第07讲 三角形的有关概念（4大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第07讲 三角形的有关概念 目录 题型归纳 题型01构成三角形的条件 5 题型02 确定第三边的取值范围 8 题型03 三角形三边关系的应用 10 题型04 三角形的分类 18 题型05 画三角形的高 21 题型06 与三角形的高有关的计算问题 23 题型07 根据三角形中线求面积 33 分层练习 夯实基础 42 能力提升 55 知识点01三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 知识点02三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点归纳： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 知识点03三角形的分类 1.按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点04三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 题型01 构成三角形的条件 1．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2， D．10，5，5 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题考查三角形的三边关系，三角形任意两边的和大于第三边，熟记三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析得出答案． 【详解】解：A．，所以该三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意； B．，所以该三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意； C．，所以该三条线段能组成三角形，故该选项不符合题意； D．，所以该三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（22-23七年级下·上海黄浦·期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和3，5，6和2，5，6， 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件， 只有3，5，6和2，5，6能组成三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 3．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（    ） A．5cm 7cm 14cm B．7cm 9cm 13cm C．5cm 7cm 10cm D．5cm 11cm 13cm 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】解：，，不符合； B，，符合； C，，符合； D，，符合． 故选：． 【点睛】一定注意构成三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 4．已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 5．现有四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为 个． 【答案】3 【知识点】构成三角形的条件 【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去． 【详解】解：共有4种方案： ①取4cm，6cm，8cm；由于8﹣4＜6＜8+4，能构成三角形； ②取4cm，8cm，10cm；由于10﹣4＜8＜10+4，能构成三角形； ③取4cm，6cm，10cm；由于6＝10﹣4，不能构成三角形，此种情况不成立； ④取6cm，8cm，10cm；由于10﹣6＜8＜10+6，能构成三角形． 所以有3种方案符合要求． 故答案为：3． 【点睛】此题考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 题型02 确定第三边的取值范围 6．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ． 【答案】或 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查的知识点是三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系． 三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此即可求解． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， 又∵该三角形是不等边三角形， ∴且，即且 ∴符合条件的整数x的取值为：5或7． 故答案为：或． 7．（23-24七年级下·上海静安·期中）若的两边长分别为、则第三边的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的两边之和大于第三边，两边只差小于第三边即可求出答案． 【详解】因为的两边长为3cm，8cm， 所以， 即． 故答案为：． 8．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值． 【详解】解：设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， 为整数， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件是解题的关键． 9．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）三角形的两条边长分别是4cm和9cm，则第三条边长x的范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形三边的关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，即可求得范围． 【详解】解：由三角形三边关系得：， 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查了构成三角形的三边应满足的条件，理解此条件是关键． 题型03 三角形三边关系的应用 10．（2023七年级下·上海·专题练习）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．15 B．16 C．8 D．7 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此即可作答． 【详解】解：∵三角形的两边分别为3和5， ∴设三角形的第三边为 即 ∴ ∴ 则 ∴这个三角形的周长大于小于， 故选：A． 11．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形的第三边为， 根据题意可得：， ， 可以作为此三角形第三边长的是：4， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键． 12．（2022七年级下·上海·专题练习）已知三角形的三边长分别为3cm，xcm和7cm，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：4＜x＜10． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是3，7，x， 根据三角形三边关系：x＜7+3，x＞7﹣3， ∴x的取值范围是4＜x＜10． 故答案为：4＜x＜10． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 13．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形的两条边长分别为3和8，且第三边的长为整数，那么第三边的长的最小值是 ． 【答案】6 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】设第三边长为x，根据题意，得即，故最小值为6，解答即可． 本题考查了矩形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】设第三边长为x，根据题意，得即， 故最小值为6， 故答案为：6． 14．（22-23七年级下·上海·期中）一个三角形的两边长分别是4和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是 ． 【答案】10 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【详解】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：， 即， ∵a为整数， ∴a的最大值为10； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件． 15．（22-23七年级下·上海虹口·期末）一个不等边三角形的两边分别为和，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有 个． 【答案】5/五 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形的三边关系进行求解，即可得到答案． 【详解】解：设第三边的长度为， 由三角形的三边关系可知，， 即第三边的取值范围为， 第三边的长度为奇数， 的取值可以有3、5、7、9、11，共5个， 满足条件的三角形共有5个， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 16．（2022七年级下·上海·专题练习）求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为 个． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、三角形三边关系的应用 【分析】根据题意，设较小的两边长为x、y且x≤y，可得关系式x≤y＜16，x、y∈N*；分别令x＝1、2、3、4、5、．．．．．．、15，分别求得y的可取值，由分类计数原理，计算可得答案． 【详解】解：设较小的两边长为x、y且x≤y， 则x≤y＜16，x、y∈N*． 当x＝1时，y＝1～15，三角形有15个； 当x＝2时，y＝2～15，三角形有27个； 当x＝3时，y＝3～15，三角形有36个； 当x＝4时，y＝4～15，三角形有42个； 当x＝5时，y＝5～15，三角形有45个； 当x＝6时，y＝6～15，三角形有45个； 当x＝7时，y＝7～15，三角形有42个； … 当x＝15时，y＝15，三角形有1个． 所以不同三角形的个数为15+27+36+42+45+45+42+36+28+21+15+10+6+3+1＝372． 故答案为：372． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是列出约束条件，然后寻找x＝1、2、3、4、5、．．．．．．、15时，y的取值个数的规律，再用分类计数原理求解． 17．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 18．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知A、B是线段MN上的两点（B在A的右侧），MN＝4，MA＝1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．求x的取值范围． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、根据旋转的性质求解 【分析】表示出BN，再根据旋转的性质可得MA＝AC，BN＝BC，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边和三角形的任意两边之差小于第三边列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵MN＝4，MA＝1，AB＝x， ∴BN＝4﹣1﹣x＝3﹣x， 由旋转的性质得，MA＝AC＝1，BN＝BC＝3﹣x， 由三角形的三边关系得， 解不等式①得，x＞1， 解不等式②得，x＜2， 所以，x的取值范围是1＜x＜2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组． 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 20．（24-25七年级上·上海青浦·期末）【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 【答案】[解决问题]，，； [拓展延伸]见解析 【知识点】两点之间线段最短、三角形三边关系的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及两点之间线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． [解决问题]利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决； [拓展延伸]作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，根据两点之间线段最短，P、Q即为所求． 【详解】[解决问题] 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以，． 所以． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 故答案为： ，，； [拓展延伸] 解：如图所示，作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，此时的周长最小． 题型04 三角形的分类 21．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类即可求解． 【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）. 22．图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形． ∴Q表示的是等边三角形． 故选：A． 23．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 24．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】三角形的分类、构成三角形的条件 【分析】本题主要考查三角形的基本性质，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键；因此此题可根据三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，说法正确； ②三角形按边分类可分等腰三角形和不等边三角形，原说法错误； ③三角形的两边之差小于第三边，原说法错误； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，说法正确； 故选：B． 题型05 画三角形的高 25．若一个三角形的三条高所在直线的交点在此三角形外，则此三角形是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】根据高的概念，知三角形的三条高所在直线的交点在外部的三角形是钝角三角形；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部， 那么这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了通过三角形的形状可以判断三角形高线的位置，反之，通过三条高线交点的位置可以判断三角形的形状． 26．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【答案】见详解 【知识点】三角形的识别与有关概念、画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 【详解】如图为中线， 为角平分线，为高 27．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：    (1)作边上的高； (2)过点D作直线的垂线，垂足为E； (3)点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、画三角形的高 【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可． （2）根据垂线的定义画出图形即可． （3）根据点到直线的距离，判断即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求．    （2）如图，线段即为所求． （3）到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义，属于中考常考题型． 题型06 与三角形的高有关的计算问题 28．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的面积和三角形的高，过点作于点，根据三角形的面积公式得出，再根据可得结论．掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， ∵的面积为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 29．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，的面积等于，则点到直线的距离为 ．    【答案】 【知识点】点到直线的距离、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算、点到直线的距离，作于，先求出，再结合点到直线的距离的意义即可得解． 【详解】解：如图，作于，    的面积等于， ，即， ， ， 点到直线的距离为， 故答案为：． 30．（22-23七年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，，，则线段 ．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据即可求出的值． 【详解】解：在中，，，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的面积，熟知直角三角形的面积公式是解答此题的关键． 31．如图，已知在中，，是上任意一点，于点，于点，若的面积为，问：的值是 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】可连接，由图得，，代入数值，解答出即可． 【详解】解：连接， 由图可得，， 于，于，，的面积为， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想． 32．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移和三角形的面积， 过点作,先求出边的高，再分当在线段上和在线段延长线上时两种情况求三角形面积即可. 【详解】解：如图，过点作, 与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，，，． ∴，，，， ∵ ∴， ∴， 当在线段上时，， 的面积， 当在线段延长线上时，， 的面积， 答案为或 . 33．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当 ，的面积等于6． 【答案】或5或9 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】分点P在上3种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：如图1，当点P在上， ∵中，，点E是的中点， ∴． ∴， ∴； 如图2，当点P在线段上， ∵E是的中点， ∴． ∴， ∴， ∴， 如图3，当P在线段上， 同理：， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或5或9； 故答案为：或5或9． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用及动点运动问题，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键． 34．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线， (1)如图2，把长方形绕点A逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，如果度数为α，则“对角旋转角”的度数_____（用含有α的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点A顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，则_____．； (3)在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为312，面为130，请求出此时长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)240 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与三角形的高有关的计算问题、根据旋转的性质求解 【分析】此题考查了旋转的性质和定义以及三角形的面积公式． （1）根据对角旋转角的定义解答即可； （2）根据旋转的性质和角的关系解答即可； （3）根据三角形的面积公式和关系得出与的关系，进而解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：“对角旋转角”为，， ∴， ∴对角旋转角为：， 故答案为：； （2）解：如图， ∵， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴． 题型07 根据三角形中线求面积 35．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，为的中点，为的中点，则的面积与的面积之比为 ． 【答案】/ 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积的等积变换，熟练找出相关联的底、高是解答本题的关键．由图可知，和等底等高，所以，同理可得，代入即可求出． 【详解】解：中，是中点， ， 又是的中点， ， ． 的面积与的面积之比为． 故答案为：． 36．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案． 【详解】解：∵点E为AD的中点，△BDE的面积为3， ∴△ABD的面积为3×2＝6， ∵点D为BC的中点， ∴△ABC的面积为6×2＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查三角形面积问题，掌握三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 37．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，D、E分别为的中点，连接，交点为F，若，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】首先利用三角形的中线性质可以求出，然后利用三角形面积公式即可求出点D到的距离． 【详解】解：如图所示，连接， ∵D、E分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点D作于H， ∴， ∵， ∴， ∴点D到的距离为3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 38．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知的面积是，请完成下列问题： (1)如图，中，若是边上的中线，则的面积______的面积填“”、“”或“”； (2)如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法： 连接，由得， 同理，可得． 设，，则，． 由题意得，． 可列方程组，解得______， 通过解这个方程组可得四边形的面积为______； (3)如图，，，请直接写出四边形的面积______不用书写过程 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】加减消元法、根据三角形中线求面积 【分析】（1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以； （2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，设，，则，，根据题意，列出方程组，解出即可得到结果； （3）连接，由：：，得到，同理可得，设，，则，，由题意得列方程组，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过作于， 是的边上的中线， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为， ， ， 故答案为：，； （3）解：如图，连接， ， ， ， ， 设，，则，， 由题意得：，， 可列方程组为：， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，解二元一次方程组，熟练掌握这个结论是解题的关键． 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：A、，符合三角形三边关系，故可构成三角形； B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； C、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 2．（2022七年级下·上海·专题练习）下列三条线段能组成三角形的是（　　） A．7、17、10 B．17、10、24 C．24、17、6 D．2、2、 【答案】B 【分析】本题根据三角形三边关系逐个判断是否满足条件即可选出正确答案． 【详解】解：A. 7+10＝17，不满足任意两边之和大于第三边，不能组成，故错误， B.17+10＞24，满足任意两边之和大于第三边，能组成，故正确， C.6+17＜24，不满足任意两边之和大于第三边，不能组成，故错误， D.2+2＜ ，不满足任意两边之和大于第三边，不能组成，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系逐个判断是否满足条件即可选出正确答案，解答问题的关键是掌握三角形的三边关系． 3．（22-23七年级下·上海静安·期末）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线交于同一点 C．三角形的三条角平分线交于同一点 D．直角三角形的三条高的交点在三角形内部 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三条重要线段．根据中线，角平分线，高线的定义和性质，进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，选项正确； B、三角形的三条中线交于同一点，选项正确； C、三角形的三条角平分线交于同一点，选项正确； D、直角三角形的三条高的交点在直角顶点处，选项错误； 故选：D． 4．下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【答案】A 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解．A．三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合题意； B．三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意； C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意； D．三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握各性质定义． 5．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 6．在中，，，，那么是 三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ） 【答案】钝角 【分析】根据三角形按角的分类可得结论． 【详解】解：在中，，，， ， 是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题考查三角形的分类，熟知三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形是解题关键． 7．（2022七年级下·上海·专题练习）已知△ABC，a＝6，b＝10，则第三边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得10﹣6＜c＜6+10，即4＜c＜16， 故答案为：4＜c＜16． 【点睛】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 8．已知三角形的三条边长分别是5cm，7cm，，那么这个三角形的第三边的长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可得． 【详解】解：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ，， 的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB与CD不平行，AC、BD相交于点O，写出图中一对面积相等的三角形，它们可以是 （只需写出一对）． 【答案】△ABC和△DBC（答案不唯一） 【分析】利用同底等高的两个三角形面积相等即可求解． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴AD与BC之间的距离相等， ∴△ABC和△DBC面积相等． 故答案为：△ABC和△DBC．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，掌握平行线之间的距离处处相等是解题的关键． 10．（23-24七年级上·上海·期末）已知：如图，直径的长为的半圆的中点C，连接．如果点D是的中点，连接，那么阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，列代数式，解题的关键是作出辅助线得出． 【详解】解：连接，如图所示： ∵C为半圆的中点， ∴， ∴弓形与弓形的面积相等， ∵点D是的中点， ∴的面积与的面积相等， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F． (1)求∠1和∠2的度数． (2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 【答案】(1)30º；60º (2)相等，理由见解析 【分析】(1)利用角平分线的定义求得，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∠2，再利用平行线的性质即可求得∠1的度数． (2)根据S△ADE＝S梯形EFDG可得AD=DF+EG，结合图形即可求解． 【详解】（1）∵∠BAC＝60º，AD平分∠BAC， ∴， 又∵EF⊥AD， ∴， ∵EG∥AD， ∴． （2）相等．　理由如下： ∵EF⊥AD， ∴S△ADE=，S梯形EFDG= ∵S△ADE= S梯形EFDG ∴= ∴AD=DF+EG， ∵AD=AF+DF， ∴DF+EG =AF+DF， 即AF=EG． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 12．如图，为的中线， 为的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为40，，则点 E 到边的距离为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查画三角形的高线，三角形的中线： （1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，为边上的高． （2）∵为的中线， 为的中线， ， ∵的面积为 40，， 解得，即点 E 到边的距离为4． 13．（22-23七年级下·上海长宁·期末）如图，已知，根据下列要求画图并回答问题：    (1)画边上的高，过点画直线，交于点；（不要求写画法和结论） (2)在（1）的图形中，如果，，，求直线与间的距离． 【答案】(1)见解析． (2) 【分析】（1）根据三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法作图即可． （2）过点作，垂足为；根据两平行线间距离的定义，可知线段的长度即为直线与间的距离；根据，即可求得答案． 【详解】（1）如图所示，根据三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法作图即可．    （2）如图所示，过点作，垂足为．    根据两平行线间距离的定义，可知线段的长度即为直线与间的距离． 根据题意，得 ， 即 ． 解得 ． 所以，直线与间的距离为． 【点睛】本题主要考查三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法、两平行线间的距离，牢记三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法，以及两平行线间距离的定义是解题的关键． 14．（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）按下列要求画图并填空：    (1)如图，作边上的高，垂足为点，并过点作直线的平行线． (2)直线和直线的距离是线段_______的长． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】（1）根据三角形的高及平行线的性质可进行求解； （2）根据（1）及题意可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如下所示：    （2）解：由（1）可知直线和直线的距离是线段的长； 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与作图及三角形的高，熟练掌握作图是解题的关键． 15．根据要求作图并写好结论： (1)画三角形，使得的长度等于厘米，，； (2)在三角形中，作出的角平分线； (3)在三角形中，作出边上中线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据角平分线的定义画出图形即可； （3）根据三角形的中线的定义画出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，射线即为所求； （3）如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．如图，已知中，，根据下列要求画图并回答问题 (1)画边上的高，过点A画直线．（不要求写画法和结论） (2)在（1）的图形中，如果，点B到直线的距离是3，点C到直线的距离是4，那么直线与间的距离等于____________．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)画图见解析： (2) 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据等面积法求解即可． 【详解】（1）按照题意画图如下图所示： （2）中，即， 又点B到直线的距离是3，即； 点C到直线的距离是4，即 又的面积， 所以， 因为， 所以直线与之间的距离等于 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的高，点到直线的距离，等面积法求三角形的高，掌握三角形的高的意义是解题的关键． 【能力提升】 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．三角形的三条高交于一点 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 D．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直 【答案】D 【分析】分别对每个选项进行分析，即可解题． 【详解】A选项：三角形的三条高所在直线交于一点，所以本选项不符合题意，故A错误； B选项：有公共顶点且两边互为反向延长线两个角是对顶角，所以本选项不符合题意，故B错误； C选项：两条平行直线被第三条直线所截，所得的内错角相等，所以本选项不符合题意，故C错误； D选项：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，本选项符合题意，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高线所在直线交于一点，对顶角的定义，平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 二、填空题 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图所示，，，相交于点，若面积为2，面积为3，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的等积变形，求三角形的面积，熟练掌握利用平行线的等积变形求三角形的面积的方法是解题的关键．根据面积为2，面积为3，可得，利用平行线的等积变形，可知，，进而利用，即可求的答案． 【详解】面积为2，面积为3， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，，、交于点，，其中面积相等的三角形有 对． 【答案】 【分析】利用平行线间的距离相等和三角形面积公式得到，，再利用三角形面积的和差得到，然后利用得到 【详解】解：， 点、到的距离相等， ，， ， 即， ， ． 图中面积相等的三角形有对． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 4．如图：欲将一块四边形的耕地中间一条折路MPN改直，但不影响道路两边的耕地面积，请在图中画出这条直线（保留作图痕迹） （写结论） 【答案】见解析 直线MF即为所求 【分析】根据同底等高的三角形面积相等，过P作MN的平行线即可； 【详解】解：如图，连接MN，过P作MN的平行线，分别交AD、BC于点E、F， ∵平行线间的距离相等，∴△MNP的高与△MNF的高相等， ∴△MNP的面积=△MNF的面积， 故答案为：直线MF即为所求． 【点睛】本题考查了设计作图，三角形的面积；掌握平行线间距离相等是解题关键． 5．如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于 米． 【答案】700 【分析】当、 、 构成三角形时，与的差小于第三边，所以、、在同一直线上时，与的差最大，算出这个最大值即可． 【详解】当、、三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形． ∵两边与的差小于第三边， 、、在同一直线上，到的距离与到的距离之差最大， ∵此时， ∴当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于700米 故答案为：700． 【点睛】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题．解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大． 6．一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是 ． 【答案】9 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【详解】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7， 即4＜a＜10， ∵a为整数， ∴a的最大值为9． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件． 7．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）如图点D、E分别在的边、上，与交于点F，，则 ． 【答案】11 【分析】根据，，得出三角形面积之间的数量关系，设，，则，，列出二元一次方程组，解方程即可解答． 【详解】如图：连接 设，，则， ， ，， 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形面积之间的数量关系，解二元一次方程，根据线段之间的数量关系得出三角形的面积关系，正确列出二元一次方程是解题关键． 8．有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据题意和等腰三角形的性质分类讨论即可； 【详解】如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，，，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 如图，， 则，不可能； 故符合条件的顶角的度数为或． 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键． 三、解答题 9．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|． 【答案】a+3b 【分析】根据三角形三边关系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：∵a，b，c 是三角形的三边， ∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0， 由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0， 由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0， ∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c） ＝a+3b． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0． 10．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知，与相交于点． (1)找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由； (2)如果，，垂足分别为、，，求的值． 【答案】(1)与，与，与，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形的面积及平行线间的距离，解答此题的关键是熟知以下知识：①同底等高的三角形面积相等；②两平行线之间的距离相等． （1）根据同底等高的三角形面积相等可得出面积相等的三角形，过作，，垂足、，由平行线间的距离相等可知，再由三角形的面积公式即可得出； （2）由，，，再根据三角形的面积公式可知，进而可得出结论． 【详解】（1）解： 与，与，与．理由如下： 过作，，垂足、， ，（已知）， （平行线间距离的意义）． ，，（三角形面积公式）， ． （2）解：，，（已知） ，（三角形面积公式）． ， ． ， ． ， ． 11．按照下列要求画图并填空：如图，点P是的边上的一点．    (1)过点P作的垂线，交于点C； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为H； (3)线段______的长度是点P到直线的距离； (4)线段、、这三条线段大小关系是_____．（用“”号连接） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) (4) 【分析】（1）按要求作图，即可求解； （2）按要求作图，即可求解； （3）直线外一点到直线垂线段的长度，叫做这点到直线的距离；据此可求解； （4）可得是直角三角形，从而可得是斜边，由斜边大于直角边即可求解． 【详解】（1）解：如图    （2）解：如图    （3）解：， 线段的长度是点P到直线的距离； 故答案：． （4）解：， 是直角三角形， 是斜边， ， 同理可得：， ． 【点睛】本题考查了按要求作图，点到直线的距离的定义，比较线段大小，理解定义，掌握作法和比较线段大小的方法是解题的关键． 12．（22-23七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，按下列要求画图并填空：    (1)画边上的高； (2)在上，连接，使得，请画出点； (3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4， 【分析】（1）根据画高的方法作图即可； （2）根据平行线的性质只需要令即可得到； （3）根据点到直线的距离的定义即可求出点到直线的距离；先求出，根据平行线的性质得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，点E即为所求；    （3）解：∵，， ∴点到直线的距离为4； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了画三角形的高，画平行线，三角形面积，平行线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 13．如图，有一块三角形菜地，若从顶点修一条小路交于点，小路正好将菜地分成面积相等的两部分． (1)画出点的位置并说明理由． (2)假设在菜地中有一点（如图所示），上是否存在点，使折线将三角形的面积分为面积相等的两部分．若存在，请画出点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)存在，见解析 【分析】（1）如图中，作直BC的中点D，连接即可； （2）如图中，作中线，连接，作，交于点，连接，折线即为所求． 【详解】（1）如图，作BC得中点D，点即为所求； 理由：三角形的中线平分三角形的面积． （2）作AB的中点D，连接，连接，作，交于点，连接，折线即为所求， 如图，折线即为所求， 理由：设交于点， ， ， ， ∴点D到AF的距离与点E到AF的距离相等， ， ， 折线平分的面积． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三角形的中线平分三角形的面积． 14．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）． (1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”） (2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米； (3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有    个． 【答案】(1)十六分之七； (2)4； (3)5 【分析】（1）根据三角形和正方形的面积公式即可得到结论； （2）根据三角形和正方形的面积即可得到结论； （3）画出图形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵S△AEF＝4×4﹣， ∴三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的； （2）解：∵三角形AEF的面积是28平方厘米， ∴大正方形ABCD面积＝28＝64， ∴每个小正方形的面积＝64÷16＝4； （3）解：如备用图，符合要求的点G有5个， 故答案为：（1）十六分之七；（2）4，；（3）5． 【点睛】本题考查了三角形的面积，正方形的面积，正确的画出图形是解题的关键 15．解答下列各题 (1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等． (2)解答下题． ①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______． ②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积． (3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）． 【答案】(1) (2)①15；② (3)图见解析，理由见解析 【分析】（1）根据，可得和同底等高，即可求解； （2）①先求出，再由，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解； ②先求出=，再由，，可得AC∥BF，从而得到，即可求解； （3）过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴和同底等高， 则与的面积相等； （2）解：①∵，且边上的高为5， ∴， ∵， ∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形， ∴； ②∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴∠EBG=120°， ∴∠EBF=60°， ∴∠EBF=∠BAC， ∴AC∥BF， ∴； （3）解： 如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，理由如下： ∵BE∥AC， ∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线． 【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 三角形的有关概念 目录 题型归纳 题型01构成三角形的条件 5 题型02 确定第三边的取值范围 5 题型03 三角形三边关系的应用 6 题型04 三角形的分类 8 题型05 画三角形的高 9 题型06 与三角形的高有关的计算问题 10 题型07 根据三角形中线求面积 13 分层练习 夯实基础 16 能力提升 20 知识点01三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 知识点02三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点归纳： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 知识点03三角形的分类 1.按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点04三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 题型01 构成三角形的条件 1．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2， D．10，5，5 2．（22-23七年级下·上海黄浦·期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（    ） A．5cm 7cm 14cm B．7cm 9cm 13cm C．5cm 7cm 10cm D．5cm 11cm 13cm 4．已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 5．现有四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为 个． 题型02 确定第三边的取值范围 6．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ． 7．（23-24七年级下·上海静安·期中）若的两边长分别为、则第三边的取值范围是 ． 8．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ． 9．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）三角形的两条边长分别是4cm和9cm，则第三条边长x的范围是 ． 题型03 三角形三边关系的应用 10．（2023七年级下·上海·专题练习）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．15 B．16 C．8 D．7 11．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 12．（2022七年级下·上海·专题练习）已知三角形的三边长分别为3cm，xcm和7cm，那么x的取值范围是 ． 13．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形的两条边长分别为3和8，且第三边的长为整数，那么第三边的长的最小值是 ． 14．（22-23七年级下·上海·期中）一个三角形的两边长分别是4和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是 ． 15．（22-23七年级下·上海虹口·期末）一个不等边三角形的两边分别为和，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有 个． 16．（2022七年级下·上海·专题练习）求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为 个． 17．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 18．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知A、B是线段MN上的两点（B在A的右侧），MN＝4，MA＝1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．求x的取值范围． 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 20．（24-25七年级上·上海青浦·期末）【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 题型04 三角形的分类 21．（22-23七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 22．图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 23．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   24．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05 画三角形的高 25．若一个三角形的三条高所在直线的交点在此三角形外，则此三角形是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 26．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 27．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：    (1)作边上的高； (2)过点D作直线的垂线，垂足为E； (3)点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 题型06 与三角形的高有关的计算问题 28．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 29．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，的面积等于，则点到直线的距离为 ．    30．（22-23七年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，，，则线段 ．    31．如图，已知在中，，是上任意一点，于点，于点，若的面积为，问：的值是 ． 32．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 33．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当 ，的面积等于6． 34．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线， (1)如图2，把长方形绕点A逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，如果度数为α，则“对角旋转角”的度数_____（用含有α的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点A顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，则_____．； (3)在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为312，面为130，请求出此时长方形的面积． 题型07 根据三角形中线求面积 35．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，为的中点，为的中点，则的面积与的面积之比为 ． 36．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是 ． 37．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在中，D、E分别为的中点，连接，交点为F，若，则点D到的距离为 ． 38．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 39．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知的面积是，请完成下列问题： (1)如图，中，若是边上的中线，则的面积______的面积填“”、“”或“”； (2)如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法： 连接，由得， 同理，可得． 设，，则，． 由题意得，． 可列方程组，解得______， 通过解这个方程组可得四边形的面积为______； (3)如图，，，请直接写出四边形的面积______不用书写过程 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022七年级下·上海·专题练习）下列三条线段能组成三角形的是（　　） A．7、17、10 B．17、10、24 C．24、17、6 D．2、2、 3．（22-23七年级下·上海静安·期末）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线交于同一点 C．三角形的三条角平分线交于同一点 D．直角三角形的三条高的交点在三角形内部 4．下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 5．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 二、填空题 6．在中，，，，那么是 三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ） 7．（2022七年级下·上海·专题练习）已知△ABC，a＝6，b＝10，则第三边c的取值范围是 ． 8．已知三角形的三条边长分别是5cm，7cm，，那么这个三角形的第三边的长度的取值范围是 ． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB与CD不平行，AC、BD相交于点O，写出图中一对面积相等的三角形，它们可以是 （只需写出一对）． 10．（23-24七年级上·上海·期末）已知：如图，直径的长为的半圆的中点C，连接．如果点D是的中点，连接，那么阴影部分的面积为 ．（结果保留） 三、解答题 11．如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F． (1)求∠1和∠2的度数． (2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 12．如图，为的中线， 为的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为40，，则点 E 到边的距离为多少？ 13．（22-23七年级下·上海长宁·期末）如图，已知，根据下列要求画图并回答问题：    (1)画边上的高，过点画直线，交于点；（不要求写画法和结论） (2)在（1）的图形中，如果，，，求直线与间的距离． 14．（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）按下列要求画图并填空：    (1)如图，作边上的高，垂足为点，并过点作直线的平行线． (2)直线和直线的距离是线段_______的长． 15．根据要求作图并写好结论： (1)画三角形，使得的长度等于厘米，，； (2)在三角形中，作出的角平分线； (3)在三角形中，作出边上中线． 16．如图，已知中，，根据下列要求画图并回答问题 (1)画边上的高，过点A画直线．（不要求写画法和结论） (2)在（1）的图形中，如果，点B到直线的距离是3，点C到直线的距离是4，那么直线与间的距离等于____________．（用含a的代数式表示） 【能力提升】 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．三角形的三条高交于一点 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 D．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直 二、填空题 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图所示，，，相交于点，若面积为2，面积为3，则的面积为 ．    3．如图，，、交于点，，其中面积相等的三角形有 对． 4．如图：欲将一块四边形的耕地中间一条折路MPN改直，但不影响道路两边的耕地面积，请在图中画出这条直线（保留作图痕迹） （写结论） 5．如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于 米． 6．一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是 ． 7．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）如图点D、E分别在的边、上，与交于点F，，则 ． 8．有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角的度数为 ． 三、解答题 9．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|． 10．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知，与相交于点． (1)找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由； (2)如果，，垂足分别为、，，求的值． 11．按照下列要求画图并填空：如图，点P是的边上的一点．    (1)过点P作的垂线，交于点C； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为H； (3)线段______的长度是点P到直线的距离； (4)线段、、这三条线段大小关系是_____．（用“”号连接） 12．（22-23七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，按下列要求画图并填空：    (1)画边上的高； (2)在上，连接，使得，请画出点； (3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______． 13．如图，有一块三角形菜地，若从顶点修一条小路交于点，小路正好将菜地分成面积相等的两部分． (1)画出点的位置并说明理由． (2)假设在菜地中有一点（如图所示），上是否存在点，使折线将三角形的面积分为面积相等的两部分．若存在，请画出点的位置． 14．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）． (1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”） (2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米； (3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有    个． 15．解答下列各题 (1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等． (2)解答下题． ①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______． ②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积． (3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$