广东省广州市执信中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题

广州市执信中学2025届高三4月数学学科检测试卷 （本次测试满分150分。考试用时120分钟） 注意事项：1．答卷前、考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 3．锐角的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（   ） A．432种 B．486种 C．504种 D．540种 5．已知等差数列中，，，则数列的前51项和为（    ） A．26 B． C．51 D． 6．已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知的数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数．例如，则，，若，则的展开式中的系数是（    ） A．210 B．255 C．280 D．360 8．已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件A与B为互斥事件 B．事件两两独立 C． D． 10．已知函数，则下列命题中正确的是（    ） A．0是的极小值点 B．当时， C．若，则 D．若存在极大值点，且，其中，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为 D．若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数 ． 13．若，则实数的值为 ． 14．已知函数，，有恒成立，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）在中，角的对边分别为，已知． （1）若，求； （2）若依次成等差数列，求面积的最大值． 16．（本小题15分）已知函数，． （1）若，求曲线的斜率为1的切线方程； （2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围． 17．（本小题15分）如图，在多面体中，为正三角形，平面，平面，平面，，，分别为与的重心． （1）求证：，且平面平面； （2）若，，直线与平面所成的角为，求到平面的距离． 18．（本小题17分）已知双曲线（，）的左，右顶点分别为，，过C的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． （1）求C的方程； （2）直线，与直线的交点分别为，为的中点． （i）求的最小值； （ii）证明：点关于直线对称的点在上． 19．（本小题17分）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合． （1）若是12项0-1数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； （2）从集合中任意取出两个数列，记． ①求随机变量的分布列，并证明：； ②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且．若，比较与的大小． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市执信中学2025届高三4月数学学科检测参考答案 （本次测试满分150分。考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A D A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）由及正弦定理，得， 因为，所以 ， 由余弦定理得，代入得， 解得或（舍） （2）因为依次成等差数列，所以 ，           由余弦定理得，因为， 所以，    所以，且， 所以的面积， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 16．解：（1）当时，， 则，即， 令，则， 令，得，令，得， 所以，故有且仅有，， 此时，所以曲线的斜率为1的切线方程为在处的切线方程， 该切线方程为． （2）由得，即， 所以没有整数解， 设，， 设，，所以单调递增， 且，， 所以存在唯一的，使，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，没有整数解，即没有整数解． 17．解：（1）延长交于，延长交于，连接， 由，分别为与的重心，得，分别为对应线段的中点， 则，由平面，平面，平面，得， 则，点四点共面，由，， 得，则； 由平面，平面，得， 而为正三角形，即，又平面， 因此平面， 而平面，则平面平面， 所以平面平面. （2）由，平面，得平面，而平面， 则，，而，则直线两两垂直， 以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 过作于，则，由平面，平面， 得平面平面，直线是在平面内的射影， 因此为直线与平面所成的角，，， 而，则，，又，则，连接，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 所以到平面的距离为. 18．解：（1）对双曲线，令，得， ∴当l与x轴垂直时，. 由得，即，故， ∵，∴， ∴C的方程为. （2）（i）①不合题意. ②设， 联立得，， ∴，，解得， ∵，∴直线方程为：，故，同理， ∴ . ∴当时，. （ii）由，得， ∴，直线的方程为. 设点关于直线的对称点为，则， 解得，，即. ∵，由点在直线上可得 ∴点在直线上，故点关于直线对称的点在l上. 19．解：（1）因为是12项数列，当且仅当时，， 所以当和时，. 设数列的所有项的和为， 则 ， 所以数列的所有项的和为0. （2）①因为数列，是从集合中任意取出两个数列， 所以，数列，为项数列 所以，的可能取值为： 当时，数列，中有项取值不同，有项取值相同， 又因为集合中元素的个数共有个， 所以，, 所以，的分布列为： 因为， 所以， . ②由题知， 所以，， 所以，， 所以，即， 所以，，即 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于理解数列的基础上，结合古典概率模型求得即可求得分布列，再期望求解过程中，需要用到组合恒等式化简. 学科网（北京）股份有限公司 $$