河南省驻马店高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

驻马店高级中学 我努力 我骄傲 我自豪 驻马店高中高二下期第四次考试数学试题 注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 4.满分：150分 考试时间：120分 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（    ） A．240 B．480 C．384 D．1440 7．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有  （ ） A．种 B．种 C．种 D．72种 8．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 2、 多选题（每小题6分 共计18分） 9．的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共7项 B．x项系数为－280 C．所有项的系数之和为1 D．所有项的二项式系数之和为128 10．将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（    ） A．该几何体的表面积为 B．该几何体的体积为 C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D．直线平面 11．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 3、 填空题 （每小题5分，共计15分） 12．平面向量满足，，，则 ． 13．设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 . 14．某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示） （1）有 种不同的安排方法； （2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有 种不同的安排方法． 四、解答题 15．（13分） 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： (1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ (2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 16． （15分） .已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 17．（17分）已知函数在处的切线为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间. 18．（15分） 已知定义在正实数集上的函数，． (1)设两曲线，有公共点为，且在点处的切线相同，若，求点的横坐标； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)若，，函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围 19．（17分） 已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围； (3)设是函数的两个极值点，证明：. 数学参考答案 1．D 【分析】根据函数的定义域及解对数不等式化简集合，由并集运算即可求解. 【详解】，， . 故选：D. 2．B 【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项. 【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3．C 【分析】根据题意，列出关于方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由等差数列为单调递增数列，可得公差， 因为与的等差中项为8，可得，可得，即， 又因为，可得， 即，解得或（舍去）. 故选：C. 4．A 【分析】分析可知，二项式的展开式共项，即可求出的值. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大， 则二项式的展开式共项，即，解得. 故选：A. 5．A 【分析】根据题意，对等式两边求导，再令，求出，从而求得的值 【详解】因为，所以，令，则，， 则，所以. 故选：A. 6．B 【分析】利用插空法求解. 【详解】鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式， 此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式， 由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为， 故选：. 7．C 【分析】由条件确定既会跳舞又会唱歌的人数，根据选出的人中既会跳舞又会唱歌的人数，分类求满足条件的选派方法数，结合分类加法计数原理求解即可. 【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 综上共有种选法. 故选：C. 8．C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 9．BD 【分析】A选项，根据二项式展开式的特点判断；B选项，写出通项，然后利用通项求项系数；C选项，利用赋值法求所有项的系数和；D选项，根据所有项的二项式系数之和的公式计算. 【详解】由题意得展开式共8项，故A错； 通项为，令，解得， 所以项系数为，故B正确； 令中得， 所以所有项的系数之和为，故C错； 所有项的二项式系数和为，故D正确. 故选：BD. 10．AC 【分析】对于A，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B，首先求得，进一步即可验算；对于C，证明面面即可判断；对于D，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可. 【详解】对于A，，所以表面积为，故A对； 对于B，如图所示： 设点在平面内的投影为，为的中点，则由对称性可知为三角形的重心， 所以，又因为， 所以正三棱锥的高为， 所以题图所示几何体的体积为，故B错； 对于C，由B选项可知面，由对称性可知三点共线， 所以面，而面， 所以面面，故C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系： 其中轴平行，因为， 所以， 设平面的法向量为，所以， 不妨取，解得，所以取， 又， 而，所以直线与平面不平行，故D错. 故选：AC. 11．BC 【分析】由题意设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，得，再表示出，则可表示出，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零， 设直线为，， 由，得， 因为， 所以， 所以， 所以， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，所以A错误， 对于B，因为线段的中点为，，则 到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为， 所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C正确， 对于D，因为 ，所以D错误， 故选：BC 12． 【分析】根据题意，设向量，由向量共线以及数量积的结果列出方程，即可得到的坐标，从而得到结果. 【详解】设向量，由可得， 又，则， 解得，，则， 所以. 故答案为： 13．2 【分析】如图，由题可得，即可得答案. 【详解】因椭圆方程为，则. 因，则. 又由椭圆定义，可得， 则 . 故答案为：2    14． 540 100 【分析】（1）首先将6位同学分成三组，分三类计算不同的情况，然后进行全排列.（2）去掉甲同学还有4位同学和乙同学共5位同学.根据乙不去涟水战役烈士纪念馆，可以按照去涟水战役烈士纪念馆的人数分为三类讨论，然后相加可得答案. 【详解】（1）6位同学分为3组可以分三类. 第一类：1人，1人，4人分组，有种； 第二类：1人，2人，3人分组，有种； 第三类：2人，2人，2人分组，有种. 根据分类加法计数原理，共种. 再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种. 根据分步乘法计数原理，共种. （2）由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆. 按照去涟水战役烈士纪念馆的人数可以分为3类. 第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种. 第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第二类共种. 第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种. 根据分类加法计数原理，共种. 故答案为：540；100. 【点睛】解决分组分配问题的策略： （1）对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑.在每一类的计数中，又要考虑是分步乘法计数还是分类加法计数，是排列问题还是组合问题. （2）对于整体均分，分组后一定要除以（n为均分的组数），避免重复计数. （3）对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）利用条件概率求解； （3）利用全概率求解. 【详解】（1）设事件“取出饺子是肉馅”，， （2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”， 事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”， （3）设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”. 设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”， 16．(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用向量法求异面直线所成的角的余弦值； （2）代入向量法求线面角的正弦值； （3）假设存在点，分别求平面和平面的法向量，利用法向量表示二面角的余弦值. 【详解】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直， 且平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系 则 ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为; （2）平面BCD的法向量， 所以， 则与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在，设， 设平面CDP的法向量， ，取，则，， 则， 所以或 则点P存在 所以或. 17．（1）（2）减区间为增区间为 【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 【详解】（1）依题意可得： 又函数在处的切线为， 解得： （2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx， 当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减； 当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， ∴的单调减区间为的单调增区间为. 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题． 18．(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，由求解. （2）构造函数，利用导数求出函数最小值，结合（1）的信息推理即得. （3）求出函数，利用函数零点的意义分离参数，转化为求直线与函数图象有两个交点的的范围. 【详解】（1）函数的定义域为，设曲线的公共点， 求导得，依题意，， 即，由，得，， 所以点的横坐标为. （2）由（1）知，设，， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上递减，在上递增， 因此， 即当时，，所以. （3）依题意，，定义域为， 由，得，令， 由函数在定义域内有两个不同的零点，得直线与函数的图象有两个交点， 而，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，而，且当时，恒有， 则当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个不同零点， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义解题，关键是设出切点坐标，再求导建立关系求解. 19．(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，再分，，，四种情况讨论即可得出答案； （2）函数存在单调递减区间，则在上有解，构造函数，再根据的符号分类讨论即可得解； （3）求导，由有两个极值点，得是的两个根，利用韦达定理求出，化简得，则要证，即证，即证，即证，即证，令，构造函数，利用导数求出函数的最值即可得证. 【详解】（1），定义域为， 当时，， 当时，，当时， 在上单调递增，上单调递减； 当时，， 若，即时，，所以在上单调递增； 若，即时， 令，得， 当或时，， 当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， 当时，时，，当时，， ∴在上单调递增，上单调递减， 综上所述，当时，在上递增，上递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上递增， 在上递减； 当时，在上递增，上递减； （2）， ∵函数存在单调递减区间，∴在上有解， ∵，设，则， 当时，显然在上有解； 当时，，， 由韦达定理知，， 所以必有一个正根，满足条件， 当时，有，解得， 综上，实数的取值范围为； （3）由题意可知，， ∵有两个极值点， ∴是的两个根，则， ∴ ， ∴要证，即证， 即证，即证，即证， 令，则证明， 令，则， ∴在上单调递增， 则，即， 所以原不等式成立. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立 高二数学试卷 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$