8.6空间直线、平面的垂直（十个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

8.6空间直线、平面的垂直 一、求异面直线所成的角 六、有关垂直命题的判断 二、由异面直线所成的角求长度 七、面面垂直的证明 三、线面垂直的判定和性质 八、面面垂直的性质定理 四、线面垂直的存在性问题 九、面面垂直的存在性问题 五、直线与平面所成的角 十、求二面角的大小 知识点1异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 重难点一、求异面直线所成的角 【例1】在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，取的中点，的中点，的中点, 易知,, 所以异面直线与 所成角为或其补角. 由正三棱柱的几何特征可得,，. , , ，， , 在中，由余弦定理可得, 所以直线与 所成角的余弦值为. 故选:A. 【例2】如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取的中点，连接、，易知，    所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角）， 由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为，则，，， 因为，所以为直角三角形， 所以 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 【变式1-1】在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接，则，连接，因为， 所以．易知四边形为平行四边形，则，且， 所以或其补角为异面直线与所成的角， 同理知，又，所以为等边三角形，所以， 故选：C．    【变式1-2】在正方体中，直线和直线所成的角为 . 【答案】 【详解】如下图所示： 由正方体性质可得， 所以直线和直线所成的角等于， 又易知为等边三角形，所以. 故答案为： 【变式1-3】如图为正方体切去一个三棱锥后得到的几何体，若点为底面的中心，则直线与平面的位置关系是 ，与的夹角为 ． 【答案】 平行 【详解】如图，将其补成正方体，设和交于点，连接， 依题意可知，且， 即四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以直线平面． 为与的夹角， ，即为等边三角形， ，故. 故答案为：平行；. 重难点二、由异面直线所成的角求长度 【例3】如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 【例4】如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【答案】或 【详解】因为分别是三棱锥的棱的中点， 所以为的中位线，故且， 同理GH为的中位线，故且， 所以，所以四边形是平行四边形且． 同理且． 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，故； 当时，为等腰三角形，故． 【变式2-1】在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，连接，由图知为锐角，   是异面直线与所成的角，即， 在中，， 在中，有，即. 故选：D. 【变式2-2】如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且（称为异面直线的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．    【答案】或 【详解】如图构造一直三棱锥，使，则由题有： . 在中，由余弦定理，可得， 则；    如图构造一直三棱锥，使，则由题有： . 在中，由余弦定理，可得， 则.    故答案为：或. 【变式2-3】在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)或 【详解】（1）如图，取AD的中点为P，连接PM､PN. 因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以，，且，， 所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）. 又，所以，即为等腰三角形. 直线AB与MN所成角为60°，即，则. 所以，直线AB与CD所成的角为60°. （2）（2）若直线AB与CD所成的角为，则或. 若，则，即直线AB与MN所成角为； 若，则，即直线AB与MN所成角为. 综上所述，直线AB与MN所成的角为或. 知识点2直线与平面垂直的判定和性质 1.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 重难点三、线面垂直的判定和性质 【例5】已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点， 则满足直线的图形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】对于①：如下图所示，点为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面 ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故①正确； 对于②：如下图所示，点为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面, ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故②正确； 对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面, ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故③正确； 对于④：如下图所示，点为所在棱的中点，由③可知，， 由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面， ，从而由线面垂直的判定得出平面，则， 平面，，由线面垂直的判定可得平面， 则，故④正确； 故选：D 【例6】如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且．证明：； 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； 【变式3-1】如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点．若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为 ． 【答案】 【详解】如图，在正三棱柱中，设， 取AC的中点D，连接BD， 则，，， 正三棱柱的体积． 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又平面，所以平面， ， 则四棱锥的体积． 故答案为：. 【变式3-2】如图，在三棱柱中，已知平面，当底面满足条件 时，有. 【答案】 【详解】当底面满足条件时，有. 理由如下：平面，，平面， 面，. ，四边形是正方形，，， 又平面， 平面. 