精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年度上学期阶段质量检测 八年卷 一、单选题 1. 三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 20个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分当第二长的边为8时，当第二长的边为7时，当第二长的边为6时，当第二长的边为5时，四种情况根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的长即可得到答案． 【详解】解：当第二长的边为8时，则最短的边可以为1或2或3或4或5或6或7或8，此时有8种情况满足题意； 当第二长的边为7时，则最短的边可以为 2或3或4或5或6或7，此时有6种情况满足题意； 当第二长的边为6时，则最短的边可以为或3或4或5或6，此时有4种情况满足题意； 当第二长的边为5时，则最短的边可以为4或5，此时有2种情况满足题意； ∴共有中情况满足题意， 故选；D． 2. 如图，，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D， ∴， ∵ ∴. 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形找出对应边． 3. 三根木棒围成一个三角形，已知其中两根木棒长分别为5和2，第三根木棒长是偶数，则第三根木棒的长度可能有（ ）种 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可求得第三边的取值范围，再求得其中的偶数的个数即可求得答案． 【详解】解：设第三根木棒的长度为xcm， 由三角形三边关系可得5-2＜x＜5+2， 即3＜x＜7， 又x为偶数， ∴x的值为4，6共2种， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围是解题的关键． 4. 如图，将长方形沿折叠．如果，那么等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平角的定义，求出，利用折叠的性质，得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查折叠问题．熟练掌握折痕是角平分线，是解题的关键． 5. 以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（ ） A. 3，6，9 B. 3，5，9 C. 2，6，4 D. 4，6，8 【答案】D 【解析】 【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可：三角形三边长要满足两边之和大于第三边，两边只差小于第三边． 【详解】解：A．∵，∴3，6，9不能构成三角形，该选项不符合题意； B．∵，∴3，5，9不能构成三角形，该选项不符合题意； C．∵，∴2，6，4不能构成三角形，该选项不符合题意； D．∵，∴4，6，8能构成三角形，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 6. 点A(4，−8)关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：点A(4，−8)关于y轴的对称点的坐标是：（-4，-8）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 7. 等腰的底边，且，则的长为（ ） A. 8cm或4cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm或6cm 【答案】A 【解析】 【分析】求出AC−BC＝±2 cm，根据底边BC为6cm可得答案． 【详解】解：∵|AC−BC|＝2cm， ∴AC−BC＝±2 cm， ∵BC＝6cm， ∴AC＝4cm或8cm， 当腰长为4cm时，4+4＝8＞6，符合三角形的三边关系定理， 当腰长为8cm时，6+8＝14＞8，符合三角形的三边关系定理， 即AC＝4cm或8cm均符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的意义，三角形的三边关系定理，等腰三角形的定义，三角形的三边关系定理即任意两边之和大于第三边． 8. 空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，准确利用三角形外角性质是解题的关键．直接利用三角形外角的性质求出，再利用平行线的性质得出即可； 【详解】解：如图所示：延长交于点F， ∵， ∴． ∵， ∴， 故选：C． 9. 平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于y轴的对称点为（a，b），则ab的值为（　　） A. 1 B. C. ﹣2 D. ﹣ 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：∵点（2，﹣1）关于y轴的对称点为（a，b）， ∴a＝﹣2，b＝﹣1， ∴ab的值为＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了点关于坐标轴的对称，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴的对称横坐标互为相反数，纵坐标不变，熟练掌握点坐标关于坐标轴的对称特点是解题的关键. 10. 在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理． 【详解】解：A. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰三角形，故该选项正确，符合题意； D. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11. 如图，，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且为等腰三角形，则的度数为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】为等腰三角形，要分类讨论：情况一，当时， ，，，由此即可求解；情况二，当时，，，由此即可求解；情况三，当时，点与点重合，不符合题意． 【详解】解：情况一：当时， ∴， 在中，将沿折叠， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 情况二：当时， ∴， 同理可知， ∴； 情况三：当时，点与点重合，不符合题意． 综上所述，的度数是或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 12. 如图，在中，垂直平分，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，即可得出结论． 【详解】解析：∵垂直平分， ∴ ∵，∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：22.5°． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 13. 如图，等腰三角形中，底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，根据题意得，再结合三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的最小值为． 【详解】解：连接AD，如下图： ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的最小值为， 即最小值为， 故答案为：． 14. 如图，已知，点在射线上运动，点在射线上运动．和的角平分线交于点，、分别为、上的点，和的角平分线交于点．若点A、B在运动过程中，存在中有一个角是另一个角的2倍，则的度数为______． 【答案】或，， 【解析】 【分析】根据三角形的外角与角平分线求出的度数，同理可得的度数，根据中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论． 【详解】，， ， 平分，平分， ， ， ， 同理可得． 中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论： ①若， 则的内角和为， 这与三角形的内角和定理矛盾，故． ②若，则 ， 又， ． ③若，则 ， 又， ． ④若， 则的内角和为， 这与三角形的内角和定理矛盾，故． ⑤若，则 ， ， 平分， ，此时点C与点E重合，符合题意， ∴． ⑥若，则 ， ， 平分， ，此时点D与点E重合，符合题意， ∴． 综上所述：或． 故答案为：或，， 【点睛】本题考查三角形的内角、外角，角平分线，分类讨论思想，其中分类讨论是解题的关键． 15. 如图，以正五边形的一边为边，在正五边形内作等边，连接，则 （1）是否垂直？______．（填“是”或“否”）； （2）的度数是______． 【答案】 ①. 是 ②. 84度 【解析】 【分析】（1）先利用等边三角形的性质，证明，再利用三角形全等得到，可知是的垂直平分线，即可知； （2）先求出，再用周角减去，，，除以2即可 【详解】（1）如图，连接， ∵五边形是正五边形 ∴， ∵在和中 ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴是的垂直平分线 ∴ （2）∵是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查正五边形，正三角形的性质，以及全等三角形，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键. 16. 如图①，②，，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，平角的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和．在图①中，用含有的式子表示出，进而求出，在图②中，先用含有的式子表示出，进而表示出，再表示出，然后表示出，即可求解． 【详解】解：，，， 图①中，， ， 图②中，， ，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17. 已知. （1）如图1，用尺规作的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，已知点是上一点，，，垂足分别为，，与交于点.求证：①；②是的垂直平分线. 【答案】 （1）如图1 图1 （2）①证明：平分，， （角平分线上的点到角的两边的距离相等） （等边对等角） ②证明：在和中 ， . （全等三角形的对应角相等） 又（已证） 垂直平分于点（等腰三角形的三线合一） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的尺规作图的做法即可完成作图； （2）①利用角平分线的性质可得PC=PD，然后利用等腰三角形的性质即可解答；②证明△POC≌△POD，从而得到OC=OD，再根据等腰三角形三线合一的性质解答即可. 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②略 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，理解证明角或边的相等常常构造全等三角形来证明是解答本题的关键. 18. 已知：如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠1＝80°，AB＝AD＝DC．求：∠C的度数． 【答案】25° 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ADB，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠DAC，根据三角形的外角性质得出∠C+∠DAC＝∠ADB，代入求出即可． 【详解】解：∵∠1＝80°，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝(180°﹣∠1)＝50°， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵∠C+∠DAC＝∠ADB＝50°， ∴∠C＝∠DAC＝50°＝25°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 19. 如图．已知是的外角的平分线，且交的延长线于点E．过点A作，垂足为F．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质推出，则，根据，得到，则，进而得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BE、CF相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△ACE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】∵AC⊥BE， ∴∠BAD=∠CAE=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACE中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）， ∴AD=AE． 21. 如图，点D，E，F分别是三角形的边，上的点，且． （1）求证：； （2）若，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和，关键是根据平行线的性质和三角形的内角和定理进行解答． （1）由平行线的性质进行证明即可； （2）由三角形内角和定理证明即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， 即， 解得：， ， ． 22. 如图，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、． 求证：①；②；③； 【答案】 证明：①和均是等边三角形， ，，， ，， ∴, ∴， ② ， ，， ③连接 同理：， ， 是等边三角形， 【解析】 【分析】首先根据等边三角形的性质，得到＝，＝，＝＝，然后由判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到＝，根据，证得，即可得到②正确，同理证得＝，得到是等边三角形，得，易得③正确． 【详解】①略 ②略 ③略 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定，邻补角，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，点D即为所求． 【解析】 【分析】题目主要考查基本作图-垂直平分线作法，根据题意，作出相应的垂直平分线即可，熟练掌握作图方法是解题关键． 【详解】略 24. 如图，在平面直角坐标系中，ABC各顶点的坐标分别为A(-2，-2)，B(-4，-1)，C(-4，-4)． （1）画出ABC向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的A1B1C1，并直接写出C1的坐标： ． （2）作点A关于x轴的对称点．若把点向右平移a个单位后落在A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），请写出满足条件的a的取值范围． 【答案】（1）画图见解析，C1点的坐标为：（1，0）；（2）3＜a＜5． 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B、C平移后对应点，顺次连接即可得； （2）由点A′坐标为（-2，2）可知要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移3个单位，最多平移5个单位，据此可得． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1点的坐标为：（1，0）； （2）∵点A′坐标为（-2，2）， ∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移3个单位，最多平移5个单位，即3＜a＜5． 【点睛】本题考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题的关键． 25. 如图，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点. 求证：∠5=∠6. 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据ASA证明△ABC≌△DBC，然后得到AB=DB，然后利用SAS证明△ABE≌△DBE，得到AE=DE，即可得到∠5=∠6. 【详解】 ∵∠1=∠2，BC=BC，∠3=∠4， ∴△ABC≌△DBC（ASA）， ∴AB=DB， 又∵∠1=∠2，BE=BE， ∴△ABE≌△DBE（SAS）， ∴AE=DE， ∴∠5=∠6. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质，解题的关键是掌握证明三角形全等的方法，灵活运用ASA、SAS证明三角形全等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上学期阶段质量检测 八年卷 一、单选题 1. 三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 20个 2. 如图，，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 以上都不对 3. 三根木棒围成一个三角形，已知其中两根木棒长分别为5和2，第三根木棒长是偶数，则第三根木棒的长度可能有（ ）种 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，将长方形沿折叠．如果，那么等于（　　） A. B. C. D. 5. 以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（ ） A. 3，6，9 B. 3，5，9 C. 2，6，4 D. 4，6，8 6. 点A(4，−8)关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰的底边，且，则的长为（ ） A. 8cm或4cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm或6cm 8. 空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于y轴的对称点为（a，b），则ab的值为（　　） A. 1 B. C. ﹣2 D. ﹣ 10. 在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题 11. 如图，，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且为等腰三角形，则的度数为____________． 12. 如图，在中，垂直平分，则__________． 13. 如图，等腰三角形中，底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________． 14. 如图，已知，点在射线上运动，点在射线上运动．和的角平分线交于点，、分别为、上的点，和的角平分线交于点．若点A、B在运动过程中，存在中有一个角是另一个角的2倍，则的度数为______． 15. 如图，以正五边形的一边为边，在正五边形内作等边，连接，则 （1）是否垂直？______．（填“是”或“否”）； （2）的度数是______． 16. 如图①，②，，，，则的度数为______． 三、解答题 17. 已知. （1）如图1，用尺规作的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，已知点是上一点，，，垂足分别为，，与交于点.求证：①；②是的垂直平分线. 18. 已知：如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠1＝80°，AB＝AD＝DC．求：∠C的度数． 19. 如图．已知是的外角的平分线，且交的延长线于点E．过点A作，垂足为F．若，求的度数． 20. 如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BE、CF相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE． 21. 如图，点D，E，F分别是三角形的边，上的点，且． （1）求证：； （2）若，，求证：． 22. 如图，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、． 求证：①；②；③； 23. 如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 24. 如图，在平面直角坐标系中，ABC各顶点的坐标分别为A(-2，-2)，B(-4，-1)，C(-4，-4)． （1）画出ABC向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的A1B1C1，并直接写出C1的坐标： ． （2）作点A关于x轴的对称点．若把点向右平移a个单位后落在A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），请写出满足条件的a的取值范围． 25. 如图，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点. 求证：∠5=∠6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $