【轮轮清·高考模拟试卷】2025年名校协作体高三二模数学试卷

名校协作体高三第二次模拟考试 ·数学· 季专含亲及解折 名校协作体高三第二次模拟考试·数学 一、选择题 0,∫(x)单调递减.当x<0,且x≠一1时， 1.C【解析】由1og,z-1)≤1，得-12，解 x-1>0, fe)则f)=当x 得1<x≤3，所以N={x|1<x≤3}，CRN= (-∞，-1)U(-1,0)时，f'(x)>0,f(x)在 {x|x>3或x≤1)，则M∩(CRN)={x|-4< 区间（一∞，一1），（一1,0）上单调递增.又 x≤1}. f(0)=0,所以f(x)在区间(-∞，一1)，(-1， 2.B【解析】由a4一a2=ag一a1,得a4一a=a2 1)上单调递增，在区间(1，十∞)上单调递减.因 a1.令a4-a8=a2-a1=d,则当a:-a2=d 为f(x)在区间(a,2a+2)上单调递增，所以 时，a1,a2,aa,a4成等差数列；当a一a2≠d 1a<2a+2, a<2a+2, 时，a1,a2,a3,a4不成等差数列.反之，若a1, 或{2a+2≤1，解得-2<a≤ 2a+2≤-1 az,ag,a4成等差数列，则a4一ag=a3一a1,所 a≥-1， 以“a4一a2=ag一a1”是“a1,a2,aa,a4成等差 3 数列”的必要不充分条件， 或-16a≤- 7.B【解析】设C的焦距为2c,因为C的离心 3.c【解析】sin(2a-不)=cos[-(2a 率为 】=cos(-2a）=cos2(a-0) 四，所以-四，即c-受。设 |MF:|=m,则|MF,|=2a+m.因为MN· 2or(。}-1=2x号1=品 7 MF=0,所以MN⊥MF1,则(2a十m)2+m2= 4.A【解析】由题意知圆C,与圆C2外切，所以 4c2,所以(2a+m)2+m2=10a2,即m2+ r=2.因为圆C覆盖圆C1,C2,设点P,Q分别 2am-3a2=0,解得m=a或m=-3a(舍去). 在圆C1,C2上运动，则|PQ|的最大值为6，所 设NF2|=n,则|NF,|=2a+n.在△F:MN 以当圆C的直径为6时，恰好覆盖圆C1,C:, 中，IMF,I-3a,|NF1|=2a+n,|MN| 所以圆C面积的最小值为S=9π. a十n,所以(a十n)2+9a2=(2a十n)2,解得 5.C【解析】因为(2√3)2=（√2x2+y2+ A-3a,所以∠MF,N--铝-台 √x+5y)2≤2[(2x2+y2)+(x2+5y2)]= 8.D【解析】令x=y=0,则f(0)=f(0)+ 66+2),所以r+2y≥2，即号+y≥1，当 f(0)一0十2，解得f(0)=一2，故A正确；由 f(1+1)=f(1)+f(1)-1+2=3,得f(1)= 且仅当2x+y2=2+5y,即=专y2=号 1.由f(1-1)=f(1)+f(-1)+1+2=-2, 解得f(一1)=一6，故B正确；由f(x一x)= 时，等号成立，所以号+y>的最小值为1. f(x)+f(-x)+x2+2=-2,得f(x)+ f(-x)=-x2-4≤-4，故C正确：由f(n+1) 6.D【解析】当x>0时，f(x)=1十立，则 f(1)+f(n)-n+2,得f(n+1)-f(n)=-n+3, 1-x2 f(x)=d+当x∈0,1)时，f'(x)>0, 利用累加法可得f0)=一子+子A-2,故 f(x)单调递增：当x∈(1，十∞)时，f'(x)< D错误， ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 A1B=B,所以AC1⊥平面A1BD.又AC1C 9.AB【解析】设z=a十bi(a,b∈R),则a2+b2= 平面APC1,所以平面APC1⊥平面A1BD,故 1,2=a-bi,之-a+6ia2+b =a-bi A正确.对于B,因为四面体A,-BDC,的外接 球即为正方体ABCD-AB1CD1的外接球， 1 a+bi a-ia2+6=a+bi,所以x+1 =2a,为实 BD1为外接球的直径，且易求得BD1=23, 则球O的表面积为12π，故B错误.对于C,因 数，故A正确z十三=2a,为实数，放B正确z十 为AD1∥BC1,所以异面直线A,P与AD1所 1=2a-2b1,不一定为纯虚数，故C错误1z十 成的角即为∠A1PB(或其补角).连接AC:, A1B,可得△A,BC1为等边三角形.当点P在 是-2a+261,不-定为纯虚数，放D错误。 点B或点C,处时，A,P与BC,所成的角最 10.BCD【解析】因为am+1a.=2(ae一aw+1),所 小，且为受：当点P在BC中点处时，AP与 以-受期当≥2时品号 az a 2 BC,所成角最大，且为受，所以A:P与BC, 1-1=2.1-131 1 asa2'aa4-2…d an an-1 所成角的取值范围是[子，】，故C正确对 2,等式两边分别相加，得】一1=1 n-1 a。a1 2 于D,直线PE与直线CD所成的角是，即 2 4 ∠PEB=F又易知∠PBE=2,AB=2, n一n十4当n=1时，也满足上式，所以a, 4 BE=1,所以PB=√3，所以点P的轨迹是以 B为圆心，3为半径的圆弧的四分之一，所以 n-n十4故A错误.S+1一S。=a中1= 4 点P的轨迹长度为，故D正角。 n+n十4>0，故B正确.因为f(x)= 4 三、填空题 x-x+4在区间[1，+∞)上单调递减，所以 4 12.±， 【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,即 {a.}是递减数列，故C正确.当n=1时，S1 (2m+1)m-(m+1)=0,即2m2=1,解得 41=1:当n≥2时，a,=n-n十4n-元 4 4 4(n马)所以s,=a1十a+…+a,< 13.10080【解析】将前后3人看成一组，相当于 9名同学平均分成3组，每一组的3人站队方 1+1-+号+…+- 法只有一种，所以不同的安排方案共有 CA好=10080种. 1+41-)=5-年则s.≤5-年，放D 14. 2 【解析】由图象知f(0)=si血9=2·因 正确. 11.ACD【解析】对于A,连接AC,则AC1 为p<登即一<p<受，所以g=由 BD,CC1⊥平面ABCD.因为BDC平面 ABCD,所以CC1⊥BD.因为AC∩CC1=C, 2x>5>1x2匹 2>6> 4@ 所以BD⊥平面ACC1.又AC1C平面ACC1, 题意得 解得w= 所以AC1⊥BD.同理可得AC1⊥A1B.又BD∩ 后+音=2kx十，k∈Z, 6 ·2 名校协作体高三第二次模拟考试 ·数学· 1,所以f(x)=si(x+）作出f(x)= 在△ABD中，sin∠ABD=sin(∠BAD+ sin(r+)在区间[o,]上的图象，如图所 120°)=- zsin∠BAD-+ 2coS∠BAD= 2π 2×阿+×29- 7 2 7 14 (5分) 示由题意得 x2十x3= 8解得-语所 3 在△ABD中，由正弦定理得 AB sin∠ADB= ix=xi, AD ,即AB 1 ,解得AB=√万. 以m:+）=n(管+)=n暂- sin∠AB √3 V21 2 14 3 (7分) 2 (2)由D为边BC的中点，得S△ADc= SA. Ox1π5m 4π 36 又∠CAD=90,所以AD·AC=2AC·AB· 四、解答题 sm(∠BAD+90)=2AC·AB·cos∠BAD. 15.解：(1)由f(x)=(x+1)e- 3x3 2x+ 1 (11分) 2x,得f(0)=1,f'(x)=(x+2)e-x2 x+2=(x+2)(e-x+1), 将AD=1,os∠BAD=2代人上式，得 所以f'(0)=4, AB=√7. (12分) 则切线方程为y一1=4(x一0)， 故曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方 因为SA=2SaAm,所以SaAc=2·号AB: 程为4x一y十1=0. (5分) (2)令g(x)=e-x,则g'(x)=e-1. 当x<0时，g'(x)<0: AD·m∠BAD=2X号X7X1x-后， 当x>0时，g'(x)>0, 即△ABC的面积为√5」 (15分) 所以g(x)在区间（一∞，0）上单调递减，在区 17.解：(1)设六棱锥P-ABCDEF的高为h, 间(0，十∞)上单调递增， 则V三棱繁CpcF=V三能装G-cpF= XS△cDFX 所以x=0是g(x)的极小值点，也是最小 3 值点， 1 即g(x)≥g(0)=1,从而e-x+1≥2>0， 2h-6SAcoh, (9分) V三旋新PGP=V三俊D-PF=V三旋每DGEn 所以当x<-2时，f'(x)<0: 1 V三棱锥G-DEF= 1 当x>-2时，f'(x)>0, 故f(x)的单调递诚区间为（一∞，一2），单调 (4分) 递增区间为（一2，十∞）. (13分) 因为CF∥DE,CF=2DE, 16.解：(1)由∠ADC=60°，得∠ADB=120°. 所以SACDE=2S△DEr, 由s∠BAD-2.得∠BAD= 所以V三校cDGF:V三酸维PDaF=2:1, 7· 故三棱锥CDGF与三棱锥P-DGF的体积之 (2分) 比为2：1. (6分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 (2)连接AE与FC交于点H,则H为AE的 m·n √5h 中点，连接GH,如图。 所以|cos(m,n)l=mn√3h+h+9 又G为PE的中点，所以GH∥PA. √39 因为PA⊥底面ABCDEF, 13,解得-1， 所以GH⊥底面ABCDEF, 即PA=1. (15分) 又AEC底面ABCDEF,所以AE⊥GH. 18.解：(1)设事件A=“甲抢到题”，A1=“甲抢到 又AE⊥FC,GH∩FC=H,GH,FCC平 题并答对”，A,=“甲抢到题并答错”，B=“乙 面GCF, 抢到题”，B1=“乙抢到题并答对”，B1=“乙 所以AE⊥平面GCF. (8分) 抢到题并答错”， (2分) 由PA⊥底面ABCDEF,AB⊥AE,得AE, C=“甲先得1分”，则C=(AA)U(BB1), AB,AP两两垂直. 所以P(C)=P(AA,)+P(BB1)=P(A)· 以A为坐标原点，A正，AB,AP的方向分别 为x轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐 PA,1A)+P(B)P(B,IB)=号×3+号X 2×4+2 标系. 15 28 (5分) (2)继续进行的比赛为独立重复试验，且甲得 1分的概率为P(C)= 8,则乙得1分的概率 为P©-骨 (6分) X的所有可能取值为2,3， 则P(X=2)=C号P2(C)+C号P2(C)= c(+c()-品 (8分) 设PA=k,则A00.0,E5,00,c停， P(X-3-CP(C)P(C-2X X8=32 (9分) 所以X的分布列为 所以C-(停），G-(o,)正 X 2 3 (5,0,0) P 7 1 设平面GAC的法向量为n=(x,y,z), 32 32 3 则·A心=0， 2x+2y=0, 故E(X)=2X +×品-品 (12分) in.AG=0, h0. (3)乙获胜的概率比甲大，理由如下： 2x+2 设事件D=“乙先得2分”，E=“乙获胜”， 3 令x=√3h,得y=-h,z=-3,则平面GAC 由(2)，得P(D)= ( × .(14分) 的一个法向量为n=(W3h,一h,一3).(11分) 事件DE包括乙先得2分的情况下，乙再得 由AE⊥平面GCF,得平面GCF的一个法向 1分、甲得1分乙再得1分、甲连续得2分乙 量为m=(1,0,0), (12分) 再得1分， 。4 名校协作体高三第二次模拟考试 ·数学· 所以P(DE)=()'x8+(餐}'× -x (2)(1)由(1)知，A.,B.,C,分别为线段 Bn+1Cm+1,A+1Cm+1,Am+1Bm+1的中点， +(0)×()×g 所以△Am+Bm+1C+1D△A.BCm, P(DE) +×+ 3 v年7 所以P(E|D)= B.C A,C, P(D) 则1 故数列(S.》是公比为4的等比数列.(9分) 故乙获胜的概率比甲大， (17分) (i)A+(zo,),B.(1,1),C.(2, 19、证明：《1)由题意得+少 = y2),则切线A+1B。,A+1C。的方程分别为 tiz yiy 必要性：T。在点A.(xo,y。)处的切线方程为 62=A品 rox yoy a2人 b2 =λ， 将A+1(xy)代入，得1正+y=, a2 62 roI yoy a87 62=, x2x+y0=λ， a2 b2. 联立 +- 得λx2-2λxox十 所以直线B.C,的方程为。+ 62=A. a'x:-a'aitiyi (11分) b2 0. 因为切点B。,C。分别为线段Am+1Cm+1, 设Bn+1(x1,y1),Cm+1(x2y2),则x1十x2= A.+1Bm+1的中点， 2xo,故A。为Bm+1Cm+1的中点. (2分) 所以Cm+1(2x1-x0,2y1-y0),Bw+1(2x2 充分性：当A。为Bm+1Cm+1的中点时，设 x0,2y2-yo). 而线段B。+1C。+1的中点为A。,则A。(x1十 A.Be+i=-A.Cn+1=(m,n)(m≠0)， x:-xo,yI+y2-yo). 则B.+1(xo十m,yo十n),Cm+1(x0一m,y0 n),分别代入T.+1的方程， 由点A,在.上，得十：x) 得十m)》y+n) a2 62 =入2+1， (y1+y2-yo)2 =, (x。-m2+y-n) a2 =入0+1” 整理得（倍+）十（倍+）+（侣+） 两式相减，得学+学-0， a2 2+）-2+-2票+ 即”一x0 而A,B+1=(m,n)为直线l,的方向向量，则 即+++2(0+2)-2a: 直线L.的方程为y一y。= bx0(x一xo): 2λ=λ， a'yo 即会+-，这恰好为r.在点A, 即2+）=：-是 ①.(13分) 工x⊥y0y ya)处的切线方程. (5分) b2 =1 综上，l。与T。相切的充要条件是A。为 由 结合+-好得 Bm+1Cw+1的中点. (6分) ·5 ·数学· 参考答案及解析 Aitz2-2Aixox+a'a- a'Aiyi-0. b2 (a:-] =3x-+1. 由根与系数的关系，得xx= 器（割 ②， 结合+-，整理得-5以以十 同理可得y1y:日 ( ）⑧. 44=0. (16分) 结合0<入m<入a+1,解得入a+1=2入m, 将②@分别代入①，得2[(：-)十 根据新定义，得T。与T+1是“相似椭圆”. (17分) ·6·绝密★启用前 名校协作体高三第二次模拟考试 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 h 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1,已知集合M={.x|-4<x≤3}，N={xlog2(.x-1)≤1}，则M∩(CRN)= 举 A.{x-4≤x≤1}B.{x-4<x<1}C.{.x|-4<x≤1}D.☑ 2.在数列{an}中，“a4一a2=d3一a,”是“a1,d2,a3d4成等差数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知cose-）=手，则sim2a-） 7 A.25 7 C.25 D.12 4.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(.x-3)2+y2=r2(r>0)有3条公切线，圆C覆盖圆C1, C,则圆C面积的最小值为 A.9π B.12x C.16π D.18π .已知√2元++元+5y=23,则2+y2的最小值 C.1 D.2 6.已知函数f(x)=1十x 一在区间(a,2a+2)上单调递增，则a的取值范围是 A.(∞，-引 B(2,-动 C（-∞，-2]u[-1,+) D.(-2,-]U[-1,-力 数学试题第1页（共4页） ,已知双曲线C,-1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F:的直线与C的 右支交于MN两点，且M·M而-Q若C的离心率为则∠NMr,N- A哥 B 3√/10 10 D. 10 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)=f(x)+f(y)一xy+2,且f(2)=3,则下列结 论中错误的是 A.f(0)=-2 B.f(-1)=-6 C.f(x)+f(一x)的最大值为-4 Dfm)=-2+号a-1a≥3.且neN) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数≈满足|z|=1,则 A,十为实数 B.x十。为实数 C.z十为纯虚数 D.:+是为纯虚数 10.已知数列{am}的前n项和为Sm,a1=1,an+1an=2(am一am+1),则 A.a。= n2-n+4 4 B.S+>S C.{a.}是递减数列 D.S≤5-4 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C,D1中，E为AB的中点，P是侧面BCC,B1内的动 点，下列说法正确的是 A.平面APC1⊥平面A1BD B.若四面体A1-BDC,的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为48π C当点P在线段BC,上运动时，异面直线A,P与AD,所成角的取值范围是[管，] D.当直线PE与直线CD所成的角是号时，点P的轨迹长度为停 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2n十1，一1)，b=(m,m十1)，若a⊥b,则m的值为 13.某校运动会开幕式表演中，某班选出9名身高互不相同的同学，组成3×3方队表演节 目，在面向主席台的3列纵队中，每列队伍均要求身高从矮到高排列，每队最后一名同学 手持一面旗子，且这三面旗子的颜色各不相同，则不同的安排方案种数为 14.已知函数fx)=-sin(ar十p)(o>0,p<)的部分图象如图所示，若f(x)=t(r∈[0，]） 的实根依次为且1成等比数列，则s如：十智）的值为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数fx)=(c+1De-- -2x2+2x. (1)求曲线y-f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间. 16.(15分) 在△ABC中，D为边BC的中点，AD=1,e0s∠BAD=2,7 7 (1)若∠ADC=60°，求边AB的长： (2)若∠CAD=90°，求△ABC的面积. 17.(15分) 如图，在六棱锥P-ABCDEF中，底面ABCDEF为正六边形，PA⊥底面ABCDEF,G 为PE的中点. (1)求三棱锥CDGF与三棱锥P-DGF的体积之比： (2)设AB1,若平面GCF与平面GAC夹角的余弦值为3，求PA的长， D 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 某节目是一档全民参与的大型文化综艺节目，深受人们的喜爱，其中有一个“杏坛论道” 的答题环节，该环节规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可 得1分：若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就能在“杏坛论道”环节胜出.假设两人每一次 31 抢到题的概率均为2，答对每道题的概率分别为：，2，且两人答题正确与否互不影响。 (1)求“杏坛论道”比赛开始后，甲先得1分的概率： (2)“杏坛论道”比赛进行中，甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了X题后“杏坛论道”环 节结束，求X的分布列及数学期望： (3)“杏坛论道”比赛开始后，若乙先得2分，则乙获胜的概率比甲大吗？请说明理由. 19.(17分) 卫知桶园云+号 pTg(p>q>0)在点P()处的切线方程为。+号=. 1)过椭圆上：，+(a>6>0)上任一点A(xyo)(y≠0)作直线1，交椭圆 C+二X于BC,两点，证明：山，与D,相切的充要条件是A,为B,C,的 中点： (2)若km+:=2k,>0,n∈N°，则称椭圆Em: r y p十g=k:(p>g>0)与椭圆E+1: x + =:为“相似椭圆如图，椭圆工：后+=(a>6>0A,>0)在点A,B,C,处的 y r2 y2 切线围成△A+1BC+,且顶点A+1B,+1,C+恰好都在椭圆T,+:a十=入 (入m+1>入.>0)上，设S.是△A.BC。的面积，证明： (1)数列{S,}是等比数列： (ⅱ)厂与.+1是“相似椭圆” Ba C A B C时 数学试题第4页（共4页） 名校协作体高三第二次模拟考试 ·数学· 叁春含案及解析 名校协作体高三第二次模拟考试·数学 一、选择题 0,∫(x)单调递减.当x<0,且x≠一1时， 1.C【解析】由1ogr-1<1,得-12·解 x-1>0, 则=当 得1<x≤3，所以N={x1<x≤3}，CRN (-o∞，-1)U(-1.0)时，f'(x)>0,f(x)在 {xx>3或x≤1}，则M∩(CRN)={x|-4 区间（一∞，一1），（一1,0）上单调递增.又 x≤1}. f(0)=0,所以f(x)在区间（一∞，一1），（一1， 2.B【解析】由a4一a=aa一a1,得a,一aa=a2 1)上单调递增，在区间(1，十∞)上单调递减.因 a1.令a4一ay=a:一a1=d,则当a3一a:=d 为f(x)在区间(a,2a十2)上单调递增，所以 时，a1,a,aa,a4成等差数列：当a:一a2≠d a<2a+2, a<2a+2, 时，a1a2,aa,a4不成等差数列.反之，若a1, 2a+2≤-1 或{2a+2≤1，解得-2<a≤ a,ag,a:成等差数列，则a1一a2=a,一a1,所 a≥-1， 以“a4一a2=aa一a,”是“a1,a2,a,a:成等差 1 数列”的必要不充分条件。 2或-1<a<- 7.B【解析】设C的焦距为2c,因为C的离心 3.C【解析】sin(2a-)=cos[2-(2a F】-o(7-2a）=os2(e-)= 2,所以5-0 案为 即c-四设 1MF2=m,则1MF,|=2a+m.因为MN: 2m--1=2x8-1- 7 MF=0,所以MN⊥MF1,则(2a十m)+m2= 4.A【解析】由题意知圆C,与圆C2外切，所以 4c2,所以(2a十m)2十m2=10a2,即m2+ r=2.因为圆C覆盖圆C1,C,设点P,Q分别 2am-3a=0,解得m=a或m=一3a(舍去). 在圆C1,C:上运动，则|PQ的最大值为6，所 设|NF,|=n,则|NF,|=2a+n.在△F1MN 以当圆C的直径为6时，恰好覆盖圆C1,C, 中，lMF1|=3a,|NF,|=2a+n,|MN|= 所以圆C面积的最小值为S=9π. a十n,所以(a十n)2+9a2=(2a十n)2,解得 5.C【解析】因为(2√5)2=（√2x+y+ =知所以n∠NE,N一-铝-专 √2+5y)2≤2[(2x2+y2)+(.x2+5y2)]= 8.D【解析】令x=y=0,则f(0)=f(0)+ 66+名.所以r+2y≥2，即写+y≥1.当 f(0)一0+2，解得f(0)=一2，故A正确：由 f(1+1)=f(1)+f(1)-1+2=3,得f(1)= 且仅当2r+y=+5,即产=音y=号 1.由f(1-1)=f(1)+f(-1)+1+2=-2 时，等号成立，所以写+的最小值为 解得f(一1)=-6，故B正确：由f(x一x)= f(x)+f(-x)+x2+2=-2,得f(x)+ f(一x)=一x2一4≤-4，故C正确：由f(n十1)= 6.D【解析】当x>0时，f(x)=1十x,则 f1)+f(n)-n十2，得f(n+1)-f(n)=-n十3， 1-x2 fx)=a+)当x∈0.1)时f'(x)>0, 利用累加法可得/a)=一名+子。-2，故 f(x)单调递增：当x∈(1，十∞)时，f'(x)< D错误. ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 A,B=B,所以AC,⊥平面A,BD.又AC,C 9.AB【解析】设x=a十bi(a,b∈R),则a2+b2= 平面APC1,所以平面APC1⊥平面ABD,故 1=1a-i A正确.对于B,因为四面体A,-BDC的外接 球即为正方体ABCD-A1B:C:D1的外接球， 1 a+bi a-bia2+6=a+bi,所以g+ 1 =2a,为实 BD1为外接球的直径，且易求得BD,=2√3， 则球O的表面积为12π，故B错误.对于C,因 数，故A正确：十专=2a,为实数，故B正确：十 为AD1∥BC1,所以异面直线A1P与AD1所 1=2a一2bi,不一定为纯虚数，故C错误1之+ 成的角即为∠APB(或其补角).连接A,C, A1B,可得△A:BC,为等边三角形.当点P在 =2a十2bi,不一定为纯虚数，放D错误 1 点B或点C:处时，AP与BC,所成的角最 10.BCD【解析】因为am+1am=2(aw一a-1),所 小，且为，当点P在BC中点处时，AP与 以-受期当≥2时公号 a:a12' BC所成角最大，且为受，所以A,P与BC, 1121131 1 aa2'a4a-2…d an dx-1 所成角的取值范围是[，]·故C正确，对 ”。等式两边分别相加，得上一1二 a12 于D,直线PE与直线CD所成的角是，即 2 2,所以aw= ∠PEB=F.又易知∠PBE=,AB=2, n十4，当n=1时，也满足上式，所以a. 4 BE=1,所以PB=√5，所以点P的轨迹是以 B为圆心，√3为半径的圆弧的四分之一，所以 n一n十4故A错误.S1一S。=a+1= 4 点P的轨达长度为，故D正角。 n+n十4之0，放B正确.因为f(x)= 三、填空题 x-x十在区间[1，十∞)上单调递减，所以 4 【解析】因为a⊥b,所以a·b=0.即 {a.}是递减数列，故C正确.当n=1时，S,= (2m+1)m一(m+1)=0,即2m2=1,解得 4 a1=1;当n≥2时，aw= n2-n十4n2-n (n)所以s.=a十a十…+a,< 13.10080【解析】将前后3人看成一组，相当于 9名同学平均分成3组，每一组的3人站队方 法只有一种，所以不同的安排方案共有 C8CCA=10080种. 1+41-月)=5-音，则S.≤5-青，放D 14. 2 【解析】由图象知f(0)=in9=2因 正确. 11.ACD【解析】对于A,连接AC,则AC⊥ 为1p<受，即-2<9<受，所以9=吾由 BD,CC,⊥平面ABCD.因为BDC平面 ABCD,所以CC⊥BD.因为AC∩CC:=C, 2mx>5>1×2」 26T> 4@ 所以BD⊥平面ACC.又AC,C平面ACC,: 题意得 解得，= 所以AC1⊥BD.同理可得AC1⊥AB.又BD∩ 后a+g=2k云十x,k∈Z. 6 ·2· 名校协作体高三第二次模拟考试 ·数学· 1.所以f(x)=sin(r+石)作出f(x) 在△ABD中，sin∠ABD=sin(∠BAD+ sn(x+)在区间[0，]上的图象，如图所 120°)=- 2sin∠BAD+ 2cos∠BAD= 2π x1十x2=3 ×何+×2 7 2 7 14 (5分) 示由题意得 AB x2十x1= 解得=得所 3 在△ABD中，由正弦定理得 sin∠ADB AD ,即AB 1 sin∠AB ,解得AB=√7 以n:+）=m(语+）=m暂 V21 2 14 (7分) 21 (2)由D为边BC的中点，得S△Ax= 1 Oxπx25π 4元 5 36 又∠CAD=90,所以AD·AC=2AC·AB· 四、解答题 (∠BMD+90)-2AC·AB·∠BAD 15.解：(1)由f(x)=(x+1)e 3 2x9 (11分) 2.x,得f(0)=1,f'(x)=(x+2)e-x2 x+2=(x+2)(e-x+1), 将AD=1,cos∠BAD=2y7 代人上式，得 所以f'(0)=4, AB=√7. (12分) 则切线方程为y-1=4(x一0) 故曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方 因为S△=2SaUm,所以SaA=2·2AB· 程为4x一y十1=0. (5分) (2)令g(x)=e-x,则g'(x)=e-l. AD·LBAD=2X号X7XIX-, 当x<0时，g'(x)<0: 当x>0时，g'(x)>0, 即△ABC的面积为√3. (15分) 所以g(x)在区间（一∞，0）上单调递减，在区 17.解：(1)设六棱锥P-ABCDEF的高为h, 间(0，十∞)上单调递增， 则V三：锥CcF=V三核能G-DF= 所以x=0是g(x)的极小值点，也是最小 3 XS△cDFX 值点， 2h=, 6 即g(x)≥g(0)=1,从而e-x+1≥2>0， (9分) V三按证Px:本=V三检年n-F= V三楼都n-G 所以当x<一2时，f'(x)<0: 1 1 V三校鞋G-DEF一 2h- 6S△DErh. 当x>-2时，f'(x)>0 故f(x)的单调递减区间为（一∞，一2），单调 (4分) 递增区间为（一2，十∞）. (13分) 因为CF∥DE,CF=2DE, 16.解：(1)由∠ADC=60°，得∠ADB=120°. 所以S△er=2S△bF, 由s∠BAD-2,得如∠BAD= 所以V三能每cx:V旋韩产x=2：1, 7 故三棱锥C-DGF与三棱锥P-DGF的体积之 (2分) 比为2：1. (6分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 (2)连接AE与FC交于点H,则H为AE的 中点，连接GH,如图. 所以cos<m,n)|= m。n √5h mn√/3h+h+9 又G为PE的中点，所以GH∥PA. √39 因为PA⊥底面ABCDEF, 13 ,解得h=1, 所以GH⊥底面ABCDEF 即PA=1. (15分) 又AEC底面ABCDEF,所以AE⊥GH. 18.解：(1)设事件A=“甲抢到题”，A1=“甲抢到 又AE⊥FC,GH∩FC=H,GH,FCC平 题并答对”，A,=“甲抢到题并答错”，B=“乙 面GCF, 抢到题”，B,=“乙抢到题并答对”，B1=“乙 所以AE⊥平面GCF. (8分) 抢到题并答错”， (2分) 由PA⊥底面ABCDEF,AB⊥AE,得AE, C=“甲先得1分”，则C=(AA:)U(BB:)· AB,AP两两垂直. 所以P(C)=P(AA1)+P(BB1)=P(A)· 以A为坐标原点，AE,AB,AP的方向分别 为x轴、y轴、：轴的正方向，建立空间直角坐 P(AA)+P(B)P(B|B)=- x+日× 标系. 15 2=8 (5分) (2)继续进行的比赛为独立重复试验，且甲得 1分的概率为P(C)= ,则乙得1分的概率 5 为PC=是 (6分) X的所有可能取值为2,3， 则P(X=2)=C号P(C)+C号P(C)= D c()+c()广-品 (8分) 设PA=h,则A(0,0,0),EW3,0,0.C,/ P(X=3)=CP(C)P(C)=2X5x 832 (9分) 所以X的分布列为 所以C-(停)G-(停o)正 X 2 3 (3,0,0) P 17 15 设平面GAC的法向量为n=(x,y,), 32 32 3 3 则·AC-0, x+2y=0, 故E(X)=2× +3×是品 3 (12分) n·AG=0, (3)乙获胜的概率比甲大，理由如下： hz 2x+2 =0. 设事件D=“乙先得2分”，E=“乙获胜”， 令x=3h,得y=一h,之=-3，则平面GAC 由2.得PD)×-( (14分)》 的一个法向量为n=(W3h,一h,一3).(11分) 事件DE包括乙先得2分的情况下，乙再得 由AE⊥平面GCF,得平面GCF的一个法向 1分、甲得1分乙再得1分、甲连续得2分乙 量为m=(1,0,0), (12分) 再得1分， ·4· 名校协作体高三第二次模拟考试 ·数学· 所以P(DE)=()×8+()广×× (2)(i)由(1)知，A。,B.,C。分别为线段 B,+1Cm+1,Am+Cm+1,A。+1B+的中点， +()×()× 所以△A.+1B.+1Cm+1CP△A.BCm, 所以P(E|D)= P(DE) 3 且ABaC4aC-2. B.C AC P(D) (×- 则 S A+C)=4, A.C 故数列{S.}是公比为4的等比数列.(9分) 故乙获胜的概率比甲大。 (17分) ()i A(o.).B.(),C.(x: 10证明：油感痘得导+ =入 y:),则切线A+,B。,A+1C,的方程分别为 rityiy 必要性：T。在点A.(x。,yo)处的切线方程为 =+ Hoay 62 =λ 将A)代入，得+=。 [rozyoy xgx0+y:y0=λ， 联立 得Ax2-2λxox+ x +6=+ 所以直线B.C的方程为+ 6=. a'x:-aAitiyi (11分) b =0 因为切点B.,C。分别为线段A+C+1, 设B。+1(x1y1).C。+(x2,yz),则x1十x2= A+B.+1的中点， 2xw,故A。为B。+1Cm+的中点。 (2分) 所以C.+1(2.x1-xo,2y1-yo),B+1(2.x:- 充分性：当A。为B。+1C+的中点时，设 xo,2y2-y). 而线段B。+1C+1的中点为Am,则A.(x1+ AB.+1=-A.C。+1=(m,n)(m≠0)， xg一xo,y1十y2一yo. 则B。+1(xo十m,yo十n),Cm+1(xn一n,ya n),分别代入T+:的方程， 由点A,在r.上，得十x 得十m)(y。+) =入7+1· (y1+y2-ya) b co-m》严+y。-n)2 62 =λ+1 整理得（侣+）+（侣+）+（后+） 两式相减，得二+学=0， 2。+）+）-2( 即”=一6x 而AB。+=(m,n)为直线1.的方向向量，则 即好+++2(+2）-2x 直线l,的方程为y一yo= bx0(r一xo): 2λ=入， 即+-，这恰好为r,在点A.（红 即2(+）=3-， ①.(13分) ror yoy yo)处的切线方程. (5分) b 综上，I与T。相切的充要条件是A。为 后+ 结合 +层=1，得 B。+1C。+的中点. (6分) =, ·5· ·数学· 参考答案及解析 入+1x2-2ax0.x十a2 a'Aiyi=0. ( =3-8+1. 由根与系数的关系，得x1x= 别 ②. 结合+-理得一以以十 同理可得yy: ）. 4λ=0. (16分) 结合0<入.<入m+1,解得入+1=2入m: 将②@分别代人①，得2[二（：-)十 根据新定义，得「。与「+1是“相似椭圆” (17分) ·6绝密 用前 名校协作体高三第二次模拟考试 右支交于M.x两点,且MN·MF-0.C的离心 si乙MFN一 T 数 学 A B. C0 D. 10 本试卷总分150分,考试时间120分钟。 8. 已知函数f(r)的定义域为B.f+y)=f(r)+f(y)-ry+2,且f(2)=3,则下列结 注意项。 论中的是 A--2 1. 答卷前,考生务必将自已的姓名,考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. Bf0---6 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 看改动,用稳度演干净后,再选涂其他答案标号,居答选择题时,将答案写在答题卡上。 C.(()+f(-)的最大值为-4 写在本试卷上无效。 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一拼交回 要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 已知复数:满足:1一1.则 B为实数 A.1为实数 C.+为数 一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的因个选项中,是有一项是 D为校 符合题日的。 10.已知数列(.的前。项和为S-1n.-2(。一).则 1. 知集合M-l-1<: ,N-:l{(r-11,则M) ..二 A.rl-1Bl-,1C-1D Bs_8. 2. 在数列la.)中,“a.-a:-a:-a:”是”a..4.-a1-a。成等差数列”的 C. )是递减数例 A. 充分不必要得 B. 必要不充分条刊 C. 充要件 11. 在校长为2的E方体AACD-AB.C.D.中.F为AB的中点,P是例面ACC.B.内的动 D. 既不充分也不要条件 点.下到说法正确的是 3.知c--)-,s(-- A. 平面APC 1享面A.gD B 若四弄体ABDC.的因个项点均在境0的表面上,则球0的卷面乱为4 D 。 C. 当点P在线段BC。上运动时,异面直线A.P与AD:所成角的取值围是[] 4.已知度Cx+y-1与题C(r一3)+y-,(r0)有3条公线,面C覆园C. C..测圆C面积的小值为 B.1t A.r C.1r D. 18r 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知向量a-(2m+1.-1).b-(m,m+1).考a1b.刚-的% 13. 某校运动会开幕式表演中,某班选出9多身高互不相同的到学,组成3X3方队表演书 甘.在面向主唐台的3列想队中,每列队伍均要求身高见视高排列,每队最后一名同 。 C.1 D. 2 手持一面次子,且这三面梦子的题色各不相国,则不展的安推方案种数为 6.数)一 14. 已知画数f(z)-sin(ar+e)0.lel<)的部分图象如图所示,若f(z)-(z n. 在区问(a-2a+2)上单调迹增,则。的取观是 的实根依次为对-x.对-且,x:成等比数列,则sin(n]的值为__. A.1_~- 1(一2- c.(-。-u-1+ D.(-2一u-1- 数题 第1页[共4页) 数试题 第:1共:高1 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步现. 18.(17分) 15.(18分) 某节目是一档会民参与的大型文化综艺节日,深受人们的喜爱,其中有一个“查坛论道 已知遍数/r)-(+D--+2. 的答题环节,该环节规定:主持人每公布一题,甲,乙两人就立刻验答,先验答者,若答对,可 得1分;若答错,则对干得1分:谁先得3分,谁就能在”杏坛论道”环节题出.假设两人每一次 (1)求非线y一f(r)在点(0.f(0))处的切线方程; 抢到题的概率均为,答对每道题的概率分别为一,,且两人答题正确与否互不影响. (2)求/(-)的单区问 ③1 (1)求答坛论道”比赛开始后,甲先得1分的概率; (2)坛论道”比器进行中,甲,乙暂时各得1分,两人维续抢答了X翻后“查运论道封 节结束,求X的分布列及数学期望. (3)各坛论道”比赛开始旨,若乙先得?分,制乙获教的概率比甲大吗?请说明理由 16.(15分) 在△ABC中.D为边 BC的中点,AD-1.cosBAD-2-7. 1.(17分) (1若/ADC一60求边AB的长。 (装/CAD一90,AC的面程 (1)过r-:(→0)上任一点A.(ry)(yo)作直线1.,交蜀 ,: 中点 17.(15分) 如图,在六核P-ABCDEF中,面ABCDEF为正六边形,PAI面ABCDEF,G 为PE的中点. (1)求三校锥已DF与三梳推P.DG的体积之比 0.A.一0)上.设S.是△A.B.C.的面程,证明 1.PA的长. (2)设AB-1.若平面GCP与平GAC夹角的余数为 (1)数列(5.)是等比数列. (i).与”是“相展” 学过是第31共3 数试题 第:页(共责]绝密★启用前 名校协作体高三第二次模拟考试 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 到 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 到 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1,已知集合M={.x|-4<x≤3}，N={x|log2(x-1)≤1}，则M∩(CRN)= 新 A.{x-4≤x≤1}B.{x-4<x<1}C.{.x|-4<x≤1}D.☑ 2.在数列{an}中，“a4一a2=a:一a,”是“a1,d2,a3,d4成等差数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知cose-）=手则sin2a-） 7 A.一25 7 C.25 D.12 4.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(.x-3)2+y2=r2(r>0)有3条公切线，圆C覆盖圆C1, 杯 C,则圆C面积的最小值为 A.9π B.12x C.16x D.18π 5已知√2元+y++5=23,侧2+y2的最小值为 A C.1 D.2 6.已知函数f(x)=1十x 一在区间(a,2a十2)上单调递增，则a的取值范围是 A（-,-2引 B(-2,-动 C（-，-]u[-1,+) D.(-2,-]U[-1,-力 数学试题第1页（共4页） ,已知双曲线C,乙-1(a>≥0，b>0)的左、右焦点分别为F,F2,过点F,的直线与C的 右支交于MN两点，且M·M而-Q若C的离心率为则∠Nr,N- A B 3/10 10 D. 10 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)=f(x)+f(y)一xy+2,且f(2)=3,则下列结 论中错误的是 A.f(0)=-2 B.f(-1)=-6 C.f(x)十f(一x)的最大值为-4 Dfm)=-2+号n-1m≥3.且neN) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数≈满足|z|=1,则 A.2十之为实数 B.x十。为实数 C十为纯虚数 D.:+是为纯虚数 10.已知数列{am}的前n项和为Sm,a1=1,am+1am=2(aw一am+1),则 A.a。= n2-n+4 4 B.S+>S C.{a.}是递减数列 D.S≤5-4 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C,D1中，E为AB的中点，P是侧面BCC,B,内的动 点，下列说法正确的是 A.平面APC1⊥平面A1BD B.若四面体A1-BDC,的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为48π C当点P在线段BC上运动时，异面直线A,P与AD,所成角的取值范围是[管，] D.当直线PE与直线CD所成的角是号时，点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2n十1，一1)，b=(m,m十1)，若a⊥b,则m的值为 13.某校运动会开幕式表演中，某班选出9名身高互不相同的同学，组成3×3方队表演节 目，在面向主席台的3列纵队中，每列队伍均要求身高从矮到高排列，每队最后一名同学 手持一面旗子，且这三面旗子的颜色各不相同，则不同的安排方案种数为 14.已知函数fx)=sim(ar十po>0,p<)的部分图象如图所示，若f(x)=t(r∈[0，]） 的实根依次为：且：山，成等比数列，则sn十智的值为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数fx)=(c+1De-名- 2x2+2x. (1)求曲线y=∫(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间. 16.(15分) 在△ABC中，D为边BC的中点，AD=1,e0s∠BAD=27 7 (1)若∠ADC=60°，求边AB的长： (2)若∠CAD=90°，求△ABC的面积. 17.(15分) 如图，在六棱锥P-ABCDEF中，底面ABCDEF为正六边形，PA⊥底面ABCDEF,G 为PE的中点. (1)求三棱锥CDGF与三棱锥P-DGF的体积之比： (2)设AB1,若平面GCF与平面GAC夹角的余弦值为，求PA的长， D 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 某节目是一档全民参与的大型文化综艺节目，深受人们的喜爱，其中有一个“杏坛论道” 的答题环节，该环节规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可 得1分：若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就能在“杏坛论道”环节胜出.假设两人每一次 31 抢到题的概率均为2，答对每道题的概率分别为，2，且两人答题正确与否互不影响。 (1)求“杏坛论道”比赛开始后，甲先得1分的概率： (2)“杏坛论道”比赛进行中，甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了X题后“杏坛论道”环 节结束，求X的分布列及数学期望： (3)“杏坛论道”比赛开始后，若乙先得2分，则乙获胜的概率比甲大吗？请说明理由. 19.(17分) 知椭圆E+>≥0)在点P(处的切线方程为十好 1)过椭圆D:+=(a>b>0)上任一点A,(x0o)(y≠0)作直线.，交椭圆 3y2 D+:a十=入+于B+1C+1两点，证明：山，与，相切的充要条件是A,为B+C的 中点： x (2)若km+:=2k,>0,n∈N°，则称椭圆Em p十g=(p>q>0)与椭圆E+1: + =为相似椭圆”如图，椭圆卫：石+。=(a>6>0入，>0)在点A…BC.处的 y x2,y r2 y2 切线围成△A+1B1C+,且顶点A+1,B+1,C,+恰好都在椭圆T.+:a十= (入m+1>入.>0)上，设S.是△A.BC。的面积，证明： (1)数列{S,}是等比数列： (ⅱ)T与T.+1是“相似椭圆” B+1 C B 数学试题第4页（共4页）饰密★启用前 7.已知双由线C:后一。=1如>0b>0)的左，右然点分别为F,F:,过点F:购直线与C的 名校协作体高三第二次模拟考试 右支安于M,N辉点，且网·源-Q若C的高心率为喝m∠MFN 数学 A B青 c n 本试卷总分150分，考试时同120分伸。 8,已知函数f(x)的定义城为.f(x十y)=f(x)+f(3y》-y+2,且了(2)=3，则下列结 注意事项： 论中储误的是 1,答垂前，考生务必指日己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置 A/(0)==2 且f(=1》=-G 2风答选择愿时，进出小题答案后，用船笔把答题卡上对应题目的答案标号拾黑。如 Cf(x)+f(一x)的最大值为-4 na)=-+-1a3,且aEN) 圈改动，用橡皮擦干净后，再选谕其他答案标号，答丰选择题时，将答案写在答卡上 写在本试静上无效. 二，法择盟：本鬣共3小题，每小盟6分，共18分。在每小给出的选项中，有条项符合题日 玉写试结束后，将本认卷和答题卡一并交回。 要求。全部进对的得6分，部分进对的得部分分，有选储的得分。 9,已知复数：满足==1，则 一、遗择题：本题共界小题，每小是5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 A+为实数 B,计是为实数C十上为纯虚数D,意十上为纯虚数 杆合通日要求的。 10.已知数列(a,的前知项和为5，e1一1，u。+0。-2(a。一4。+)，则 1已知集合M=x|-4<:,N=xw(x-1》1},别Mn(CsN)= 九。.-+司 A,(e-r1}收r-<x<1}Cx-4<r1D.② 4 且S.1>8. 之在数列{a.}中。“4，一4=41一a:”是“41a14144成等差数列”的 C,{u.}是通碱数列 n骨 A,充分不必要条件 品必要不充分条作 11,在载长为2的E方体ACD-A,B,C:D,中，E为AB的中点，P是侧面C:B,内的对 C,充要条件 口或不充分也不必要条件 点，下列说法正确的是 名已知m一-言期o一引 A.平面APC,⊥平面A,BD 且若四面体A,BDC,的四个顶点均在蝶O的表面上，则缘O的表面积为48： 人话 k一是 c a是 C当点P在线段BC上运动时，异面直线A,P与AD,所成角的取值范国是管引 4已知限C1x十y-1与图C:(x一3)2+y=r(r>0)有3条公灯提，图C覆重周C: D当直线PE与直线CD所成的角是时，点户的教注长度为： C:,期圆C面积的最小值为 三、填空驱：本题共3小驱，每小驱5分，共15分。 A.9 收12 C,16x D.15= 12.已知向量a=(2m+1,一1)，b=《m,m+1),若⊥b,周m的值为 5已知，2了+vF叶可=25，期号+y的最小值为 13.某校运动会开幕式表蔺中，某班登出9名身高互不相同的司学，组战3×3方队表演节 且，在面向主店台的3列纵队中，句列以伍均要漂身高从矮到高排列，每队量后一名同学 司 区受 手特一面意子，且这三面数子的颜色各不相问，则不同的安非方案种数为 C.1 D.2 1。已知函数红nr十>0p<)的常分图象如图所乐.若fz)-红∈0，引) 香巴知函数f)一1十于x在区间a2a十23上单调递增，则：的取直范图是 的实服依次为且五函度等比数列，湘如十智的值为 A(,-】 -司 C(-o,-2]u〔-1，+o) D(2,--1,引 ■学试期第1百（共4百） 酸学试用第2页引共4宽引 四，解膏题：本题共5小题，共7行分。解答虚写出文学说明，证明过程或清算步骤。 18.《17分) 15.自8分) 某节目是一档会悦参与的大型文化端艺节甘，深受人门的喜爱，其中有一个“杏坛论道” e知商微f-红+De-写+2x 的答题环节，流环节规定：皇持人每公布一题，甲，乙两人就立刻舱答，先舱答者，若答对，可 得1分：看容婚，则对千得1分：谁先得3分，谁就能在“杏坛论道"环节雅出.假授两人每一次 (1求排线y=f(x》在点《0，f(0)处的切线方程： (2)求/（士》的单调区间. 论到圆的气率均为了著对鲜道题的概率分别为宁子，且两人答葛正佛与香互不影响 (1)求·者坛论道"比寡并始后，甲先得1分的极率， 〔2)”睿坛论通比舞进行中，甲，乙智时各得【分，两人螺柒抢答了X驱后“杏招论道环 节结束，象X的分布列及数学期望： (3)·咨坛隐道”比赛开始后，若乙先得2分，期乙获藿的概率比甲大码？请说明理由， 16.(15分) 在△ABC中.D为边BC的中点，AD-1,0s∠BAD- 19,{17分) 7 1》若∠ADC=60°，求边AB的长 已加精情上会学一>g>在良Pu0隆的切线方程号+号-片 {2)若∠CAD=90°，求△ABC的面积 进商同R.后+若-好仙>6>0)上任一点.00)作直线交精国 T。+方一于B,C两成，证明山，与工期切的充要条件是A.为BC的 中点， 2若。-1=2头，>0，n毛N,则称桶WE,:+号=(p>g>0)与简周E。号 17。(15分) 号=私为"相数第网“知周脑周r:专+若->6>0，以>0)在点A,BC.处的 如图，在六棱膝P-ABCDEF中，底面ABCDEF为正六边形，PA⊥底面ABCDEF,G 为PE的中点. 柯线图政△BnG,且夏点A…品C给好形在树圆八后+景= (I)求三棱能CDG下与三棱锥PDGF的体积之比， (.+2a.0)上，设S。是△A,B,C。的面积，证明， 2设AB-1,者雀CCF与学面GAC夹角的余落值为智，求PA能长。 (1)数列S,)是等比数列， ()T,与几.+：是"相缸韩展“ 整￥试层第1蜀引共4万1 登学试型原4面（共4图） 名校协作体高三第二次模拟考试 ·数学· 季专含亲及解折 名校协作体高三第二次模拟考试·数学 一、选择题 0,∫(x)单调递减.当x<0,且x≠一1时， 1.C【解析】由1og,z-1)≤1，得-12，解 x-1>0, fe)则f)=当x 得1<x≤3，所以N={x|1<x≤3}，CRN= (-∞，-1)U(-1,0)时，f'(x)>0,f(x)在 {x|x>3或x≤1)，则M∩(CRN)={x|-4< 区间（一∞，一1），（一1,0）上单调递增.又 x≤1}. f(0)=0,所以f(x)在区间(-∞，一1)，(-1， 2.B【解析】由a4一a2=ag一a1,得a4一a=a2 1)上单调递增，在区间(1，十∞)上单调递减.因 a1.令a4-ag=a2-a1=d,则当ag-a2=d 为f(x)在区间(a,2a+2)上单调递增，所以 时，a1,a2,aa,a4成等差数列；当a一a2≠d 1a<2a+2, a<2a+2, 时，a1,a2,a3,a4不成等差数列.反之，若a1, 或{2a+2≤1，解得-2<a≤ 2a+2≤-1 az,ag,a4成等差数列，则a4一ag=aa一a1,所 a≥-1， 以“a4一a2=ag一a1”是“a1,a2,aa,a4成等差 3 数列”的必要不充分条件， 或-16a≤- 7.B【解析】设C的焦距为2c,因为C的离心 3.c【解析】sin(2a-不)=cos[-(2a 率为 】=cos(-2a）=cos2(a-0) 四，所以-四，即c-受。设 |MF:|=m,则|MF,|=2a+m.因为MN· 2or(。}-1=2x号1=品 7 MF=0,所以MN⊥MF1,则(2a十m)2+m2= 4.A【解析】由题意知圆C,与圆C2外切，所以 4c2,所以(2a+m)2+m2=10a2,即m2+ r=2.因为圆C覆盖圆C1,C2,设点P,Q分别 2am-3a2=0,解得m=a或m=-3a(舍去) 在圆C1,C2上运动，则|PQ|的最大值为6，所 设NF2|=n,则|NF,|=2a+n.在△F:MN 以当圆C的直径为6时，恰好覆盖圆C1,C:, 中，IMF,I-3a,|NF1|=2a+n,|MN| 所以圆C面积的最小值为S=9π. a十n,所以(a十n)2+9a2=(2a十n)2,解得 5.C【解析】因为(2√3)2=（√2x2+y2+ A-3a,所以∠MF,N--铝-台 √x+5y)2≤2[(2x2+y2)+(x2+5y2)]= 8.D【解析】令x=y=0,则f(0)=f(0)+ 66+2),所以r+2y≥2，即号+y≥1，当 f(0)一0十2，解得f(0)=一2，故A正确；由 f(1+1)=f(1)+f(1)-1+2=3,得f(1)= 且仅当2x+y2=2+5y,即=专y2=号 1.由f(1-1)=f(1)+f(-1)+1+2=-2, 解得f(一1)=一6，故B正确；由f(x一x)= 时，等号成立，所以号+y>的最小值为1. f(x)+f(-x)+x2+2=-2,得f(x)+ f(-x)=-x2-4≤-4，故C正确：由f(n+1) 6.D【解析】当x>0时，f(x)=1十立，则 f(1)+f(n)-n+2,得f(n+1)-f(n)=-n+3, 1-x2 f(x)=d+当x∈0,1)时，f'(x)>0, 利用累加法可得f0)=一子+子A-2,故 f(x)单调递增：当x∈(1，十∞)时，f'(x)< D错误， ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 A1B=B,所以AC1⊥平面A1BD.又AC1C 9.AB【解析】设z=a十bi(a,b∈R),则a2+b2= 平面APC1,所以平面APC1⊥平面A1BD,故 1,2=a-bi,之-a+6ia2+b =a-bi A正确.对于B,因为四面体A,-BDC,的外接 球即为正方体ABCD-AB1CD1的外接球， 1 a+bi a-ia2+6=a+bi,所以x+1 =2a,为实 BD1为外接球的直径，且易求得BD1=23, 则球O的表面积为12π，故B错误.对于C,因 数，故A正确z十三=2a,为实数，放B正确z十 为AD1∥BC1,所以异面直线A,P与AD1所 1=2a-2b1,不一定为纯虚数，故C错误1z十 成的角即为∠A1PB(或其补角).连接AC:, A1B,可得△A,BC1为等边三角形.当点P在 是-2a+261,不-定为纯虚数，放D错误。 点B或点C,处时，A,P与BC,所成的角最 10.BCD【解析】因为am+1a.=2(ae一aw+1),所 小，且为受：当点P在BC中点处时，AP与 以-受期当≥2时品号 az a 2 BC,所成角最大，且为受，所以A:P与BC, 1-1=2.1-131 1 asa2'aa4-2…d an an-1 所成角的取值范围是[子，】，故C正确对 2,等式两边分别相加，得】一1=1 n-1 a。a1 2 于D,直线PE与直线CD所成的角是，即 2 4 ∠PEB=F又易知∠PBE=2,AB=2, n一n十4当n=1时，也满足上式，所以a, 4 BE=1,所以PB=√3，所以点P的轨迹是以 B为圆心，3为半径的圆弧的四分之一，所以 n-n十4故A错误.S+1一S。=a中1= 4 点P的轨迹长度为，故D正角。 n+n十4>0，故B正确.因为f(x)= 4 三、填空题 x-x+4在区间[1，+∞)上单调递减，所以 4 12.±， 【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,即 {a.}是递减数列，故C正确.当n=1时，S1 (2m+1)m-(m+1)=0,即2m2=1,解得 41=1:当n≥2时，a,=n-n十4n-元 4 4 4(n马)所以s,=a1十a+…+a,< 13.10080【解析】将前后3人看成一组，相当于 9名同学平均分成3组，每一组的3人站队方 1+1-+号+…+- 法只有一种，所以不同的安排方案共有 CA好=10080种. 1+41-)=5-年则s.≤5-年，放D 14. 2 【解析】由图象知f(0)=si血9=2·因 正确. 11.ACD【解析】对于A,连接AC,则AC1 为p<登即一<p<受，所以g=由 BD,CC1⊥平面ABCD.因为BDC平面 ABCD,所以CC1⊥BD.因为AC∩CC1=C, 2x>5>1x2匹 2>6> 4@ 所以BD⊥平面ACC1.又AC1C平面ACC1, 题意得 解得w= 所以AC1⊥BD.同理可得AC1⊥A1B.又BD∩ 后+音=2kx十，k∈Z, 6 ·2 名校协作体高三第二次模拟考试 ·数学· 1,所以f(x)=si(x+）作出f(x)= 在△ABD中，sin∠ABD=sin(∠BAD+ sin(r+)在区间[o,]上的图象，如图所 120°)=- zsin∠BAD-+ 2coS∠BAD= 2π 2×阿+×29- 7 2 7 14 (5分) 示由题意得 x2十x3= 8解得-语所 AB 3 在△ABD中，由正弦定理得 sin∠ADB= ix=xi, AD ,即AB 1 ,解得AB=√万. 以m:+）=n(管+)=n暂- sin∠AB √3 V21 2 14 3 (7分) 2 (2)由D为边BC的中点，得S△ADc= SA. Ox1π5m 4π 36 又∠CAD=90,所以AD·AC=2AC·AB· 四、解答题 sm(∠BAD+90)=2AC·AB·cos∠BAD. 15.解：(1)由f(x)=(x+1)e- 3x3 2x+ (11分) 2x,得f(0)=1,f'(x)=(x+2)e-x2 x+2=(x+2)(e-x+1), 将AD=1,os∠BAD=2代人上式，得 所以f'(0)=4, AB=√7. (12分) 则切线方程为y一1=4(x一0)， 故曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方 因为SA=2SaAm,所以SaAc=2·号AB: 程为4x一y十1=0. (5分) (2)令g(x)=e-x,则g'(x)=e-1. 当x<0时，g'(x)<0: AD·m∠BAD=2X号X7X1x-后， 当x>0时，g'(x)>0, 即△ABC的面积为√5」 (15分) 所以g(x)在区间（一∞，0）上单调递减，在区 17.解：(1)设六棱锥P-ABCDEF的高为h, 间(0，十∞)上单调递增， 则V三棱繁CpcF=V三能装G-cpF= XS△cDFX 所以x=0是g(x)的极小值点，也是最小 3 值点， 1 即g(x)≥g(0)=1,从而e-x+1≥2>0， 2h-6SAcoh, (9分) V三旋新PGP=V三俊D-PF=V三旋每DGEn 所以当x<-2时，f'(x)<0: V三棱锥G-DEF= 1 3X5ADErX2h- 当x>-2时，f'(x)>0, 故f(x)的单调递诚区间为（一∞，一2），单调 (4分) 递增区间为（一2，十∞）. (13分) 因为CF∥DE,CF=2DE, 16.解：(1)由∠ADC=60°，得∠ADB=120°. 所以SACDE=2S△DEr, 由s∠BAD-2.得∠BAD= 所以V三校cDGF:V三酸维PDaF=2:1, 7· 故三棱锥CDGF与三棱锥P-DGF的体积之 (2分) 比为2：1. (6分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 (2)连接AE与FC交于点H,则H为AE的 m·n √5h 中点，连接GH,如图。 所以|cos(m,n)l=mn√3h+h+9 又G为PE的中点，所以GH∥PA. √39 因为PA⊥底面ABCDEF, 13,解得-1， 所以GH⊥底面ABCDEF, 即PA=1. (15分) 又AEC底面ABCDEF,所以AE⊥GH. 18.解：(1)设事件A=“甲抢到题”，A1=“甲抢到 又AE⊥FC,GH∩FC=H,GH,FCC平 题并答对”，A,=“甲抢到题并答错”，B=“乙 面GCF, 抢到题”，B1=“乙抢到题并答对”，B1=“乙 所以AE⊥平面GCF. (8分) 抢到题并答错”， (2分) 由PA⊥底面ABCDEF,AB⊥AE,得AE, C=“甲先得1分”，则C=(AA)U(BB1), AB,AP两两垂直. 所以P(C)=P(AA,)+P(BB1)=P(A)· 以A为坐标原点，A正，AB,AP的方向分别 为x轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐 PA,1A)+P(B)P(B,IB)=号×3+号X 2×4+2 标系. 15 28 (5分) (2)继续进行的比赛为独立重复试验，且甲得 1分的概率为P(C)= 8,则乙得1分的概率 为P©-骨 (6分) X的所有可能取值为2,3， 则P(X=2)=C号P2(C)+C号P2(C)= c(+c()-品 (8分) 设PA=k,则A00.0,E5,00,c停， P(X-3-CP(C)P(C-2X X8=32 (9分) 所以X的分布列为 所以C-(停），G-(o,)正 X 2 3 (5,0,0) 7 1 设平面GAC的法向量为n=(x,y,z), 32 32 3 则·A心=0， 2x+2y=0, 故E(X)=2 品+×品-品 (12分) in.AG=0, h0. (3)乙获胜的概率比甲大，理由如下： 2x+2 设事件D=“乙先得2分”，E=“乙获胜”， 令x=√3h,得y=-h,z=-3,则平面GAC 由(2)，得P(D)= ( × 3 .(14分) 的一个法向量为n=(W3h,一h,一3).(11分) 事件DE包括乙先得2分的情况下，乙再得 由AE⊥平面GCF,得平面GCF的一个法向 1分、甲得1分乙再得1分、甲连续得2分乙 量为m=(1,0,0), (12分) 再得1分， 。4 名校协作体高三第二次模拟考试 ·数学· 所以P(DE)=()'x8+(餐}'× -x (2)(i)由(1)知，A.,B.,C,分别为线段 Bn+1Cm+1,A+1Cm+1,Am+1Bm+1的中点， +(0)×()×g 所以△Am+Bm+1C+1D△A.BCm, DU0 所以P(E|D)= P(DE) P(D) +×+ 3 B.C A,C, 则1 故数列(S.》是公比为4的等比数列.(9分) 故乙获胜的概率比甲大， (17分) (i)A+(zo,),B.(1,1),C.(2, 19、证明c1)由题意得+少 = y2),则切线A+1B。,A+1C。的方程分别为 tiz yiy 必要性：T。在点A.(xo,y。)处的切线方程为 62=A品 rox yoy a2人 b2 =λ， 将A+1(xy)代入，得1正+y=, a2 62 roI yoy a87 62=, x2x+y0=λ， a2 b2. 联立 +- 得λx2-2λxox十 所以直线B.C,的方程为。+ 62=A. a'a:-alitiyi (11分) b2 =0. 因为切点B。,C。分别为线段Am+1Cm+1, 设Bn+1(x1,y1),Cm+1(x2y2),则x1十x2= A.+1Bm+1的中点， 2xo,故A.为Bm+1Cm+1的中点. (2分) 所以Cm+1(2x1-x0,2y1-y0),Bw+1(2x2 充分性：当A。为Bm+1Cm+1的中点时，设 x0,2y2-yo). 而线段B。+1C。+1的中点为A。,则A。(x1十 A.Be+i=-A.Cn+1=(m,n)(m≠0)， x:-xo,yI+y2-yo). 则B.+1(xo十m,yo十n),Cm+1(x0一m,y0 n),分别代入T.+1的方程， 由点A,在.上，得十：x) 得十m)》y+n) =入2+1， (y1+y2-yo)2 a2 62 =, (x。-m2+y-n) a2 =入0+1” 整理得（倍+）十（倍+）+（侣+） 两式相减，得学+学-0， a2 2+）-2+-2票+ 即”一x0 而A,B+1=(m,n)为直线l,的方向向量，则 即+++2(0+2)-2a: 直线L.的方程为y一y。= bx0(x一xo): 2λ=λ， a'yo 即会+-，这恰好为r.在点A, 即2+）=：-是 ①.(13分) 工x⊥y0y ya)处的切线方程. (5分) b2 =1 综上，l。与T。相切的充要条件是A。为 由 结合+-好得 Bm+1Cw+1的中点. (6分) ·5 ·数学· 参考答案及解析 Aitz2-2Aixox+a'a- a'Atyi-0. b2 (a:-] =3x-+1. 由根与系数的关系，得xx= 器（割 ②， 结合+-，整理得-5以以十 同理可得y1y ( ）⑧. 44=0. (16分) 结合0<入m<入a+1,解得入a+1=2入m, 将②@分别代入①，得2[(：-)十 根据新定义，得T。与T+1是“相似椭圆”. (17分) ·6·