精品解析：2025届上海市闵行区高三学业质量调研（二模）数学试卷

2024学年第二学期高三年级学业质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 设全集，若集合，则______． 2. 设，则不等式的解集为________. 3. 已知i是虚数单位，则______． 4. 已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为______． 5. 在的二项展开式中，常数项是______．（用数值作答） 6. 已知向量，若//， 则tanθ=________ 7. 已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为______． 8. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 9. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为______．（精确到） 10. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数 的取值范围为______． 11. 已知某星球的球心为 ，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以 为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为______．（精确到0.1°） 12. 定义的区间长度为．若且关于 的不等式的解集的区间长度之和为，则当取最大值时，实数的值为______． 二、选择题（本大題共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15-16题每題5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 两个变量x与y之间的回归方程（ ） A. 表示x与y之间的函数关系； B. 表示x与y之间的不确定关系； C. 反映x与y之间的真实关系； D. 是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合． 14. 已知 ， ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数 的取值，以下不可能的是（ ）． A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 16. 设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数 ，满足对任意，都有，则当取得最大值时， 的值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥中，底面 为长方形，底面 ， 是 中点，已知． （1）证明：； （2）求二面角的大小． 18. 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点． （1）求函数的解析式； （2）若 的内角所对的边分别为，若，，求 面积的取值范围． 19. 某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． （1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； （2）若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； （3）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 20. 已知双曲线的右焦点为 ，过点 的直线 交双曲线右支于 、 两点（点 在 轴上方），点 在双曲线的右支上，直线 交 轴于点 （点 在点 的右侧）． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点 的坐标； （3）若 的重心 在 轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 21. 已知函数在定义域 上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域 上的一个“分割数对”． （1）已知，判断数对是否为在 上的“分割数对”，并说明理由； （2）已知，若为在区间 上的“分割数对”，求实数的取值范围； （3）已知，若有且仅有一个实数 满足对任意，都不是在 上的“分割数对”，求实数 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期高三年级学业质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 设全集，若集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，由补集的运算直接求出即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 2. 设，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】解含绝对值的不等式可得解集. 【详解】由. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 3. 已知i是虚数单位，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算结合模长计算即可. 【详解】. 故答案为：. 4. 已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆柱的体积公式计算即可. 【详解】由圆柱的体积公式可得. 故答案为：. 5. 在的二项展开式中，常数项是______．（用数值作答） 【答案】160 【解析】 【分析】由二项展开式的通项令计算即可. 【详解】展开式的通项为， 令， 所以常数项为. 故答案为：160. 6. 已知向量，若//， 则tanθ=________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算得到，进而结合同角的商数关系即可求出结果. 【详解】因为//，且，所以，显然，所以，即； 故答案为：. 7. 已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】由方差和平均数的计算公式结合已知计算即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 又， 即，即， 所以的平均数为9. 故答案为：9. 8. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 9. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论 【详解】设每包糖果的实际质量为，则， 又， 所以， 故质量超过505克的可能性约为. 故答案为：. 10. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数 的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可. 【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为 ，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数 的取值范围为. 故答案为：. 11. 已知某星球的球心为 ，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以 为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为______．（精确到0.1°） 【答案】 【解析】 【分析】结合题意由椭圆的几何性质和离心率确定椭圆的，再由椭圆的光学性质和反三角函数计算. 【详解】设椭圆轨道的半长轴为 ，焦距为， 由题意可得，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，在近日点即，又椭圆的离心率为，即， 由以上可得， 又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小， 设此时张角为，则，即. 故答案为：. 12. 定义的区间长度为．若且关于 的不等式的解集的区间长度之和为 ，则当 取最大值时，实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由图象平移的性质得到区间长度与原题一致，再构造函数，利用导数分析单调性，利用对称性仅考虑即可，然后等于，大于和小于三种情况讨论，结合三次韦达定理求解. 【详解】由题意，为向右平移得到，即区间长度与原题一致， 不妨设，易得或， 即在和上单调递增，在上单调递减， 由关于对称，仅考虑即可，当分类讨论： 当时， 易得，即； 当时， ； 当时， 如下图， 不妨设的三个跟分别为， 不妨设的三个跟分别为， 由三次韦达定理可得 ， 综上，当且仅当时，. 故答案为：. 二、选择题（本大題共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15-16题每題5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 两个变量x与y之间的回归方程（ ） A. 表示x与y之间的函数关系； B. 表示x与y之间的不确定关系； C. 反映x与y之间的真实关系； D. 是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合． 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程的定义，结合选项，即可求解. 【详解】根据回归方程的定义，可得两个变量x与y之间的回归方程是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合． 故选：D. 14. 已知 ， ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 15. 已知函数在区间上既有最大值1又有最小值 ，则关于实数 的取值，以下不可能的是（ ）． A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可. 【详解】由题意可得函数的周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误. 故选：D 16. 设 为正整数，空间中 个单位向量构成集合，若存在实数 ，满足对任意，都有，则当 取得最大值时， 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出 的最大值，进而求出 值. 【详解】令集合的各向量起点为 ，对应终点依次为， 由向量为单位向量，则点在以 为球心，1为半径的球面上， 由，得点中任意三点不共线， 由，得，则， 由，同理得，而点不共线， 于是点不共面，点为球 内接正四面体的4个顶点， 若，不妨取，同理得，平面， 又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面， 与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为， 则正的外接圆半径为，正四面体的高为， 球心到平面的距离为，因此，解得， 所以. 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥中，底面 为长方形，底面 ， 是 中点，已知． （1）证明：； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） 因为底面 ，底面 ，所以， 又底面 为长方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出底面 和平面的法向量，代入空间二面角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以 为原点，射线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系， 易知底面 的一个法向量为，设为 ， 设平面的法向量为，则， 取 ，可得， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的大小为. 18. 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点． （1）求函数的解析式； （2）若 的内角所对的边分别为，若，，求 面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【小问1详解】 因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． 【小问2详解】 因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得 的面积为， 故 面积的取值范围为. 19. 某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． （1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； （2）若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； （3）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 【答案】（1） （2） （3）分布列： 【解析】 【分析】（1）由古典概型即可求解； （2）判断题干所求为条件概率，利用条件概率公式即可求解； （3）列出所有符合的组合情况，计算的分布列与均值即可. 【小问1详解】 若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的情况为男生所占人数总比例，即概率为. 【小问2详解】 记事件 为恰好抽选了 1名男生与1名女生，事件 为这2人都是高二学生.由题知男生总共人，女生总共人. ，， 由条件概率可得. 【小问3详解】 因为恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，可能的情况包含“1名高一男学生与1名高二男学生” 、“1名高一男学生与1名高二女学生”、 “1名高一女学生与1名高二男学生”、“1名高一女学生与1名高二女学生”. 抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为. ； . 则的分布列为 则均值. 20. 已知双曲线的右焦点为 ，过点 的直线交双曲线右支于 、 两点（点 在 轴上方），点 在双曲线的右支上，直线 交 轴于点 （点 在点 的右侧）． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点 的坐标； （3）若 的重心在 轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】（1） （2）点 的坐标为 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线 的斜率，将直线 方程代入双曲线方程求解即可得点 的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得 的范围，再结合三角形面积关系得与 的关系，由基本不等式可得最值. 【小问1详解】 已知双曲线，则，所以双曲线方程为； 【小问2详解】 双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点 的坐标为； 【小问3详解】 设直线， ， 则， 因为直线过点 且与双曲线右支交于 、 两点，所以， 又因为 的重心在 轴上，所以， 由点 在点 的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 21. 已知函数在定义域 上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域 上的一个“分割数对”． （1）已知，判断数对是否为在 上的“分割数对”，并说明理由； （2）已知，若为在区间 上的“分割数对”，求实数的取值范围； （3）已知，若有且仅有一个实数 满足对任意，都不是在 上的“分割数对”，求实数的值． 【答案】（1）是；答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取，由函数新定义代入验证即可； （2）构造函数，求导分析单调性和最值，然后结合函数新定义可得； （3）由题意先将问题不是在 上的“分割数对”等价于或恒成立，然后构造函数，求导后再将问题“恒成立”等价于“对任意，恒成立”，然后结合二次函数的性质令判别式小于等于零可得. 【小问1详解】 是， 存在， 由函数新定义有满足. 【小问2详解】 令， 则， 令，得， 所以当时，，函数为递减函数；当时，，函数为递增函数， 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以在区间上的值域为， 若为在区间 上的“分割数对”，既要满足在区间上的函数值有正有负， 所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 对任意，考虑， 则不是在 上的“分割数对”等价于或恒成立， 显然，， 由于，显然， 令， 因为，则， 所以，结合函数的性质可知“恒成立”等价于“对任意，恒成立”， 即在上恒成立， 即， 由题意，满足的实数 有且仅有一个，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $