精品解析： 湖北省随州市随县2024-2025学年八年级上学期期末学业质量检测数学试卷

随县2024—2025学年度第一学期学业质量监测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选了答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．非选择题用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试卷上无效． 4．考试结束后，监考人员将试卷与答题卡一并收回． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 2024年巴黎奥运会项目的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 某种生物孢子的直径为0.000063m，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式的乘方运算，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，3，4 B. 2，3，9 C. 4，5，7 D. 3，3，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系：“第三边大于两边之差小于两边之和”分别判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴能组成三角形，故此选项符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 详解：多边形的外角和是360°，根据题意得： 180°•（n-2）=3×360° 解得n=8． 故选A． 点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决． 6. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据等式的性质可得，结合，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 另有， 、添加，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，可得，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，利用能判定，故此选项符合题意； 故选． 7. 如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°， ∵BD平分∠ABC， ∴AD=CD(三线合一) ∴DC=cm， ∵∠E = 30° ∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30° ∴∠CDE=∠E 所以CD=CE=2cm 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半． 8. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程． 【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨， 则． 故选B 【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键． 9. 如图，在中，的垂直平分线分别交于E，D两点，的周长为9，则的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用的周长为9和等线段代换得到，然后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即, ∵的周长为9， ∴， ∴，即， ∴的周长． 故选：C． 10. 如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 10 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 如图，过点B作于点H，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：如图，过点B作于点H． 平分， 关于对称， 作点N关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． 平分， ， ∴， ， ． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式成立的条件，分母不为零，列不等式求解 【详解】解：由题意可得 解得： 故答案为： 12. 若，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，即，那么把，，代入即可作答． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为： 13. 如图，已知，点的坐标是，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，解题关键是通过添加辅助线，利用一线三等角证全等三角形求解．作轴于点，轴于点，通过证明求解． 【详解】解：作轴于点，轴于点． ，． ， ． ． 在与中， ， ． 又的坐标是， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 14. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 15. 如图，在中，，，，点D是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点A落在E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 【详解】解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的运算，乘方运算，因式分解； （1）先计算负整数指数幂，零次幂，乘方运算，再合并即可； （2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 17 解下列分式方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法步骤是解本题的关键． （1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， ∴， 解得：； 经检验：是原方程的解． 【小问2详解】 ， 去分母得：， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则进行化简，再代入求值． 【详解】解：原式 ； 将代入原式． 19. 如图，C，A，D在同一直线上，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，再由计算即可得解． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， 【小问2详解】 解：由得：，， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）图见解析， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，三角形的面积等知识． （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）利用割补法求面积即可； （3）作出点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可得最小，结合为定值，得的周长最小． 【小问1详解】 解：如图1所示，即为所求，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：， 故答案为：5； 【小问3详解】 解：如图2所示，点P即为所求． 21. 如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【答案】（1）和的长相等，理由见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角行的判定以及性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 解：． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等． 【小问2详解】 解：． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1680元，购买乙种用了2646元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.4倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； （2）该校最少购买67个甲种滑动变阻器． 【解析】 【分析】（1）设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1680元，购买乙种用了2646元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.4倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； 【小问2详解】 解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． ∵m为整数， ∴m的最小值为67， 答：该校最少购买67个甲种滑动变阻器． 23. 完全平方公式经过适当变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：，， ，． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，则_____； （2）若，求的值； （3）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和为，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式的计算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形计算，即可求解． （2）根据，求出，，再根据完全平方公式的变形计算即可； （3）设，根据完全平方公式的变形计算可得的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 设， ∴，， ∴， ∴； ∴， ∴． 24. 已知在中，，过点B引一条射线，D上一点 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【答案】（1）见解析 （2）①②；的度数会变化，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案； ②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【小问1详解】 证明：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： 同理①的方法可证：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 随县2024—2025学年度第一学期学业质量监测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选了答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．非选择题用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试卷上无效． 4．考试结束后，监考人员将试卷与答题卡一并收回． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 2024年巴黎奥运会项目的图标中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 某种生物孢子直径为0.000063m，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，3，4 B. 2，3，9 C. 4，5，7 D. 3，3，6 5. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 8. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，的垂直平分线分别交于E，D两点，的周长为9，则的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 10. 如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 10 B. C. 12 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则取值范围是_____． 12. 若，则的值为_____． 13. 如图，已知，点的坐标是，则点的坐标为_____． 14. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围______． 15. 如图，在中，，，，点D是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点A落在E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是________． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 17. 解下列分式方程 （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，C，A，D在同一直线上，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）． 21. 如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 22. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1680元，购买乙种用了2646元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.4倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 23. 完全平方公式经过适当变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：，， ，． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，则_____； （2）若，求的值； （3）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和为，求的面积． 24. 已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $