精品解析：河南省部分学校2024-2025学年高二下学期4月质量检测数学试卷

2024~2025学年度4月质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第七章、选择性必修第二册第一章～第二章4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 3. 已知函数在处可导，且，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 4. 已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（ ） 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A. B. C. D. 5. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. 11 B. C. 10 D. 5 7. 为落实中央一号文件《中共中央、国务院关于进一步深化农村改革、扎实推进乡村全面振兴的意见》，某农村合作社拟引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.4倍再减去4.已知第一年（2024年）合作社该农产品的销售额为100万元，则按照计划合作社从2024年到2033年该农产品的销售总额约为（参考数据：）（ ） A. 6384万元 B. 6374万元 C. 6284万元 D. 6274万元 8. 设两个等比数列，的前项和分别为，.若，则（ ） A. 18 B. 162 C. 54 D. 81 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，的最小值为13 11. 记数列满足：，，为的前项和，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若为奇数，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 13. 已知，则______. 14. 记为不超过的最大整数，已知各项均为正数的数列满足：，且，为的前项和，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 16. 某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验.甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法.学期末，对两个学校的高一年级的学生期末考试成绩进行了分析，成绩分为优秀（550分及以上）和非优秀（550分以下）两个等级，以下是实验结果的列联表： 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 150 乙校 200 合计 270 400 （1）请根据以上信息，完成列联表； （2）根据列联表中的数据，使用卡方检验判断是否有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关？ 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ，其中，是总样本数. 17. 已知曲线.若曲线在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 18. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）若恒成立，求的值. 19. 已知数列的首项为3，且满足，令. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度4月质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第七章、选择性必修第二册第一章～第二章4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的平均变化率的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由平均变化率的计算公式，可得平均变化率为. 故选：D. 2. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，令，求得的值，即可得到答案. 【详解】由数列，可得数列的通项公式为， 令，解得，所以是这个数列的第10项. 故选：C. 3. 已知函数在处可导，且，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据极限的运算法则，求得，得到的值，得到答案. 【详解】由， 可得，即. 故选：B. 4. 已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（ ） 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心点，将其代入回归直线方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】由表格中的数据，可得，， 又样本中心点必在线性回归直线上，将代入回归直线方程， 可得，解得. 故选：D. 5. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义即可求解. 【详解】由题知， 所以， 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故选：B. 6. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. 11 B. C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得，结合等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由，可得，整理得，解得， 所以，则，故. 故选：B. 7. 为落实中央一号文件《中共中央、国务院关于进一步深化农村改革、扎实推进乡村全面振兴的意见》，某农村合作社拟引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.4倍再减去4.已知第一年（2024年）合作社该农产品的销售额为100万元，则按照计划合作社从2024年到2033年该农产品的销售总额约为（参考数据：）（ ） A. 6384万元 B. 6374万元 C. 6284万元 D. 6274万元 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，得出数列是首项为90，公比为1.4的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】设该合作社在2024年，2025年，…，2033年的销售额分别为， 由题意，可得的，则， 又因为，所以数列是首项为90，公比为1.4的等比数列， 则，即， 所以， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为万元. 故选：A. 8. 设两个等比数列，的前项和分别为，.若，则（ ） A. 18 B. 162 C. 54 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式及求和公式求解计算即可. 【详解】设，的公比分别为，， 若，，则，， 则，即， 所以，可得，得. 所以，，满足. 所以，. 所以. 同理可得，时也可以得到. 当，时，，，则，故舍去. 当，时，，显然不符合题意，综上所述，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式，以及导数的运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D错误. 故选：AD. 10. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，的最小值为13 【答案】AB 【解析】 【分析】在等差数列中，由，得到，可判定A正确；由，得到等差数列为递减数列，可判定B正确；由，可判定C错误；由等差数列的求和公式，得到当时，，当时，，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为数列为等差数列，且，可得，即，故A正确； 对于B中，因为，可得等差数列的公差，所以等差数列为递减数列，即，故B正确； 对于C中，因为，故C错误； 对于D中，当时，；当时，，即， 当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，， 所以当时，的最小值为14，故D错误. 故选：AB. 11. 记数列满足：，，为的前项和，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若为奇数，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由数列的递推公式，逐项计算，求得，可判定A正确；当时，求得，结合，可判定B错误；根据并项求和，以及等差数列的求和公式，可判定C正确；当为奇数，推得，结合数列的周期性，求得和，再由时，求得，可得判定D正确. 【详解】对于A中，当时，，因为，可得； 当时，，可得，所以A正确； 对于B中，当时，可得，又由，所以B错误； 对于C中，当为奇数时， ，所以C正确； 对于D中，当为奇数，，， 两式作差，可得， 因为，所以，，，，…，所以，， 当时，，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 【答案】甲 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由甲、乙、丙的两个随机变量的线性相关系数分别为， 可得，所以这三人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故答案为：甲. 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】对函数求导可求得，代入计算即可. 【详解】由，得， 令，可得，得， 所以， 可得. 故答案为： 14. 记为不超过的最大整数，已知各项均为正数的数列满足：，且，为的前项和，则______. 【答案】18 【解析】 【分析】根据题意，得出是等差数列，求得，由，得到，结合裂项消去法，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由数列满足：，可得，且， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，故， 因为，所以当时，， 即， 所以 ， 所以， 综上所述，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义以及等比数列性质列方程计算可得公差，可求得通项公式； （2）利用等差等比前项和公式代入计算可得结果. 【小问1详解】 设公差为，则，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 所以或0（舍去）. 故； 即的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可得， 16. 某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验.甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法.学期末，对两个学校的高一年级的学生期末考试成绩进行了分析，成绩分为优秀（550分及以上）和非优秀（550分以下）两个等级，以下是实验结果的列联表： 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 150 乙校 200 合计 270 400 （1）请根据以上信息，完成列联表； （2）根据列联表中的数据，使用卡方检验判断是否有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关？ 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ，其中，是总样本数. 【答案】（1） 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 150 50 200 乙校 120 80 200 合计 270 130 400 （2）有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关.【解析】 【分析】（1）分析数据，完善列联表，得到答案； （2）计算出卡方，与7.879比较后得到答案. 【小问1详解】 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 150 50 200 乙校 120 80 200 合计 270 130 400 【小问2详解】根据列联表中的数据，得到 ， 故有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关. 17. 已知曲线.若曲线在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）， （2）和 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义以及切线斜率计算可得，的值； （2）设切点，由经过点解方程可得或，即可得出直线方程. 【小问1详解】 易知，因为，， 所以在处的切线方程为， 即， 所以，， 可得，； 【小问2详解】 由（1）可知， 设切点坐标为，则， 故切线方程为， 因为切线过，所以，即， 所以或， 当时，切线斜率为3，此时切线方程为； 当时，切线斜率为，此时切线方程为； 故过点且与曲线相切的直线方程为和， 即和. 18. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）若恒成立，求的值. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，再由时，得到，两式相减，求得，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）知：，结合乘公比错位相减法求和，即可得到答案； （3）由（1）知，化简，得出数列的单调性，得到恒成立，结合恒成立，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列满足， 当时，可得； 当时，由， 可得， 两式相减，可得，所以， 又因为满足上式，所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 则 两式相减，可得 ， 所以，即数列的前项和. 【小问3详解】 解：由（1）知：， 则， 当时，可得，即； 当且时，可得，即， 综上可得：恒成立， 因为恒成立，所以. 19. 已知数列的首项为3，且满足，令. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由数列满足，可得， 因为，可得，即， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2） （3）不存在，理由： 由题意，可得，即，解得， 假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，即，则， 又因为，可得，整理得，则， 这与互不相等矛盾， 所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，进而得到，进而得到为等比数列，得出数列的通项公式； （2）由（1）得，分和，两种情况讨论，结合等差数列的求和公式，即可求解； （3）根据题意，求得，假设在数列中存在不相同的3项成等比数列，得到，列出方程求得，与互不相等矛盾，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知；数列的通项公式为，可得， 当且时，，当且时，， 所以当时， ； 当时， ， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $