精品解析：贵州省贵阳市修文县贵阳修文北实新世纪学校2024-2025学年高二下学期4月期中质量监测数学试题

贵阳市修文北实新世纪实验学校2025-2026学年高二期中质量监测卷 数学试题 2025年4月 注意事项： 1、本场考试时间为120分钟，试题卷共5页，满分150分，答题卡共4页. 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合集合的补运算，直接求解即可. 【详解】集合，又，故. 故选：C. 2. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算先求复数，进而得，即可运算. 【详解】由有. 故选：A. 3. 某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用简单随机抽样的定义，即可求解. 【详解】总体有个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为， 故选：D. 4. 下列两个函数为同一函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】同一函数要满足中两个条件：第一：定义域相同，第二：对应关系完全一致，根据两个条件即可判断. 【详解】对于选项A，定义域为，定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故A不符合题意； 对于B，定义域为，定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故B不符合题意； 对于C，定义域为，函数定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故C不符合题意； 对于D，定义域为，定义域为，且，函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故D符合题意. 故选：D. 5. 设函数是奇函数.若函数，，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得，再利用赋值法由代入计算可得结果. 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：B 6. 某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中，从而得到选手能进入第三关的事件为，再由互斥事件及独立事件乘法公式求解即可； 【详解】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中． 由题意知选手能进入第三关的事件可表示为：， 所以选手能进入第三关的概率： ． 故选：C． 7. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为1的圆锥，所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似可得原圆锥的高，进而利用圆锥的体积公式即可求解. 【详解】由已知，设原圆锥的高为，则，所以， 因为， ， 所以． 故选：A． 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可. 【详解】, 由于， 当且仅当，即取等号. 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对进行变形，然后结合进行配凑放缩，即可求出最值. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分） 9. 已知函数．则能够使得变成函数的变换为（ ） A. 先横坐标变为原来的，再向左平移 B. 先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C. 先向左平移，再横坐标变为原来的 D. 先向右平移，再横坐标变为原来的 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象变换过程即可得出结果. 【详解】先将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象；再将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，故选项A正确，选项B错误； 先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项C正确； 先将的图象向右平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项D正确. 故选：ACD 10. 在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 11. 莱昂哈德•欧拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是（ ） 注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体 A. 若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥 B. 存在7条棱的多面体 C. 存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同 D. 若某凸多面体每个面都是边长为1的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同，则面数的所有可能取值为6，7，12 【答案】AD 【解析】 【分析】将选项代入公式计算推导可判断AB选项；C选项，假设存在，可设有x个五边形，y个六边形，根据多边形的特点计算顶点数，根据多边形内角和列出不等式求解可判断；D选项，从每个面都是正方形，每个面都是五边形，以及既有正方形又有五边形三个角度分别讨论，分别计算顶点数，棱数求解是否存在相应的面数可判断. 【详解】A选项：代入欧拉公式得，故为六棱锥，A正确； B选项：若，则，而V，，故，或，，无论哪种情况都无法形成多面体，B错误； C选项：任意相邻两个面的边数都不同，因此每个顶点至少连接4个面，设共有x个五边形，y个六边形，则（数遍每个五边形的5个顶点和每个六边形的6个顶点，则该多面体每个顶点都被至少数了4遍），考虑所有多边形的内角和，注意每个顶点所连接的内角之和小于，故，整理得无解，C错误； D选项：①若每个面都是正方形，则每个顶点连接3个面（正方形内角为90°），每条棱连接2个面，故，，代入得，此时为正方体， ②若每个面都是正五边形，则每个顶点连接3个面数（正五边形内角为108°）， 每条棱连接2个面，故，，代入得，此时为正十二面体， ③若即存在正方形又存在正五边形，则每个顶点连接3个面，每条棱连接2个面，设共有m个正方形，n个正五边形，则，，代入欧拉公式得， 因为每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同，故每个顶点要么连接2个正方形1个五边形，要么连接1个正方形2个五边形， （i）若每个顶点连接2个正方形1个五边形，则，，解得，，，此时为侧面为正方形的正五棱柱， （ii）若每个顶点连接1个正方形2个五边形，此时考虑某个五边形，其5条边每条边相连的面一定是五边形正方形间隔环形排列，而5是奇数，不可能； 因此符合题意的简单凸多面体的面数只可能为6，7，12，D正确. 故选：AD 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数为偶函数，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，对于定义域内的任意，都有，通过这个等式来求解的值. 【详解】已知为偶函数，则，即. 对进行化简： 将其代入可得： 得到：,可得： 因为上式对于定义域内的任意都成立，所以，解得. 故答案为：. 13. 天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281 9522 0018 7472 0129 3879 5869 2436 8460 3990 9533 7980 2692 8280 0753 8425 8935 3882 7890 5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为______. 【答案】##0.45 【解析】 【分析】结合表中数据根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有3281，9522，0018，0129，8460，9533，2692，0753，8425，共9组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为. 故答案为： 14. 设集合，对和，定义：．已知集合是的子集，对任意，满足：当，时，为偶数，否则为奇数，则中元素个数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先列举出两个元素和的取值，再结合条件，进行分类讨论，即可求解. 【详解】集合中任取两个元素和对应坐标计算结果如下表： 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 因为当，时，为偶数，所以集合中任一元素含有1的个数为0，2或4， 分别如下：①；②，，，，，；③， 根据题意，可知集合中至多含以上8个元素．当和不同时，因为为奇数， 所以和的四个对应位置都为1的恰有1个或3个， 若含有第①类或第③类元素，则中至多1个元素， 若中含第②类元素，不妨设，则第①和③类的两个元素不在中， 对于第②类元素中，不在中，其余都可以是的元素， 同理可得，不同时在N内，，不同时在N内， 所以集合中元素个数的最大值为3， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 一个单摆如图所示，以为始边，为终边的角（）与时间t（单位：s）的函数满足. （1）时，角是多少？ （2）单摆频率是多少？ （3）单摆完成5次完整摆动共需多长时间？ 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）代入解析式直接求解； （2）先求周期，再求频率； （3）根据周期直接求解. 【详解】. （1）时，. （2）因为,所以单摆频率. （3）因为单摆的周期为，所以单摆完成5次完整摆动共需时间为：. 16. 为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. （1）求a的值； （2）估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； （3）估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【答案】（1） （2）众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60 （3）第70的分位数为75.83 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图面积为1，求解即可； （2）由众数、中位数、平均数的计算公式即可求解； （3）由百分位数的计算公式即可求解； 【小问1详解】 由，解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 则有，解得. 所以中位数为67.69. 这次数学考试的平均成绩为 . 【小问3详解】 成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内， 所以第70的分位数为. 17. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． （1）求证：； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） 由，得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合和角差角公式变形计算即可； （2）运用正弦定理边角互化，再结合余弦函数性质，结合换元法和二次函数性质计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以即解得． 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 18. 如图，平面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行的传递性得到，即可求证； （2）连接，则由已知可证得平面，从而得为和平面所成的角，然后在Rt中求解. 【小问1详解】 ∵分别为的中点， ∴ ． 又∵， ∴． 又不在平面内，在平面内， ∴平面． 【小问2详解】 连接. 为的中点，且. 平面平面， ∴， ∵， ∴， ∵，平面， 平面， ∵平面， 由（1）有， 又四边形为平行四边形， ∴， ∵，平面. 平面. 为和平面所成的角. 由得， 在Rt中，， 和平面所成角的正弦值为. 19. 设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． （1）试判断集合是否具有性质？并说明理由； （2）若集合，证明不可能具有性质； （3）若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【答案】（1）具有性质，理由见解析 （2）证明见解析 （3）至多只有5个，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义判断是否具有性质即可； （2）利用反证法，假设具有性质，可得集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾，从而得证； （3）分①5，6，7同时选，②5，6，7选2个，③5，6，7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义求解即可. 【小问1详解】 ∵，，，，， ∴具有性质． 【小问2详解】 假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． 【小问3详解】 ．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市修文北实新世纪实验学校2025-2026学年高二期中质量监测卷 数学试题 2025年4月 注意事项： 1、本场考试时间为120分钟，试题卷共5页，满分150分，答题卡共4页. 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（ ） A. B. C. D. 4. 下列两个函数为同一函数的为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数是奇函数.若函数，，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 6. 某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为1的圆锥，所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分） 9. 已知函数．则能够使得变成函数的变换为（ ） A. 先横坐标变为原来的，再向左平移 B. 先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C. 先向左平移，再横坐标变为原来的 D. 先向右平移，再横坐标变为原来的 10. 在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. B. C. D. 11. 莱昂哈德•欧拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是（ ） 注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体 A. 若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥 B. 存在7条棱的多面体 C. 存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同 D. 若某凸多面体每个面都是边长为1的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同，则面数的所有可能取值为6，7，12 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数为偶函数，则实数___________. 13. 天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281 9522 0018 7472 0129 3879 5869 2436 8460 3990 9533 7980 2692 8280 0753 8425 8935 3882 7890 5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为______. 14. 设集合，对和，定义：．已知集合是的子集，对任意，满足：当，时，为偶数，否则为奇数，则中元素个数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 一个单摆如图所示，以为始边，为终边的角（）与时间t（单位：s）的函数满足. （1）时，角是多少？ （2）单摆频率是多少？ （3）单摆完成5次完整摆动共需多长时间？ 16. 为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. （1）求a的值； （2）估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； （3）估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 17. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． （1）求证：； （2）若，求周长的取值范围． 18. 如图，平面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 19. 设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． （1）试判断集合是否具有性质？并说明理由； （2）若集合，证明不可能具有性质； （3）若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $