精品解析：安徽省太和中学2024-2025学年高二下学期第二次教学质量检测（4月）数学试题

太和中学高二年级第二次教学质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，且，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（ ） A. 2880种 B. 1440种 C. 720种 D. 360种 5. 抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（ ） A. 8 B. 7或8 C. 9 D. 8或9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组互不相等的样本数据从小到大依次为，且这组数据的平均数为，标准差为，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的中位数是 B. 数据的分位数是 C. 数据的平均数是 D. 数据的标准差是 10. 关于，下列结论正确的是（ ） A. 展开式中的常数项为1 B. 展开式中项的系数为 C. 展开式中所有项的系数和为 D. 展开式中项的系数为392 11. 已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 已知某品牌袋装白砂糖的质量指标服从正态分布，则顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为________． 附：若，则，，． 14. 若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为． （1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； （2）若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望． 17. 如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 19. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线． （1）当时，求曲线在点处的曲率； （2）已知曲线在不同的两点，处的曲率均为0． ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和中学高二年级第二次教学质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法； 第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法； 根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）． 故选：C． 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3. 已知，，且，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据数量积的运算律求出，再根据向量夹角的计算公式即可得解. 【详解】由， 得， 所以， 又，所以向量的夹角为. 故选：B. 4. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（ ） A. 2880种 B. 1440种 C. 720种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】先排4名青少年产生5个空位，再把甲､乙､丙插在5个空位即可. 【详解】第一步先排4名青少年共有种排法，第二步把甲､乙､丙插在4名青少年中间有种排法， 所以根据分步乘法计数原理共有种排法， 故选：B. 5. 抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式来求解，需要先分别求出、，再代入公式计算． 【详解】事件包含的基本事件有30个，则，事件包含的基本事件有8个，则，所以． 故选：D． 6. 若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出渐近线方程，由圆心到渐近线距离等于半径，得到方程，求出. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径为2， 由对称性，圆心到渐近线的距离， 由题意得，故， 所以离心率. 故选：B 7. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由函数的单调性变形抽象函数不等式，再由一元二次不等式解的性质将不等式变形为无参数不等式，然后求解即可. 【详解】因为在上单调递增，，所以由，得， 因为的解集为， 所以，，， 即，，， 所以，即为，即， 解得， 所以关于的不等式的解集是． 故选：C． 8. 重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（ ） A. 8 B. 7或8 C. 9 D. 8或9 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组互不相等的样本数据从小到大依次为，且这组数据的平均数为，标准差为，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的中位数是 B. 数据的分位数是 C. 数据的平均数是 D. 数据的标准差是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可判断A；根据百分位数的定义即可判断B；根据平均数的性质即可判断C；根据方差和标准差的性质即可判断D. 【详解】对于A，由题意数据的中位数是，故A正确； 对于B，因为，所以数据的分位数是，故B错误； 对于C，数据的平均数是，故C正确； 对于D，数据的方差为， 所以数据的标准差为，故D错误. 故选：AC. 10. 关于，下列结论正确的是（ ） A. 展开式中的常数项为1 B. 展开式中项的系数为 C. 展开式中所有项的系数和为 D. 展开式中项的系数为392 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法计算判断AC；利用二项式定理求出项的系数判断BD. 【详解】对于A，令，展开式中的常数项为1，A正确； 对于B，展开式中项的系数为，B正确： 对于C，令，展开式中所有项的系数和为，C正确： 对于D，展开式中项的系数为，D错误. 故选：ABC 11. 已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由的递推公式可判断A，由可判断B，确定数列中含的个数，可判断CD； 【详解】对于A：由， 可得：， 所以：， 所以，正确， 对于B： 所以， 即是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以 则，不是等比数列，错误； 对于C：数列的第106项为213， 又，，，，，，， 所以， 所以的前项和为 ， C对，D错； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的倍角公式计算，计算即可． 【详解】. 故答案为： 13. 已知某品牌袋装白砂糖的质量指标服从正态分布，则顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为________． 附：若，则，，． 【答案】0.8186 【解析】 【分析】由正态分布的性质和对称性结合题意求解即可. 【详解】因为服从正态分布，且，， 所以， 即顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为0.8186． 故答案为：0.8186. 14. 若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，设，求导得到函数单调性，得到，令，则，求导得到函数单调性和极值最值情况，求出，设，求导得到单调性，并求出，所以，所以，得到答案. 【详解】不等式，即， 所以． 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以． 令，则． 当时，，单调递增，则， 故满足条件； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又， 所以，所以， 所以a的最大值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：变形为，从而构造，其中，利用导函数得到函数单调性和极值最值情况进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式列出等式，联立方程组求得的值，从而写出通项公式； （2）由（1）写出的通项公式，然后由裂项相消求得其前项和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得， 由，得， 所以，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 所以 16. 夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为． （1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； （2）若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）X的概率分布列为： X 2 3 4 P ．【解析】 【分析】（1）根据题意利用二项分布求解即可得； （2）根据题意分别求其概率、列出分布列求出期望即可得． 【小问1详解】 令投中i次的概率为， 则； 【小问2详解】 X的可能取值为2，3，4， ， ， ， 故X的概率分布列为： X 2 3 4 P 数学期望． 17. 如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以．因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，证明，证明平面，证明； （2）证明平面，证明，证明，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面， 又平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 所以两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②恒过点． 【解析】 【分析】（1）根据焦距和求出和，利用求出，得到椭圆方程； （2）①设，则，计算出； ②设，若直线的斜率为0，得到，与不在轴上矛盾，不合题意，若直线的斜率不为0，设，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由①知，又，所以，列出方程，舍去不合要求的根，求出，所以直线恒过点． 【小问1详解】 由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得， 又，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为． ②设， 若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以， 又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即， 由不在轴上，得，与矛盾， 所以直线的斜率不为0． 设直线的方程为， 由，得， 所以， 且， 由①知，又，所以， 所以，即， 化简，得， 将代入上式并化简，得 即，解得或， 当时，与矛盾，舍去， 当时，满足 所以直线恒过点． 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 19. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线． （1）当时，求曲线在点处的曲率； （2）已知曲线在不同的两点，处的曲率均为0． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：由上可知，，不妨设． 下面证明：当，， 设，则， 令，则，所以在上单调递减， 则，所以在上单调递增，且， 即，故，． 设点在直线上，则，即， 所以， 即， 要证，需证， 需证， 又，只需证，即证． 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以成立， 故． 【解析】 【分析】（1）两次求导，再根据曲率公式计算即可； （2）①对求导，根据正负判断增减性，分析边界值与特殊值，趋于负无穷时趋于，，时最大为.方程有两根，意味着直线与图像有两个交点，得到. ②构造函数，通过求导，再对求导得到，判断单调性得出的正负，进而得到单调性，证明出当，.利用直线上的点建立关系，结合及，得到.转化要证的不等式：将转化为，进一步转化为证明. 再次转化，根据，将转化为，构造函数，通过求导，得到单调性，证明，从而得出. 【小问1详解】 解：当时，，， 所以，， 故曲线在点处的曲率． 【小问2详解】 ，由题意可知，， 则方程有两个根，， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又时，，，且， ①由题可知，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以， 故实数的取值范围为． ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $