精品解析：四川省雅安市2024-2025学年高三下学期第二次诊断性考试（4月二模）数学试卷

雅安市高2022级第二次诊断性考试试题 数学 本试卷满分150分，答题时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：C. 2. 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，逐一判断即可确定答案. 【详解】对于A，令，，而， 则，，所以是非奇非偶函数，故A错误； 对于B，令，，又， 所以是偶函数，故B错误； 对于C，令，，又， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算计算即可. 【详解】由，得. 故选：B. 4. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标公式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：A. 5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求出与的值，进而求出首项和公差，再根据等差数列的前项和公式求出，最后得出的表达式. 【详解】已知是等差数列，根据等差数列的性质可得，则. 又因为，所以，解得.  设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式，可得.解得，.  根据等差数列的前项和公式可得.  将代入可得：.  故选：D. 6. 已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作正四棱锥，为底面中心，由数据判断其外接球球心在高的延长线上，设球心为，在内，根据勾股定理求得外接球半径即可． 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，设为E，连接EC， 则球的半径，则， 则在内，由可得， 解得，故正四棱锥外接球的体积为﹒ 故选：B． 7. 已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分焦点在轴和轴上两种情况讨论，结合渐近线公式及离心率公式求解即可. 【详解】当焦点在轴上时，则， 所以； 当焦点在轴上时，则，所以 所以， 综上所述，该双曲线离心率的取值范围是. 故选：D. 8. 已知，且，对于任意均有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为，所以且， 设，则的零点为， 当时，则，，要使，必有，则，不合题意； 当时，则或，即或; 综上一定有. 故选：B. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项：用周期公式计算判断. 对于B选项：先求对称轴方程，令解出，再看取整数时能否得到，判断. 对于C选项：先找出余弦函数单调递增区间，当时，该范围包含，判断. 对于D选项：根据“左加右减”原则，得，再用诱导公式得出，判断即可. 【详解】对于选项A，在函数中， 的最小正周期，故选项A正确. 对于选项B，对于余弦函数，其对称轴方程为. 令，解得.令，解得，故选项B错误. 对于选项C，对于余弦函数，其单调递增区间为. 令，解不等式得： 当时，，所以在上单调递增，故选项C正确. 对于选项D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.化简. 根据诱导公式，可得，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最大值为6 C. 点到直线的距离的最大值为2 D. 设直线与曲线的另一个交点为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设动点，根据题设列方程化简即可判断A；结合圆的几何性质判断BC；分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论求解，进而判断即可. 【详解】对于A，设动点，则由， 得， 化简得：，即，故A正确； 对于B，点的轨迹为以为圆心，半径的圆， 则，所以的最大值为，故B正确； 对于C，要使点到直线的距离最大，则直线与圆相切， 设此时直线的方程为，即， 则，解得， 则直线与圆相切时， 直线的方程为，即， 此时点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为，故C错误； 对于D，当直线的斜率不存在时，满足； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设， 联立，得， 则， 则 ， 所以直线与直线的倾斜角互补，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 某次考试结束后，甲、乙两人去询问分数.老师对两人说：你们的分数相同，是一个两位的素数，并将这个素数的十位、个位数字分别告诉甲、乙.两人写出所有两位素数（11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97）后，对话如下： 甲：我不知道这个素数是多少. 乙：我早就知道你不可能知道. 甲：我还是不知道. 乙：我也早就知道你刚才不可能知道. 甲：我现在知道了. 则这个素数（ ） A. 不是97 B. 十位数字不是3，6 C. 是43 D. 是73 【答案】ABC 【解析】 【分析】将所有两位素数列表，然后 再逐一分析五句话，利用排除法进而可得出答案. 【详解】将所有两位素数列表如下： 1 3 7 9 1 11 13 17 19 2 23 29 3 31 37 4 41 43 47 5 53 59 6 61 67 7 71 73 79 8 83 89 9 97 第一句话：甲不知道说明不是，故A正确； 第二句话：乙笃定甲不知道，说明个位数不是，排除， 第三句话：甲回答还是不知道，说明十位数不是，排除，故B正确； 第四句话：乙还是笃定刚才甲不知道，说明个位数不是， 第五句话：甲回答知道了，说明该素数十位数划去列后剩下唯一素数， 只有满足条件，故C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上. 12. 椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意及椭圆的定义求出，即可得解. 【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上，设其标准方程为， 由题意可知焦距， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 展开式中含项的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先写出的展开式通式，然后根据的次数选择对应的系数计算即可. 【详解】对于，其展开式的通式为， 则展开式中含项的系数为 故答案为：. 14. 在公比不为1的正项等比数列中，若，且有成立，则______. 【答案】10或4049 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由，可得，利用通项公式化简条件等式，可得即可求解. 【详解】设等比数列的公比为且， 由，则，故， 又， ， ，即， ，又， ， ， 化简整理得，即， 解得或，均满足. 故答案为：或. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房： 日期 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 累计票房（亿元） 4.88 9.68 15.87 23.19 31.32 39.76 48.43 日期 2月5日 2月6日 2月7日 日期代码 8 9 10 累计票房（亿元） 54.92 60.78 66.20 （1）请根据这10日数据： （i）计算，的平均值，； （ii）求关于的经验回归方程； （2）用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？ 附： 参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； 参考数据：，. 