精品解析：江西省南昌新民外语学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

新民学校2024—2025学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ） A. B. 4 C. D. 4. 在中，内角满足，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 5. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（ ） A. 584年 B. 574年 C. 564年 D. 554年 7. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 8. 已知则（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为8 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 11. （多选题）已知函数，则（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上的最大值为1 C. 函数在点处的切线方程为 D. 若关于的方程在区间上有两解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，则___________. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. 14. 已知函数满足为的导函数， .若，则数列的前2025项和为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 16. 在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最值及相应的的值. 18. 已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前n项和. 19. 已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为. （1）若数列为，试写出集合，并求的值； （2）若是递增数列且，求证：是等比数列； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2024—2025学年度第一学期期中考试 高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求集合，再求. 【详解】，得或， 所以或，， 所以. 故选：C 2. 函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围 【详解】解：函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：D 3. 已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三棱棱柱体积的计算公式直接计算，判断选项. 【详解】, 故选:A 4. 在中，内角满足，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，求出，得到三角形形状. 【详解】， 故，即， 因为，所以， 故为等腰三角形. 故选：B 5. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，即，代入即可求解． 【详解】已知向量，， 若，则，即， 则的值为． 故选：D． 6. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（ ） A. 584年 B. 574年 C. 564年 D. 554年 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出方程，指对数互化求解即可． 【详解】由题意知，， 则，解得年. 故选：D． 7. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出，的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案． 【详解】由，得， 令，得， 则，即， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D． 8. 已知则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数以及，利用导数求解单调性，即可比较以及. 【详解】由题得， 构造函数，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，即，所以. 构造函数，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 综上，. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为8 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的乘法求出，再逐项计算判断即得. 【详解】依题意，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，的虚部为8，C正确； 对于D，在复平面内对应的点位于第一象限，D正确. 故选：ACD 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以，故B正确； 因为，所以是等差数列，故A错误； 对于C，， 因为，所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，令，则， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 故选：BC. 11. （多选题）已知函数，则（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上的最大值为1 C. 函数在点处的切线方程为 D. 若关于的方程在区间上有两解，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，进而判断AB选项；结合导数的几何意义可判断C选项；画出函数大致图象，结合图象即可判断D选项. 【详解】因为，， 所以， 令，即；令，即， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确； 因为，， 所以函数在区间上的最大值为4，故B错误； 因为，， 所以函数在点处的切线方程为， 即，故C正确； 因为，函数大致图象如图， 要使方程在区间上有两解， 则，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. 【答案】12 【解析】 【详解】由函数是定义在上的奇函数，得， 而当时，， 所以. 14. 已知函数满足为的导函数， .若，则数列的前2025项和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，从而得，然后利用倒序相加法从而可求解. 【详解】由题意知，所以，即， 又因为，所以， 所以， ， 将两式相加可得：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要是对求导后得，主要能够找到的关系，再根据倒序相加法从而可求解. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）极小值为，极大值为 （2） 当时，在上递增， 当时，在上递增，在上递减， 当时，在上递增；在上递减． 【解析】 【分析】（1）对求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解； （2），对分，和讨论单调性即可. 【小问1详解】 . 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. 【小问2详解】 ， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 16. 在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选②或③， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果； （2）条件①，由，角可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果； 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，， 又，所以，得到， 又，所以， 又，所以，得到， 所以. 【小问2详解】 选条件①： 由（1）知，，根据正弦定理知，，即， 所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件. 选条件②： 因为，所以， 又，得到，代入，得到，解得，所以， 由余弦定理得，， 所以. 选条件③： 因为，所以， 由，得到， 又，由(1)知， 所以 又由正弦定理得，，得到， 代入，得到，解得，所以， 由余弦定理得，， 所以. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最值及相应的的值. 【答案】（1）最小正周期是；（2），此时；，此时. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式，并结合辅助角公式可得，再利用周期可求出答案； （2）由的范围，可求得的范围，进而可求出的范围，从而可求得的最值同时求得对应的的值. 【详解】（1） 函数的最小正周期是. （2）， ， ， 此时，， 此时， 18. 已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列基本量的运算可得，，即可得数列的通项公式； （2）由题可得，然后利用错位相减法求解即可；或利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 设数列的公比为，则，，解得， 所以，即的通项公式为； 【小问2详解】 方法一：由题可知， 则， ， 所以， . 方法二：， 所以 19. 已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为. （1）若数列为，试写出集合，并求的值； （2）若是递增数列且，求证：是等比数列； 【答案】（1），. （2） 因为是递增数列，且， 因为是递增数列，所以， 所以且互不相等，所以， 又因为， 所以且互不相等，所以 所以， 所以， 所以，所以为等比数列. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由的定义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由的定义以及等比数列的定义，代入计算，即可证明. 【小问1详解】 因为， 所以集合，所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $