精品解析：云南省怒江傈僳族自治州民族中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

云南省怒江州民族中学2024-2025学年上学期期末考试 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的弧长与时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，单摆来回摆动一次所需的时间为一个周期，然后利用三角函数的周期公式可得出所求结果. 【详解】单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为的最小正周期， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为，故选D. 【点睛】本题考查简谐振动周期的理解，解题的关键就是利用三角函数周期公式进行计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，然后再判断当或时的函数值即可得出选项. 【详解】由，定义域为 ， 所以函数为奇函数，故排除BD； 当时，；当时，函数的增长速度比的增产速度快，所以，故排除C； 故选：A 3. 若的图像关于点（a，0）对称，则f(2a)= A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数意义，画出函数图像，根据图像求得a的值，进而求得f(2a)． 详解】画出图像如下图所示 由图像可得，则． 所以选A 【点睛】本题考查了三角函数图像及其性质，根据图像研究函数的对称性，属于基础题． 4. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B． 【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 5. 已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（　　） A. B. C. D. [﹣5，﹣4] 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数f（x）的图象，设t＝f（x），方程f2（x）+bf（x）+4＝0等价为t2+bt+4＝0，根据数形结合思想和二次函数的性质建立不等式组，求解即可. 【详解】解：作出函数f（x）的图象如图：设t＝f（x）， 由图象知当t＞3时，t＝f（x）有3个根； 当1＜t≤3时，t＝f（x）有4个根； 当t＝1时，t＝f（x）有5个根； 当0＜t＜1时，t＝f（x）有6个根； 当t＝0时，t＝f（x）有3个根， 当t＜0时，t＝f（x）有0个根， 方程f2（x）+bf（x）+4＝0等价为t2+bt+4＝0， ∵当t＝0时，方程不成立，∴若方程f2（x）+bf（x）+4＝0有8个不同的实数根，则 ①等价为t2+bt+4＝0有两个根，满足1＜t1≤3，1＜t2≤3， ②或者t2+bt+4＝0有两个根，满足t1＝1，t2＞3， 由①等价为t2+bt+4＝0有两个根，满足1＜t1≤3，1＜t2≤3， 设h（x）＝t2+bt+4， 则满足，即，得﹣≤b＜﹣4， 由②t2+bt+4＝0有两个根，满足t1＝1，t2＞3，则1+b+4＝0，则b＝﹣5， 此时由t2﹣5t+4＝0得t＝1或t＝4，满足t2＞3，综上所述，﹣≤b＜﹣4或b＝﹣5， 故选：B． 6. 已知函数，方程，，则方程的根的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程解出或，，再画出函数的图象，根据图象交点个数确定方程的实数根. 【详解】，即或， 如图，画出函数的图象 由图象可知时，有2个交点，当，时有3个交点， 所以共有5个交点，故选D. 【点睛】本题考查了数形结合求解方程实数根的问题，函数的零点是对应方程的实数根，同时也是函数图象和轴的交点，求的实数根也可转化为求和的图象的交点个数. 7. 已知函数（），若函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将函数有三个零点转化为函数和的图象有三个交点，借助函数的图象，分析、讨论即可求出实数的取值范围. 【详解】有三个零点与的图象有三个交点. 因为，所以当时，，得或， 所以与的图象有两个交点，则当时，与的图象有1个交点. 当时，令，得，所以符合题意； 令，得，所以符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键是利用数形结合进行分类讨论.本题通过分段函数的图象去探究函数的零点个数，要求考生抓住问题的本质，引导考生注重直观想象核心素养，并能通过函数关系建立方程，体会逻辑推理核心素养. 8. 已知平面上的线段l及点P，任取l上的一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作，若曲线C是边长为4的等边三角形，则点集所表示的图形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可画出满足题意的点集所表示的图形，分别求解区域各个构成部分的面积，进而即得. 【详解】由题意，点集D所表示的图形如图，是边长为4的正三角形， 其中，，，，， ，， 所以扇形的面积为， ，， ， 所以的面积为， 又， 所以四边形的面积为， 又四边形的面积为， 点集所表示的图形面积为： . 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下运算中正确的有（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由指数与对数的运算性质和换底公式逐一判定即可． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误， 故选：AC． 10. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作差法可知AB正误；由可推导得到，进而确定C正确；由不等式的性质可知D正确. 【详解】对于A，， ，，，，，A错误； 对于B，， ，，，， ，，B正确； 对于C，，， ， ，，即， ，，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：BCD. 11. 用表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ） A. ， B. 当时，的最小值为2 C. 不等式解集是 D. 方程的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出x的整数部分与小数部分，再由的意义判断A；利用不等式性质计算判断B；解不等式，结合的意义判断C；确定的范围，进而确定其值，代入计算判断D. 【详解】对于A，设x的整数部分为a，小数部分为b，则， 因此，A正确； 对于B，当时，，若，则， 若，则，若，则，因此，B错误； 对于C，由不等式，得，由表示不超过x的最大整数， 知，因此原不等式的解集为，C正确； 对于D，由，知为整数且，解得，显然，于是， 因为，即，由，解得，则； 由，解得或（舍去），因此，即或， 当时，，解得；当时，，解得， 所以方程的解集为，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由圆的方程可得，然后求代入计算，即可得到结果. 【详解】 设滚动后的圆的圆心为，切点为，连接， 过做与轴正方向平行的射线，交圆于， 设，因为圆方程为， 故设， 又单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于， 所以，可得，则， ，所以. 故答案为： 13. 表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】设,因，则得,借助于基本不等式可得,验证等号成立的条件，即得. 【详解】设,则 因，则得，又因，则有. 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2. 故答案为: 2. 【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据的含义，设出，即得，将问题转化为求的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件即得. 14. 函数，，方程恰有三个根，其中，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，通过换元法得关于的方程的根的个数为2；结合韦达定理可知（舍去）或，由此即可得解. 详解】 由题意，即，显然， 所以， 令，所以，等号成立当且仅当， 由对勾函数性质得， 当或时，关于的方程的根的个数为2， 当或时，关于的方程的根的个数为1， 当时，关于的方程的根的个数为0， 由题意方程恰有三个根，其中， 而关于的方程的根的个数情况可能为0，1，2； 所以关于的方程只能有两个不相等的根（）， 不妨设为，且或，或； 又由韦达定理有， 所以（舍去）或， 所以是关于的方程的根，是关于的方程即的根， 由韦达定理有，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是通过换元法、数形结合以及韦达定理分析方程的根的情况，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知关于x的不等式． （1）当时，解上述不等式； （2）当时，解上述关于x的不等式． 【答案】（1）不等式解集为：； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由，，解不等式即可； （2），讨论与1的大小即可. 【小问1详解】 当时，. . 则不等式解集为：. 【小问2详解】 注意到， ①当时，不等式解集为：； ②当时，不等式解集为空集； ③当时，不等式解集为：. 16. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值． 【答案】(1)减区间为，增区间为，值域为;(2) . 【解析】 【分析】(1)设，则，由题意求出的增减性，，从而可求出的单调区间；结合单调性及区间端点处的函数值即可求出值域. (2)由一次函数的单调性可知，结合已知条件可知，从而可求出参数的值. 【详解】(1)解：设 ，则 ，因为，则. 由已知性质可知在上为减函数，在上为增函数. 所以减区间为，增区间为. 当，即时，，又， 所以，所以值域为. (2)因为为减函数，所以当时，. 因为对任意，总存在，使得成立， 所以值域是值域的子集，即，则， 解得且，即. 【点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了函数值域的求解，考查了整体的思想，考查了转化的思想.本题的关键是将看成一个整体.本题的难点是第二问中将已知条件转化为两个函数值域的关系. 17. 某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设. （1）试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （2）根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值. 【答案】（1），定义域为 （2）或 【解析】 【分析】（1）分别用表示出,,用勾股定理即可得,从而得到周长表达式，当点F在D处，点E在C处时，可得到的范围，即定义域； （2）令根据总长500米，即可求得值，然后利用平方和为1即可得到答案. 【小问1详解】 中，，所以， 在中，，所以， 又因为，所为， 所以， 当点F在D处时，最大，此时， 当点E在C处时，最小，此时， 故定义域为. 【小问2详解】 由（1）得， 令， 则， 令，可得， 所以， 又因为， 所以或. 18. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）不等式的解集为. （2）的最小值为； （3）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【小问1详解】 由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 19. 已知函数． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）若，求的值； （3）若对于任意均有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算； （2）根据得到，然后利用同角三角函数基本关系和和差公式计算； （3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，结合函数单调性即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得： 可得函数的最小正周期. 【小问2详解】 因为，， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 . 小问3详解】 由（1）知，函数， 可得asin， 因为对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为， 因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减， 可得，则， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问参变分离可得对于任意均有恒成立，利用二倍角公式整理可得，这里对倍角公式的理解不能局限于书本的与. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省怒江州民族中学2024-2025学年上学期期末考试 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置弧长与时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 A B. C. D. 2. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 若的图像关于点（a，0）对称，则f(2a)= A. B. C. 0 D. 4. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C. D. 5. 已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（　　） A. B. C D. [﹣5，﹣4] 6. 已知函数，方程，，则方程的根的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知函数（），若函数有三个零点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面上的线段l及点P，任取l上的一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作，若曲线C是边长为4的等边三角形，则点集所表示的图形面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下运算中正确的有（ ） A. 若，则 B. C. D. 10. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 用表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ） A ， B. 当时，的最小值为2 C. 不等式解集是 D. 方程的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_________. 13. 表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是________． 14. 函数，，方程恰有三个根，其中，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知关于x的不等式． （1）当时，解上述不等式； （2）当时，解上述关于x的不等式． 16. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值． 17. 某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设. （1）试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （2）根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值. 18. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 19. 已知函数． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）若，求的值； （3）若对于任意均有恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$