【答案】（1）（i），；（ii） （2）上映半年后的票房为亿元，预测结果不合理，理由如下: 由（1）知，， 当时，， 则预测该电影上映半年后的票房为亿元， 这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快， 随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓， 而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系， 不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势， 所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的. 【解析】 【分析】（1）（i）根据平均数的定义及参考数据计算即可； （ii）根据参考公式计算即可； （2）根据，代值计算即可得到预测结果，再结合变量的变化趋势判断是否合理. 【小问1详解】 由题意，， ， ， 则， ， 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 用这个方程预测半年后的票房是不合理，理由略. 16. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解； （2）利用正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，再根据三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为在锐角中， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， 所以，所以 所以. 17. 已知函数. （1）若，，求的单调区间和极值； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1）函数的增区间为，减区间为， 函数的极小值为，无极大值； （2）证明：若，则， 则， 当时，函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在唯一实数，使得，即， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即可； （2）利用导数求出函数的最小值即可得证. 【小问1详解】 若，，则， 则， 令，得，令，得， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 略 18. 如图，已知四面体中，，，，平面平面. （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小. 【答案】（1） 过作，交于，因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）存在，，理由如下： 由（1）得，又平面， 所以平面，因为， 故， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，设， 所以， 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得，故为的中点， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）过作，交于，根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可； （3）分别列举出相互垂直的棱、相互垂直的面和一个面垂直不在此面上的一条棱的基本事件，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 6条棱中任选2条，共有种情况，其中相互垂直的棱有5对： ，故， 4个面任选2个面，共有种情况，其中相互垂直的面有3对： 平面平面，平面平面，平面平面， 故。 任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有种情况， 再从不在此面上的3条棱中选1条，有种情况，故共有种情况， 其中满足垂直关系的有2种，分别为平面和棱，平面和棱， 故， 所以． 19. 已知抛物线：. （1）若点为抛物线上一点，证明：抛物线在点处的切线方程为； （2）设，是抛物线：上两点，过点，分别作的切线交于点，点，分别在线段，的延长线上，直线与抛物线相切于点. （i）证明：； （ii）记，的面积分别为，，求的值. 【答案】（1） 二次函数，求导得，抛物线在点切线的斜率为， 则切线方程为，而，整理得， 所以抛物线在点处的切线方程为. （2）（i）令，设点的横坐标分别为， 由（1）知，直线的方程分别为，，， 联立， 因此，同理， 所以. （ii）2. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程得证. （2）（i）利用（1）的结论，设出切点坐标，求出直线的方程，两两联立求出点的横坐标即可推理得证；（ii）令，利用割补法，结合三角形面积比列式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i），令， 则， ， ， ， ， 所以的值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安市高2022级第二次诊断性考试试题 数学 本试卷满分150分，答题时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，对于任意均有，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则 10. 已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最大值为6 C. 点到直线的距离的最大值为2 D. 设直线与曲线的另一个交点为，则 11. 某次考试结束后，甲、乙两人去询问分数.老师对两人说：你们的分数相同，是一个两位的素数，并将这个素数的十位、个位数字分别告诉甲、乙.两人写出所有两位素数（11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97）后，对话如下： 甲：我不知道这个素数是多少. 乙：我早就知道你不可能知道. 甲：我还是不知道. 乙：我也早就知道你刚才不可能知道. 甲：我现在知道了. 则这个素数（ ） A. 不是97 B. 十位数字不是3，6 C. 是43 D. 是73 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上. 12. 椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为______. 13. 展开式中含项的系数为___________. 14. 在公比不为1的正项等比数列中，若，且有成立，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房： 日期 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 累计票房（亿元） 4.88 9.68 15.87 23.19 31.32 39.76 48.43 日期 2月5日 2月6日 2月7日 日期代码 8 9 10 累计票房（亿元） 54.92 60.78 66.20 （1）请根据这10日数据： （i）计算，的平均值，； （ii）求关于的经验回归方程； （2）用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？ 附： 参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； 参考数据：，. 16. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 17. 已知函数. （1）若，，求的单调区间和极值； （2）若，证明：当时，. 18. 如图，已知四面体中，，，，平面平面. （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小. 19. 已知抛物线：. （1）若点为抛物线上一点，证明：抛物线在点处的切线方程为； （2）设，是抛物线：上两点，过点，分别作的切线交于点，点，分别在线段，的延长线上，直线与抛物线相切于点. （i）证明：； （ii）记，的面积分别为，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $