n+1)3” 1-3 --2n:3” .T-n·3” .................... 法二:T.->(2k+1)-3=[k3*-(k-1)-3*]=n3” .................... 17.解:(1)抛物线C:y②=16x的焦点坐标为(4,0),(1分) 则 AF -AF$1=10-6=4=2a,则a=2,(5分) 而c=4,故6-c2-a2=12,(6分) (2)显然直线/的斜率存在,否则直线/与双曲线C无交点;(8分) 设直线/的方程为y=x+1. [y=x+1, 联立。 13x2-2-12=0, 则3x-(x+1)2-12=0 故(3-k)x*-2k-13=0,(10分) 若3-h=0.解得h=+3,此时直线/与双曲线C'仅有1个交点;(12分 213.(14分) 2.(15分) 18.(1)取F为PD三等分点,且PD=3DF,过F作FK//CD, .................... 3 又AF2面PEC,EKC面PEC, 所以....y........... .6分 (2)由题意平面PAD1.底面ABCD,平面PADo底面ABCD=AD,CD1AD. CDc平面PAD,所以CD1.面PAD, ..................... 所以直线CF与平面P4D所成角的平面角为/CFD. 在Rt△CDF中,由tan2CFD-CD-3. 设AD中点为O,设BC中点为O,分别以OA,00,OP为x,y,2轴建立空间直角坐标系 则4(3.0.0),B(3,6,0)C(-3,6.0),F(-1,0.23).4F=-4.0,2).CF=(2.-6.2) 设平面AFC的一个法向量为=(x,y,z) [nAF--4x+232-0 由 取x-3,可得-(3,3,2) CF-2c-6+22=-0 易求平面ABC法向量ni-(0.0.1),设平面ABC与平面AFC夹角为6e(02). 故平面ABC与平面AFC夹角的余弦值为10 ....................... 5 19. (1)当n=1时,a=S=2a-4,则a=4, ............... 当n2时,a.=S.-S..a.-2a=2” (n+3).2” (2) 数列《点】的前和,.-()_ a ..................10分 #=log 2"=n, (3)C.=log n+1 2 '#k+1+kC=k=k+k^k+k-1# .#2(k+1-)<1<2(-k-1 .........1.分. ####C0#