2025届上海市虹口区高考二模数学试卷

2025年上海市虹口区二模数学试卷 考生注意： 1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的 相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．已知全集，若，则． 2. 不等式的解集是________． 3．若，则． 4．若某圆柱的底面半径为，母线长为，则其侧面积为________．(结果保留) 5．若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为______． 10 13 18 62 38 34 6．某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数． 7．若的三条边的长分别为4、5、6，则的外接圆面积为______．(结果保留) 8．已知是实系数一元二次方程的一个虚根，且，若在复平面上所对应的点在抛物线上，则． 9. 某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的个零件逐一检查，则仅有个零件的长度大于毫米的概率为_____． 10．已知9个小球的编号为1、2、…、9，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号按此顺序成等差数列，则共有______种不同的摸取方法． 11．1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型．19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④ ，那么在这些条件下建立的人口增长模型．（用含有、、的式子表示） 12．记为有限集合中的元素个数．设，能被7整除，若对于任意实数和正整数，恒有，则实数的取值范围是_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．是实数，则“”是“”的（ ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 14．下列函数中为奇函数的是（ ）． A． B． C． D． 15．春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束．若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生．任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为 ( )． A． B． C． D． 16． 在空间中，点、均为定点，且．设集合，则以下说法正确的是（ ）． ① 若在上的数量投影为，则线段在运动过程中所形成的几何体体积为； ② 对于任意的以及任意的正实数，设，若，则． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图所示，在四棱锥中，平面，，∥，，． (1) 求证：平面平面； (2) 若异面直线和所成角为，求点到平面的距离． 第17题图 18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 已知函数的表达式为，． (1) 解不等式：； (2) 若存在，使得，，成等比数列，求实数的最小值． 19．(本题满分14分，第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分) 已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”．经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示． 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1) 已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率． (2) 请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3) 现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”进行分层抽样选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附录：， 其中． 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知点和是双曲线的左、右焦点． (1) 若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2) 当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3) 若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限、点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围． 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 对于定义在上的函数和，，设． (1) 若，，求； (2) 若，，，求实数的取值范围； (3) 已知对任意，均有，记，求证：“对任意， 函数零点个数均有限”的充要条件是“是严格增函数”． 本卷共4页 第 2 页  学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市虹口区二模数学试卷参考答案 1. 2. 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9. 10． 11． 12． 13．C 14．D 15．D 16．A 17． 解：(1) ，所以，故．…………2分 由平面，在平面上，所以．…………………4分 由于与是平面上的两条相交直线，所以平面． 由于在平面上，所以平面平面．…………………………6分 (2) 以点为原点，分别以、、为、、轴的正方向建立直角坐标系． 设，则，，………………………………8分 所以． 解得．…………………………………………………………………………10分 ，，设为平面的一个法向量， 则即取，可得．………………12分 故点到平面的距离．…………………………14分 18．解：(1) ，即．…………2分 故…………………………………………………………………4分 解得．………………………………………………………………………6分 (2) 由于，，成等比数列，故， 即对有解．……………………………8分 令， 所以．…………………………………………………10分 所以对有解．………………12分 由于，等号当且仅当，即时成立． 所以，故的最小值为．…………………………………………14分 19． 解：(1) 事件表示志愿者是“志愿模范队”成员，事件表示其周平均服务时长超过2小时.则．…………………………………………2分 (2) 可得如下列联表: 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 提出原假设: 是否“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关, 确定显著性水平．………………………………………………………………4分 可得．………………………………6分 由于，拒绝原假设，即有99.9%的把握认为 “是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关．……………………………………………………………8分 (3)根据列联表可得“志愿模范队”成员中“周平均服务时长超过2小时”占全部的．选取的8人中“周平均服务时长超过2小时”为6人，“周平均服务时长不超过2小时”为2人，． ，，． 的分布为．…………………………………………………………10分 ．……………………………………………12分 又由于．所以．…………………14分 20. 解：(1) 双曲线的渐近线为， 由于是双曲线的一条渐近线，故．…………………………………………2分 所以，故．…………………………………………………4分 (2) 由于点满足，所以点落在椭圆上．…6分 设，则解得．……………………………………………8分 由于，所以的面积．……………………10分 (3) 由于存在实数使，故∥． 延长交双曲线于点，由双曲线的对称性，可得与关于原点对称，故四边形的面积与三角形的面积相等．………………………………………………12分 设的直线方程为，其中，设，． 化简得，故，． 由于在第一象限，在第四象限，故，解得．…………………………………………………………………………14分 所以三角形的面积．…………16分 由，故对有解． 化简得对有解． 设，则对有解．设，可得恒成立， 故，即，由，解得．…………………………18分 21.解：(1) 记，…………………………2分 函数上的值域为，即．…………………………4分 (2) 设在上的最小值. . 当时，，严格增；当时，，严格减；当时，，严格增.当时取得极小值．………………6分 当时，舍去． ……8分 当时，，．…………………10分 综上，． (3) （充分性）若是严格增函数，则的最小值为，而，故对任意，都有，即与是相同函数． ………………………………………………12分 故是严格增函数，所以严格增函数，故对任意，的零点个数有限． （必要性）对任意，都有，故的值域为，即在上的最小值为． 先证是严格增函数． 对任意，函数和的最小值分别为和，则由最小值的定义，，故函数是增函数．………………………14分 假设存在，使得，则对任意，均有，从而方程的解有无限多个，与条件“对任意， 函数零点个数均有限”矛盾.故假设不成立，从而是严格增函数．……………………………………16分 再证对任意，函数的最小值为. 假设存在使得，取，则的最小值为.由严格增，知.而，故，矛盾.所以假设不成立，对任意，函数的最小值为． 而对任意，的值域为，故.于是与是相同函数，所以是严格增函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$