学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·培优卷（全国通用，范围：人教A版选择性必修第一册全册）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 3．已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（新情境-无人机激光信号镜面反射，工程应用情境）某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．（热点）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．在棱长为4正四面体中，E是棱AB中点，则（    ） A．4 B． C．2 D． 7．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（ ） A． B．3 C．2 D．1 8．如图，在三棱柱中，底面，，，，为线段上的动点， ，分别为线段，中点，则下列命题中正确的是（    ）    A．三棱锥的外接球体积的最大值为 B．直线与所成角的余弦值的取值范围是 C．当为中点时，三棱锥的体积为 D．存在点，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 10．已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 11．在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，，三点共线，则________ 13．如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 14．（新情境-从丝带造型抽象出轨迹问题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是______ ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 16．（15分） 如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分） 已知，，，， (1)求证：，，，四点共圆； (2)，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，． ①若，求点坐标并求此时切线，的直线方程； ②求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标． 18．（17分） 已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求动点到直线的距离的最大值； (3)设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 2．直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 【答案】A 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解得， 因为在直线上，代入即可得， 化简得的，即对称直线方程为. 3．已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 4．（新情境-无人机激光信号镜面反射，工程应用情境）某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面， 所以反射激光的方向向量为， 所以，所以， 对于A，，，符合题意，A选项正确； 对于B，，不符合题意，B选项不正确； 对于C，，，不符合题意，C选项不正确； 对于D，，，不符合题意，D选项不正确； 5．（热点）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得抛物线：，故该抛物线的焦点F的坐标为， 准线方程为，设点P的坐标为，则， 点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可得， 则，故， 当P，F，A三点共线，且在之间时等号成立， 则的最小值为. 6．在棱长为4正四面体中，E是棱AB中点，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】若为中点，连接，又E是棱AB中点， 所以且，故夹角为或其补角， 因为正四面体各棱长为4，故四面体各面均为等边三角形， 所以，，且， 而为的补角，故. 故选：B 7．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（ ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 8．如图，在三棱柱中，底面，，，，为线段上的动点， ，分别为线段，中点，则下列命题中正确的是（    ）    A．三棱锥的外接球体积的最大值为 B．直线与所成角的余弦值的取值范围是 C．当为中点时，三棱锥的体积为 D．存在点，使得 【答案】C 【详解】因为底面，，故以为原点，建立如图所示空间直角坐标系：    则，，，，设， 设三棱锥的外接球球心为， 为直角三角形， 外接圆圆心在斜边上，设为，则底面，设点，则， ， ， ， ， ， 三棱锥的外接球体积的最大值为，故A错误； ，， ， 当时，则， 当时，,此时，， ，故B错误； 当为中点，为中点时，， 又， ，又面，面， 面， 点到面的距离等于点到面的距离， 三棱锥的体积为,故C正确； ，， 由可得， ，与矛盾，故D错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由椭圆方程，可得左右焦点坐标为，，焦距. 的面积公式，其中为点的纵坐标， 由，得该三角形面积有最大值但无最小值，选项A正确. 选项B：根据椭圆的定义，，，所以的周长为，因此B错误. 选项C：当位于椭圆短轴端点时，取得最大值，此时，， 由余弦定理，因此最大，因此C选项正确. 选项D：由椭圆方程，可知，，椭圆上任意一点到焦点的距离满足，代入，，得，选项D正确. 10．已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 【答案】ABD 【详解】把转化为标准方程, 则，如图所示，作出符合题意的图形， 对于A：圆心的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B正确； 对于C：因为，所以点在圆外，故C错误； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 11．在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 【答案】CD 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，． 对于A选项，，， 设， 依据共线向量设坐标，故，． 若直线与所成的角是，则， 整理得，即，解得， 故直线与所成的角不可能是，所以A选项错误； 对于B选项，当时，即，此时，故， 而， 设此时平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为，则即， 取，得为平面的一个法向量， 故， 故二面角的平面角的正弦值为，所以B选项错误； 对于C选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以为定值， 所以C选项正确； 对于D选项，当时，即，故，故， 而， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，故到平面的距离为，所以D选项正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，，三点共线，则________ 【答案】 【详解】因为，，三点共线， 所以，共线，即，又， 故存在实数t使得，又，， 所以，，， 所以，， 所以， 故答案为：. 13．如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 【答案】3 【详解】设，且且， 则处的切线方程为，则， 故， ， 因为，所以，得（舍）或， 则，故. 14．（新情境-从丝带造型抽象出轨迹问题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是______ ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 【答案】① ② ④ 【详解】设曲线C上任意一点 ，由题意得， 对于①：因曲线过原点，所以 ，且，所以，故①正确； 对于②：将代入方程得 ，故②正确； 对于③：设 是曲线在第一象限的点， 则有 ，所以， 取，则，故此时， 所以曲线在第一象限内点的纵坐标的最大值大于，故③错误； 对于④：由，所以 ，即， 当时，；当时，因 ，即， 所以成立； 所以当在上时，成立，故④正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)见详解 (2) (3)的最小值为4，直线l的方程为 【详解】（1）证明：直线的方程可化为，故无论取何值，直线总过定点． （2）直线的方程为，且恒过点， 则直线在轴上的截距为， 要使直线不经过第四象限，则 ，解得， 故的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， 所以 ，． 又且，． 故， 当且仅当，即时取等号． 故的最小值为4，此时直线l的方程为． 16．（15分） 如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 取直线的单位方向向量， 设点到直线的距离为，则． （2）因为，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17．（15分） 已知，，，， (1)求证：，，，四点共圆； (2)，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，． ①若，求点坐标并求此时切线，的直线方程； ②求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标． 【答案】(1)见讲解 (2)①或； ②见讲解 【详解】（1）因为，，，， 易知点到四个点的距离相等，均为， 所以四点都在圆上， 即四点共圆； （2）①，又， 所以，（负值舍去）， ，，即，所以， 设，则，解得， 所以，显然切线斜率存在， 设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为， 即或；    ②因为，所以四点共圆，为圆直径， 设，则圆心为的中点，半径为， 所以圆方程为， 化为一般式方程为， 整理为关于的方程为：， 由，得或，定点为和， 所以经过，，三点的圆必经过定点，定点坐标为和． 18．（17分） 已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求动点到直线的距离的最大值； (3)设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 设为，，设， 由题意，有，即，平方后相加，可得， 即轨迹的方程为. （2）由（1）知，设，其中， 设动点到直线的距离为，， 故动点到直线的距离的最大值为. （3） 由对称性可知直线的斜率不为0，故可设直线， 联立直线与椭圆， ， 设，， 则 ，① ，，② 又，所以， 令，得点横坐标，同理可得点横坐标， 故 ， 将，代入上式， 整理可得：， 再将② 式代入得 ， （i）若，则直线，恒过，不合题意； （ii）若，则，恒过，符合题意， 故直线恒过，且与椭圆始终有两个交点， 又，，垂足为， 所以点的轨迹是以为直径的半圆（不含点，，在直线下方部分）， 且圆心，半径为1，所以， 当且仅当点在线段上时，取到最小值. 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【详解】（1）由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； （2）由平面平面，得， 又平面，则平面， 由平面，得，即， 又，即， 解得， 过点作于点，由平面平面，得， 又平面，则平面，因此点到平面的距离为线段的长. 在中，， 所以点到平面的距离为. （3）方法一：过点作交于点，连接， 由平面，得平面，则为直线与平面所成的角， 依题意，， 设， 则， ， 在中，根据余弦定理，， 由，得， 因此，整理得，即， 解得或，因为，所以. 方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：， 所以，， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 取平面的法向量， 则， 整理得，即，解得：或（舍）， 所以，所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 3．已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（新情境-无人机激光信号镜面反射，工程应用情境）某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．（热点）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．在棱长为4正四面体中，E是棱AB中点，则（    ） A．4 B． C．2 D． 7．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（ ） A． B．3 C．2 D．1 8．如图，在三棱柱中，底面，，，，为线段上的动点， ，分别为线段，中点，则下列命题中正确的是（    ）    A．三棱锥的外接球体积的最大值为 B．直线与所成角的余弦值的取值范围是 C．当为中点时，三棱锥的体积为 D．存在点，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 10．已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 11．在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，，三点共线，则________ 13．如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 14．（新情境-从丝带造型抽象出轨迹问题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是______ ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 16．（15分） 如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分） 已知，，，， (1)求证：，，，四点共圆； (2)，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，． ①若，求点坐标并求此时切线，的直线方程； ②求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标． 18．（17分） 已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求动点到直线的距离的最大值； (3)设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B A B B B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．3 14．① ② ④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）证明：直线的方程可化为，故无论取何值，直线总过定点．（3分） （2）直线的方程为，且恒过点， 则直线在轴上的截距为， 要使直线不经过第四象限，则 ，解得， 故的取值范围是．（8分） （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， 所以 ，． 又且，． 故，（11分） 当且仅当，即时取等号． 故的最小值为4，此时直线l的方程为．（13分） 16．（15分） （1）因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，（3分） 取直线的单位方向向量， 设点到直线的距离为，则．（7分） （2）因为，，，，（8分） 设平面的法向量为，则，取，得，（10分） 设平面的法向量为，则，取，得，（12分） 设平面与平面的夹角为，则，（14分） 所以平面与平面的夹角的余弦值为．（15分） 17．（15分） （1）因为，，，， 易知点到四个点的距离相等，均为， 所以四点都在圆上， 即四点共圆；（3分） （2）①，又， 所以，（负值舍去）， ，，即，所以，（5分） 设，则，解得， 所以，显然切线斜率存在，（6分） 设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为， 即或；（9分）    ②因为，所以四点共圆，为圆直径， 设，则圆心为的中点，半径为， 所以圆方程为， 化为一般式方程为，（12分） 整理为关于的方程为：， 由，得或，定点为和， 所以经过，，三点的圆必经过定点，定点坐标为和．（15分） 18．（17分） （1） 设为，，设， 由题意，有，即，平方后相加，可得， 即轨迹的方程为.（3分） （2）由（1）知，设，其中， 设动点到直线的距离为，， 故动点到直线的距离的最大值为.（7分） （3） 由对称性可知直线的斜率不为0，故可设直线， 联立直线与椭圆， ，（9分） 设，， 则 ，① ，，② 又，所以， 令，得点横坐标，同理可得点横坐标， 故 ， 将，代入上式， 整理可得：， 再将② 式代入得 ，（13分） （i）若，则直线，恒过，不合题意；（14分） （ii）若，则，恒过，符合题意，（15分） 故直线恒过，且与椭圆始终有两个交点， 又，，垂足为， 所以点的轨迹是以为直径的半圆（不含点，，在直线下方部分）， 且圆心，半径为1，所以， 当且仅当点在线段上时，取到最小值.（17分） 19．（17分） （1）由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以；（4分） （2）由平面平面，得， 又平面，则平面， 由平面，得，即， 又，即， 解得，（7分） 过点作于点，由平面平面，得， 又平面，则平面，因此点到平面的距离为线段的长. 在中，， 所以点到平面的距离为.（9分） （3）方法一：过点作交于点，连接， 由平面，得平面，则为直线与平面所成的角， 依题意，， 设， 则， ，（13分） 在中，根据余弦定理，， 由，得， 因此，整理得，即， 解得或，因为，所以.（17分） 方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：， 所以，，（12分） 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 取平面的法向量， 则，（15分） 整理得，即，解得：或（舍）， 所以，所以.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $