精品解析：吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

2024-2025学年度下学期高一第一次月考 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故选：B. 2. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为， 故选：A． 3. 在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将、向量都用、表示出来，再利用平面向量基本定理列方程组可求的取值. 【详解】因为、、三点共线，点是中点，所以, 又因为是上靠近点三等分点，所以, 且因为，则, 即,消可解得. 故选：. 4. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 5. 在三角形中，，，，则（   ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求解出角，然后由内角和定理求解角即可. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以， 结合内角和定理，所以. 故选：B 6. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量减法，向量的数量积及向量共线的坐标表示的公式即可求解. 【详解】因为，，所以. 又与的夹角为锐角，所以，且与不共线， 则，解得，且. 即x的取值范围为. 故选：C 7. 已知正三角形的边长为2，点满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得的表达式，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为，所以， ， 故选：C 8. 若是复数，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由条件结合复数的几何意义确定复数在复平面上的对应点为的轨迹，结合复数模的几何意义求结论. 【详解】设，则复数在复平面上的对应点为， 因为， 所以，故， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：B． 二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分，选错不得分） 9. 下列说法正确的是（   ） A. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为 B. 在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则 C. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为 D. 已知为坐标原点，向量，，（点不重合）满足，，若平面内点满足，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A 项，根据正弦定理结合已知即可得出的取值范围；对于B项，过点分别作，，结合已知可得出分别为的中点，进而得出，，然后结合图形得出，根据数量积的运算律即得；对于C项，根据向量平行得出，根据余弦定理件推得，进而根据面积公式即得三角形的面积；对于D项，根据已知可得出为直角三角形，且，进而化简可得出，然后分同向以及反向即得. 【详解】对于A 项，由已知可得. 由正弦定理可得，. 因为满足条件的三角形有两个， 所以，即，解得. 综上可得，，故A正确； 对于B项，如图1，点为的外心，过点分别作，，垂足分别为. 因为点为的外心， 所以，均等腰三角形. 又，， 所以点分别为的中点，即. 所以，， . 由可得，， 所以. 所以，. 故B错误； 对于C项，由可得，， 整理可得. 根据余弦定理可知，即， 代入整理可得， 所以的面积为，故C错误； 对于D项，由可得. 又， 所以为直角三角形，且点为的外心， 所以点为斜边的中点， 所以， 所以，. 又， 当同向时，有最小值， 且； 当反向时，有最大值， 且 综上所述，的取值范围是. 故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（   ） A. 复数的虚部是 B. 复平面内的对应点位于直线上，则 C. 在中，若内角的对边分别为，，则为直角三角形 D. 设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，对复数化简，求出虚部判断A；对于B，根据复数的几何意义，求出复平面中的点，代入直线方程，求得，判断B；对于C，应用二倍角公式和两角和正弦公式，以及正弦定理化简，判断C；对于D，利用两角和的正弦公式，和辅助角公式化简，求出，再利用，求出，引用基本不等式求出，进而求出面积最小值，判断D. 【详解】对于A，，所以虚部为，故A错误； 对于B，复平面内的对应点位于直线上， 所以，解得，故B正确； 对于C，因为，所以，化简得， 即，应用正弦定理化简得，即， 即，即，因为在中，， 所以，所以，所以为直角三角形，故C正确； 对于D，因为，即， 即，即，因，所以， 所以，即，如图 ，所以， 即，即，即，当且仅当时等号成立， 所以，则面积的最小值是，故D正确； 故选：BCD. 11. 点在所在的平面内，（ ） A. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心 B. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心 C. 若，，分别表示，的面积，则 D. 已知三个内角，，的对边分别是，，，若，则点为的内心（内切圆圆心） 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，设的中点为，连，利用正弦定理推出与共线，可判断A； 对于B，根据A可判断B； 对于C，设、的中点分别为、，由得到，再根据三角形的面积关系可判断C； 对于D，延长交于，由得到，根据共线向量定理可得，得为的平分线，同理得为的平分线，为的平分线，由此可判断D. 【详解】对于A，设的中点为，连，如图： 因为，所以， 所以，即与共线， 所以动点的轨迹一定经过的重心，故A不正确； 对于B，由A可知，只有当时，动点的轨迹才经过的重心，故B不正确； 对于C，因为，所以， 设、的中点分别为、，则， 所以，故C正确； 对于D，延长交于， 因为，所以， 所以， 设，，则， 因为与不共线，所以，， 所以，即，所以，即， 所以为的平分线，同理得为的平分线，为的平分线， 所以为的内心.故D正确. 故选：CD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________. 【答案】 ①. 0 ②. 3 【解析】 【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， . 故答案为：0；3. 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 14. 已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】将转化为，进而转化为研究最小值问题，利用正六边形的几何性质求解即可. 【详解】 如图所示，由正六边形的几何性质可知，均是边长为4的等边三角形， ， 又,， 当点P位于正六边形各边的中点时，取最小值， 如图为中点，连接，则, 此时， 即的最小值为 8． 故答案为：8． 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15. 已知向量，且． （1）求向量与的夹角； （2）求的值； （3）若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件，代入计算即可； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【小问1详解】 由得，，设向量与的夹角为， ，解得， 所以向量与的夹角． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 由向量与互相垂直得，， 所以，即，解得或． 16. 如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． （1）求中线AM的长； （2）求的余弦值； （3）求面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解； （2）转化为向量夹角余弦值可解； （3）运用重心的性质，结合面积公式可解. 【小问1详解】 因为为BC的中点，， ， . 【小问2详解】 因为 , ， . 【小问3详解】 为中线的交点，为重心， ， ，， . 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】(1) [方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得， 此时就变． 由诱导公式得，所以． 在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2) [方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 则． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知的面积． 因为为锐角三角形，且， 所以即 又由余弦定理得，所以即， 所以，故面积的取值范围是． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点． 由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且， 所以点C位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以， 故面积的取值范围是． 【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法； 方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围； 方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用. 18. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【小问1详解】 方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. 【小问2详解】 方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 19. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 【答案】（1）该人工圆形湖泊的直径为米 （2）四边形ABCD面积的取值范围为（平方米） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直径； （2）利用三角形面积公式求得，利用四点共圆性质及余弦定理，结合基本不等式求得的最大值(，)，进而得到的最大值，从而得到四边形ABCD面积的取值范围. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 即， 故米． 设该人工圆形湖泊的半径为R， 故， 所以该人工圆形湖泊的直径为米． （2）易得， 因为A，B，C，D四点共圆，所以， 设，，由余弦定理可得， 所以， 当且仅当时取等号， 故四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期高一第一次月考 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A 2 B. 8 C. 9 D. 18 5. 在三角形中，，，，则（   ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知向量，，若与夹角为锐角，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三角形的边长为2，点满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 8. 若是复数，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分，选错不得分） 9. 下列说法正确的是（   ） A. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为 B. 在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则 C. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为 D. 已知为坐标原点，向量，，（点不重合）满足，，若平面内点满足，则的取值范围是 10. 下列说法正确的是（   ） A. 复数的虚部是 B. 复平面内对应点位于直线上，则 C. 在中，若内角的对边分别为，，则为直角三角形 D. 设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是 11. 点在所在的平面内，（ ） A. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心 B. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心 C. 若，，分别表示，的面积，则 D. 已知三个内角，，的对边分别是，，，若，则点为的内心（内切圆圆心） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________. 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 14. 已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为________. 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15. 已知向量，且． （1）求向量与的夹角； （2）求的值； （3）若向量与互相垂直，求k的值． 16. 如图，在中，已知边上两条中线AM，BN相交于点． （1）求中线AM的长； （2）求的余弦值； （3）求面积． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 18. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 19. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$