平面. 平面， . 平面， 平面,平面,. 当底面满足条件时，有. 故答案为： 【变式3-3】如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）平面，平面， ． ，． 又，，平面， 平面． （2）平面，平面， ． ，，，平面， 平面． 重难点四、线面垂直的存在性问题 【例7】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．      【答案】存在， 【详解】存在点，使得平面，此时，证明如下：    连接，为中点，连接， 直角梯形中，，，，， 则，，四边形为平行四边形，有，则， 所以， 又底面，底面，则， 则，， 则，得， 又，，， 由余弦定理得，， 则，， 又，是的中点，则， ，平面，则平面， 故存在点，使得平面，此时． 【例8】如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②． (1)求证：． (2)求证：平面． (3)在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）∵在直角梯形ABCD中，，沿DE将折起到的位置， ∴，． ∵，平面， ∴平面， 又平面，∴． （2）取CD中点H，连接NH，MH，如图． ∵M，N分别为，BE的中点， ∴，． 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又，NH，平面MNH，平面，平面， ∴平面平面MNH，又平面MNH ∴平面． （3）取的中点G，连接EG，如图． 在直角梯形ABCD中，，， 所以，又，所以DCBE是矩形，所以， 因为，所以即是折后的， ∴， 由（1）知平面， 又∵，∴平面， 又平面，∴， 又，平面，∴平面． 故棱上存在中点G，使得平面，且此时． 【变式4-1】如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是PA的中点．    (1)求证：平面； (2)若，线段PC上是否存在一点F，使平面？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．（用坐标法解答不给分） 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：连接交于点，连接OE    四边形是正方形， 点是的中点     又点是的中点，      平面，平面    平面 （2）存在                     理由如下： 过点A作AF⊥PC，垂足为点F，由（1）可知                                                      平面，平面                  四边形为正方形 又平面，平面， 平面 又平面ACP              又平面，平面BDE，， 平面             ，， ， 在中，由等面积法可得              存在点F，使得平面， 【变式4-2】如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点．    (1)当是中点时，求证：∥平面； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在； 【详解】（1）证明：因为点是中点，点是中点，所以∥． 因为平面平面， 所以∥平面． （2）证明：如图，取中点，连接． 因为侧面是正三角形，所以． 因为底面是菱形，且， 所以是等边三角形．所以． 因为平面， 所以平面，因为平面，所以． （3）如图，取中点，连接． 因为四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形， 所以，所以． 又，AB、BE在面ABE内， 所以平面． 过作∥交于点． 因为∥∥，所以点平面． 所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，∥， 所以． 所以．    知识点3直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 重难点五、直线与平面所成的角 【例9】在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 连接，由长方体的性质可得平面， 所以与平面所成的角为， 又平面，所以，即， 因为，故与所成的角与与所成角相等， 所以与所成的角为， 又， 所以. 故选：C. 【例10】在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成的角为，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，且， 是的中点，底面是平行四边形，且， 且， 四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 平面. （2）平面，所以为与平面所成的角， ，又平面，，， 即为等腰直角三角形， 为中点，， 又平面，平面，， 又底面是平行四边形且，平行四边形为矩形，则， 又平面，平面， 平面，， 又平面， 平面， 由（1）可知，平面. 【变式5-1】已知正四棱台的侧面积为，，，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 连接，，过点作平面，垂足为，且在上， 则， 过点作，垂足为，连接，又平面, 所以平面，平面，所以， 显然是与平面所成的角． ，解得． 又，所以． 又易知，所以． 又，所以， 所以与平面所成的角为， 故选：C． 【变式5-2】如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】∵平面，∴平面． 连接，如图所示，则是在平面上的射影， ∴就是与平面所成的角． 设，则， ∵，∴， ∵，是的中点，∴， ∴， ∵平面，平面，∴， ∴， ∴， ∴与平面所成角的余弦值为 故答案为：. 【变式5-3】如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接，在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积. （2）如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角，所以， 又因为，所以， 所以，所以． 知识点4平面与平面垂直的判定与性质 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 重难点六、有关垂直命题的判断 【例11】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于选项ABC：在正方体中， 例如∥平面，平面∥平面，平面， 但与相交，故A错误； 例如∥，∥平面，∥平面 但平面平面，故B错误； 例如，平面，但平面，故C错误； 对于选项D：若，则∥， 且，所以，故D正确； 故选：D. 【例12】在正方体中，点分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（    ）   A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】D 【详解】对于①，如图，连接    在正方体中，有正方形，所以， 又，所以四边形为平行四边形，故确定唯一的平面， 又平面，平面，所以 又平面，所以平面 因为平面，所以对任意点，都有，只有与重合才符合题意,与不为端点矛盾，故对任意点，不存在点，使得，故①不正确； 对于②，如图，连接交于，连接      由①得平面，又，所以四边形为平行四边形，所以，则平面， 因为平面，所以 又因为正方形，所以，又平面，平面，所以, 因为平面，所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面，又平面，所以 于是当点与重合时，存在点，对任意的，均有，故②正确. 故选：D. 【变式6-1】已知三条不同直线、、，两个不同平面、，有下列命题： ①，，，，则 ②，，，，则 ③，，，，则 ④，，则 其中正确的命题是（    ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．③ 【答案】D 【详解】对于①：根据面面平行的判定定理可知：要求直线、相交， 但本题没有提及，所以不能得出，故①错误； 对于②：根据线面垂直的判定定理可知：要求直线、相交， 但本题没有提及，所以不能得出，故②错误； 对于③：根据面面垂直的性质定理可知：，故③正确； 对于④：根据线面平行的判定定理可知：要求直线， 但本题没有提及，所以不能得出，故④错误； 故选：D. 【变式6-2】（多选）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，其中正确的命题是（    ）． A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】BC 【详解】对于A，若，且，则，可以平行、相交、异面；即A错误 对于B，由线面垂直和面面垂直的性质可知，若，且，则，即B正确； 对于C，利用线面垂直的性质可知若，且，则，即C正确； 对于D，若，且，则，可以平行、相交、异面；即D错误. 故选：BC 【变式6-3】已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出下列四个论断： ①；②；③；④. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用序号表示） 【答案】①③④②(或②③④①) 【详解】若，，，则. 证明：过平面和平面外一点，作，交于，作，交于， 则，，， 显然与不平行，设，则，， 因为，平面，所以平面， 延展平面交于点，连，则，， 则是二面角的一个平面角， 因为，，所以，同理有， 又，所以四边形为矩形，则， 则平面和平面形成的二面角的平面角直二面角，故，    若，，，则. 证明：因为，所以与所成的二面角为， 因为，，所以直线所成的角也为，即. 若，，，则与相交或或. 若，，，则与相交或或. 故答案为：①③④②(或②③④①). 重难点七、面面垂直的证明 【例13】（多选）正方体中，，，，，则下列两个平面的位置关系中，不成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【详解】根据向量知识可得：分别为的中点，分别为靠近的三等分点，由与相交知，错误； 因为，平面，平面，则平面， 同理可得：平面，又 ，且 平面， 则平面平面，若平面平面，则平面平面，这与它们相交矛盾，错误；    因为分别为的中点，则，因为，且，平面，平面，    所以平面，正确； 连接，则，又，且，平面， 则平面，则，同理可得：，又， 则平面，若平面平面，注意到平面， 则平面，又平面，所以平面平面，这和与相交矛盾，错误．    故选：. 【例14】如图，三棱台中，底面，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】底面底面，. 又三棱台中,， ，，. ，平面，平面，平面. 又平面，所以平面平面. 【变式7-1】（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 【答案】ABC 【详解】因为是正方体，所以平面平面， 平面，所以平面，A选项正确； 因为平面，平面，所以，B选项正确； 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， ，所以平面即为平面， 平面，所以平面，C选项正确； 因为平面，平面，所以平面平面，D选项错误. 故选：ABC. 【变式7-2】如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 【变式7-3】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】取中点，连接， 因为是正三角形，为中点， 所以， 由已知，则，， 又， 由余弦定理得， 则，故， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 重难点八、面面垂直的性质定理 【例15】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意， 连接，易知，， ∴点为的中点，∵为为的中点， 在中，，， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由题意证明如下， 取棱的中点，连接， 在等边三角形中，， ∵平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，故， 又已知，，平面,所以平面． 【例16】如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为、分别为线段、上的点，且， 所以，又平面，平面，所以平面. （2）因为，所以， 所以，，连接，又， 所以，所以，又， 所以，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面. 【变式8-1】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，.点E是边的中点.点F，G分别在线段，BC上，且.求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】 【详解】（利用斯坦纳定理）设直线与直线所成角为， 则． 依题意，易得平面，则，， 又，，平面，所以平面， 计算得， ， ， ， ． 有． 【变式8-2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形，，，E，M，Q，N分别为线段AB，CD，BC，PD的中点，平面底面ABCD.求证：    (1)平面AMN； (2)平面平面AMN. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：连接DE，交AM于点H，连接NH. 因为底面ABCD为长方形，所以，， 因为E，M分别为线段AB，CD的中点， 所以，，所以四边形AEMD为平行四边形． 因为AM，DE为平行四边形的对角线，所以H为DE的中点． 因为N为PD的中点，所以. 因为平面AMN，平面AMN， 所以平面AMN.    （2）证明：在中，因为，E为AB的中点， 所以. 又平面底面ABCD，平面底面，平面PAB， 所以底面ABCD. 因为平面ABCD，所以，所以. 在长方形ABCD中，因为， ， 所以，， 所以. 因为，平面AMN， 所以平面AMN， 因为平面QMN，所以平面平面AMN. 【变式8-3】如图，在四棱锥底面，. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）在中，，，， 则， ，所以 在中，， 故，所以为直角三角形，故， 又因为底面，底面，所以， 又因为，平面，所以平面. （2）如图：作于， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，故为与平面所成的角， 中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 重难点九、面面垂直的存在性问题 【例17】如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙．    (1)当二面角为时，求的长； (2)在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析． 【详解】（1）连结与交于点M， 依题意，， 于是四边形和均为菱形， 和为等边三角形， 所以， 又， 于是在图中，即为二面角的平面角， 即有， 由余弦定理得： ， 所以．    （2）平面平面的情况不存在． 设平面平面， 因为平面，所以， 而且， 因此平面，即有平面， 于是为二面角的平面角， 因为，所以在等腰中不可能等于直角， 即平面平面的情况不存在．    【例18】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）证明：设，连接， 因为底面是正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面 （2）因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为为等边三角形，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设正方形的边长为2，则， 因为平面，平面，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在，当时，平面平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设，则，所以， 由（2）知平面， 因为平面，所以，所以， 因为， ， 所以， 所以，得，解得， 所以当时，平面平面. 【变式9-1】“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. (1)求证：四棱锥是“阳马”； (2)点M在正方形内（包括边界）．平面平面且， （i）求M点轨迹长度； （ii）是否存在M点，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，该点为与交点，二面角的余弦值 【详解】（1）因为四边形ABCD是边长为2的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以； 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，又平面，所以. 因为平面，所以平面， 所以四棱锥是“阳马”. （2）（i）如图，以为直径在平面上作一个半圆， 在该半圆周上任取点，连接、、，则， 又由（1）知平面，而平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故点的运动轨迹在该半圆周上， 因为，所以， 所以根据扇形的弧长公式得点的运动轨迹长度为. （ii）存在M点，使得平面平面，且该点为与交点， 如图，连接、，则由（i）可知此时与交点在（i）中所作的半圆圆周上，且满足， 由正方体性质可知，，又平面，而平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以存在M点为与交点，使得平面平面， 过点A作交于点，过作交于点，连接， 又由平面可得， 所以由且、平面得平面， 所以且由平面得， 因为，、平面，所以平面， 所以是二面角的平面角， 因为正方体边长为2，， 所以， ， 所以，， 所以， 所以， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：作二面角的平面角常用方法有 （1）定义法：在棱上取点，过该点分别在二面角两半平面内引出两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角. （2）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，交线所成的角即为二面角的平面角. 【变式9-2】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点N为AB中点，证明见解析 【详解】（1）正三角形中，为的中点，故， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又底面，所以； （2）存在点N，当N为AB中点时，平面平面，证明如下： 由（1）知：底面，又底面，所以， 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，N为AB中点，所以， ，所以，所以， 因为，所以，所以， 而平面，所以平面， 又平面，所以平面平面；    【变式9-3】如图所示，在四棱锥中，底面是边长2的正方形，侧面为等腰三角形，，侧面底面．在线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； 【答案】存在， 【详解】存在点E满足条件，且. 证明如下：因为底面为正方形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 而，平面，平面， 要使，则必有平面， 因为平面，所以 在等腰三角形PAD中，，， 则， ，所以，所以． 知识点5二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 重难点十、求二面角的大小 【例19】已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】如下图所示： 由正三棱锥的定义，底面为正三角形，且边长为，作正三棱锥的高，垂足为的中心，连接并延长，交于点； 由正三棱锥的几何的性质可知：，，就是侧面与底面所成二面角的平面角，，可得是等腰直角三角形，. 根据正三角形的性质，，即正三棱锥的高为. 三棱锥的体积为：. 故选：B 【例20】如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 【变式10-1】在三棱锥中，，为的中点． (1)求证：； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）作于，连接， 在中，，则， 所以，所以， 所以， 在中，，所以，则， 在中，， 又，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）由（1）知，，， 则即为二面角的平面角，故， 又，则， 在中，，所以， 因为为的中点，所以， 则，所以， 又平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角，又， 所以线与平面所成的角为． 【变式10-2】如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）与都垂直，由棱台的性质得， ．又平面， 平面．又平面ABC， ∴平面平面，即平面平面． （2）由（1）知，平面平面ABC．如图，    过作于D，平面平面平面， 则平面， 是与平面ABC所成的角，即． 作于E，连接平面ABC，平面ABC，． 又，平面， 平面平面， 则为二面角的平面角． 在中，，得． 平面，平面，所以，则， 在中，． 由∽-，得，则． ，则， ，即， 于是，则， . 【变式10-3】如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 如图，取中点为，连接，则，又， 所以，所以，即，且， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面 又平面，所以平面平面 （2） 作，垂足为，由（1）知：平面平面， 因平面，且平面平面，则平面， 故即为与平面所成角， 则，解得.在中，由， 可得 ，故， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，. ，，， 设平面的一个法向量为 则，得，取， 设平面的一个法向量为 则，得，取， 所以，由图知，二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 一、单选题 1．在长方体中，下列结论错误的是（   ） A．直线AB与平面平行 B．直线与平面垂直 C．平面与平面平行 D．平面与平面垂直 【答案】B 【详解】对于A，在长方体中，， 因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若矩形不是正方形，则与不垂直， 直线与平面也不可能垂直，故B错误； 对于C，在长方体中，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 又，且平面， 所以平面平面，故C正确； 对于D，在长方体中，平面平面，故D正确. 故选：B. 2．如图，在三棱柱中，平面，，，则三棱柱的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平面， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 所以， 故选：B． 3．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出了下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则， ④若，，且，，则，（    ） A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【详解】解：由，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，知： ①若，，则由面面垂直的判定定理得，故①正确； ②若，，则或，故②错误； ③若，，则与相交、平行或，故③错误； ④若，，且，， 则由线面平行的判定定理得，，故④正确． 故选：． 4．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，以，为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，，故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ∵，则，， 又，平面，故平面， 因为平面，则，故． 故选：C． 5．在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由于且二面角的大小为，故为二面角的平面角，故， 由于平面，故平面， 设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 则的外接圆直径， 故外接球的半径 当时，球的半径取得最小值,此时三棱锥的外接球体积最小， 故. 故选：A 6．如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，交点为，如图所示： ，且是公共边， ，， 易得，， 即，又，， ，平面， 平面，又平面， 平面平面. 过点作平面，垂足为，连接， ，， 平面，，， 由是公共边，， 即有， 三点在以为直径的圆周上， ，，， ， ， . 故选：C 二、多选题 7．如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 【答案】ACD 【详解】对于选项A，因为为正方体，所以平面，所以A正确； 对于选项B，因为平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于选项C，因为与相交，所以与异面，所以C正确； 对于选项D，因为平面，平面， 所以且， 所以平面，平面，所以， 同理，所以平面，所以D正确. 故选：ACD． 8．如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是（ ） A． B．平面平面 C．存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行 D．若，，，且平面平面，则三棱锥的体积为 【答案】ABD 【详解】对于A，∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B，由A知平面，又平面，∴平面平面，故B正确； 对于C，设平面平面，假设底面， ∵平面平面，平面平面， ∴，，∴，则与重合，则，显然不成立，则假设不成立，故C错误. 对于D，在中，，，∴，， ∴，∴， ∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面， 又平面，∴，同理可证，平面,∴平面， 而，∴三棱锥的体积为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 9．已知是圆锥的顶点，是底面圆的直径，是底面圆周上一点，是线段的中点，，则 ． 【答案】 【详解】如图，取的中点，连接，． 因为为的中点，为的中点，所以． 因为平面，所以平面．可得． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 在中，，所以． 所以．    故答案为： 10．如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【详解】在下底面内过点作，垂足为，连接，如下图： 在圆内，易知，由，且， 则，，可得， 在中，， 在等腰梯形中，由，，，则， 在中，， 在圆台内易知平面平面，由图可知平面平面， 因为，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 在中，. 故答案为：. 11．正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为 ． 【答案】 【详解】如图， 过作，为的中点，连接， 异面直线与所成角为，设， ，，， 又，，又，且， 平面，， 在正方形中，设边长，，，， ， . 故答案为： 四、解答题 12．如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：； 【答案】证明见解析 【详解】在平面中，过点作的垂线，垂足为. 则，又平面平面，且平面平面，平面，故平面. 又平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，故. 13．如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，.证明：平面平面 【答案】证明见解析 【详解】由题意，得，所以． 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，． 所以，即． 又因为为等腰直角三角形，， 所以，, 因为平面，平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 14．在四棱锥中，底面是菱形，． (1)若，证明：平面平面； (2)若平面平面，且二面角的大小为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，四边形是菱形，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）过作于点，连接， 由（1）可知，又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，又二面角的大小为， 所以，在中，可得，所以， 在中，，，所以， 所以，在中，，所以， 所以. 15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点M，N分别为的中点． (1)取的中点H，连接，若平面平面，求证：； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）平面平面，且交线为， 过点作的垂线，垂足记为，平面，则平面， 而平面，则， 由平面，平面，得， 又是平面内的相交直线，则平面， 而平面，所以. （2）连接，在中，，又， 则，即，由为的中点，得， 由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，则， 故是二面角的平面角， 又平面，则， 在中，，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6空间直线、平面的垂直 一、求异面直线所成的角 六、有关垂直命题的判断 二、由异面直线所成的角求长度 七、面面垂直的证明 三、线面垂直的判定和性质 八、面面垂直的性质定理 四、线面垂直的存在性问题 九、面面垂直的存在性问题 五、直线与平面所成的角 十、求二面角的大小 知识点1异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 重难点一、求异面直线所成的角 【例1】在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 【变式1-1】在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在正方体中，直线和直线所成的角为 . 【变式1-3】如图为正方体切去一个三棱锥后得到的几何体，若点为底面的中心，则直线与平面的位置关系是 ，与的夹角为 ． 重难点二、由异面直线所成的角求长度 【例3】如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【例4】如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【变式2-1】在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式2-2】如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且（称为异面直线的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．    【变式2-3】在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 知识点2直线与平面垂直的判定和性质 1.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 重难点三、线面垂直的判定和性质 【例5】已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点， 则满足直线的图形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例6】如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且．证明：； 【变式3-1】如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点．若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为 ． 【变式3-2】如图，在三棱柱中，已知平面，当底面满足条件 时，有. 【变式3-3】如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 重难点四、线面垂直的存在性问题 【例7】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．      【例8】如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②． (1)求证：． (2)求证：平面． (3)在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是PA的中点．    (1)求证：平面； (2)若，线段PC上是否存在一点F，使平面？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点．    (1)当是中点时，求证：∥平面； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 知识点3直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 重难点五、直线与平面所成的角 【例9】在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【例10】在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成的角为，求证：平面. 【变式5-1】已知正四棱台的侧面积为，，，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为 ． 【变式5-3】如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 知识点4平面与平面垂直的判定与性质 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 重难点六、有关垂直命题的判断 【例11】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例12】在正方体中，点分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（    ）   A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【变式6-1】已知三条不同直线、、，两个不同平面、，有下列命题： ①，，，，则 ②，，，，则 ③，，，，则 ④，，则 其中正确的命题是（    ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．③ 【变式6-2】（多选）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，其中正确的命题是（    ）． A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【变式6-3】已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出下列四个论断： ①；②；③；④. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用序号表示） 重难点七、面面垂直的证明 【例13】（多选）正方体中，，，，，则下列两个平面的位置关系中，不成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【例14】如图，三棱台中，底面，且.证明：平面平面. 【变式7-1】（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 【变式7-2】如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【变式7-3】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．证明：平面平面. 重难点八、面面垂直的性质定理 【例15】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 【例16】如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【变式8-1】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，.点E是边的中点.点F，G分别在线段，BC上，且.求直线与直线所成角的余弦值. 【变式8-2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形，，，E，M，Q，N分别为线段AB，CD，BC，PD的中点，平面底面ABCD.求证：    (1)平面AMN； (2)平面平面AMN. 【变式8-3】如图，在四棱锥底面，. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 重难点九、面面垂直的存在性问题 【例17】如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙．    (1)当二面角为时，求的长； (2)在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由． 【例18】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由. 【变式9-1】“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. (1)求证：四棱锥是“阳马”； (2)点M在正方形内（包括边界）．平面平面且， （i）求M点轨迹长度； （ii）是否存在M点，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由. 【变式9-3】如图所示，在四棱锥中，底面是边长2的正方形，侧面为等腰三角形，，侧面底面．在线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； 知识点5二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 重难点十、求二面角的大小 【例19】已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C．2 D．1 【例20】如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【变式10-1】在三棱锥中，，为的中点． (1)求证：； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角． 【变式10-2】如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 【变式10-3】如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 一、单选题 1．在长方体中，下列结论错误的是（   ） A．直线AB与平面平行 B．直线与平面垂直 C．平面与平面平行 D．平面与平面垂直 2．如图，在三棱柱中，平面，，，则三棱柱的体积为（   ） A． B． C． D． 3．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出了下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则， ④若，，且，，则，（    ） A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③ 4．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 5．在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（    ） A． B．3 C． D． 6．如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 8．如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是（ ） A． B．平面平面 C．存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行 D．若，，，且平面平面，则三棱锥的体积为 三、填空题 9．已知是圆锥的顶点，是底面圆的直径，是底面圆周上一点，是线段的中点，，则 ． 10．如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 11．正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为 ． 四、解答题 12．如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：； 13．如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，.证明：平面平面 14．在四棱锥中，底面是菱形，． (1)若，证明：平面平面； (2)若平面平面，且二面角的大小为，求的值． 15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点M，N分别为的中点． (1)取的中点H，连接，若平面平面，求证：； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$