精品解析：青海省大通县第二中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试卷

大通县第二中学2024~2025学年第二学期第一次教学质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章6.1~6.2. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 6 B. 24 C. 360 D. 720 【答案】A 【解析】 【分析】由排列数公式计算可得答案. 【详解】. 故选：A. 2. 已知函数，则（ ） A. 2 B. -2 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则可得，即可根据导数的定义求解. 【详解】由题意知，所以，所以. 故选:B. 3. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A. 108种 B. 90种 C. 72种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种； 第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案， 综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案. 故选：A 4. 函数的极大值为（ ） A B. 0 C. e D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令，，可求得极大值. 【详解】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值． 故选：D. 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求，利用导数的几何意义可求的值. 【详解】由题意得，函数的定义域为，且， ∴， ∵曲线在点处的切线与直线垂直， ∴，即，故. 故选：D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是奇函数判断A，根据特殊值判断D，根据函数单调性判断B，C. 【详解】为奇函数，排除选项A； 排除选项D； 当时，必有0，所以排除选项B，C正确 故选：C. 7. 已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为(　　) A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】A 【解析】 【详解】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21C31A33=36， 但集合B、C中有相同元素1， 由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36-3=33个， 故选A． 8. 已知则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，通过换元法、赋值法比较的大小关系; 构造函数,利用导数判断函数的单调性，通过换元法、赋值法比较的大小关系. 【详解】构造函数，，则，当时，， 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减， 故，故，当且仅当时取等号．由于，则， 则，则，则，当且仅当时取等号． 当时，，所以，所以． 构造函数，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，所以，当且仅当时取等号， 故，当且仅当时取等号． 当时，，则，所以． 综上得：． 故选：A． 【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就成了函数的形式，如在本题中，化为，中都有，即比较函数与大小即可得到的大小关系，进一步变形为比较与大小关系，从而构造函数并利用函数的单调性比较大小即可. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD. 【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻， 则先让，，自由排列，再让A，去插空即可， 则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误； A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻， 则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可， 则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误. 故选：AC 10. 已知，则的值可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 【答案】BC 【解析】 【分析】根据组合数的性质可化简进而由组合数的公式得，由组合数性质即可求解. 【详解】由于 所以，得或7． 故选：BC． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在极小值 B. C. 当时， D. 若函数有且仅有两个零点，则且 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，再利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可判断A；根据函数的单调性即可判断B；根据指数函数的性质即可判断CD. 【详解】， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 故函数在处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A正确； 当时，函数单调递增，且，所以，B错误： 当时，，易知C正确； 由得，若函数有两个零点，只需且，D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 【答案】12 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）． 故答案为：12. 13. 已知函数，，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可. 【详解】因为，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 14. 若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数的单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果. 【详解】因为，所以， 即，令，所以， 又，所以在上单调递增，所以， 即，令，所以， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增， 在上单调递减，所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知有9本不同的书． （1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ （2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 【答案】（1）280 （2）1260 【解析】 【分析】（1）根据平均分堆即可由排列组合求解， （2）根据不平均分堆即可由排列组合求解. 【小问1详解】 6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为； 【小问2详解】 从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为． 16. 已知函数在处取得极值7. （1）求的单调区间； （2）求在上的最值. 【答案】（1）的单调增区间是，，单调减区间是； （2），. 【解析】 【分析】（1）由极值和极值点可得解出系数可得函数解析式，利用导数求单调区间； （2）利用函数单调性求区间上的最值. 【小问1详解】 ， 因为函数在处取得极值7，所以 解得 所以，， 令，解得或，令，解得， 所以的单调增区间是，，单调减区间是； 【小问2详解】 由（1）得，单调递增，，单调递减，，单调递增， ，， ，， 所以，. 17. 为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛． （1）高二年级一共有多少不同分组方案？ （2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】（1）120种； （2）36种. 【解析】 【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算. （2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【小问1详解】 两组都是3女2男的情况有（种）： 一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种）， 所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案. 小问2详解】 视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种， 再排余下两个及丙，有种，而丁和戊的排列有种， 所以不同排列方式的种数是. 18. 已知函数的两个极值点之差的绝对值为. （1）求的值； （2）若过原点的直线与曲线在不同于原点的点处相切，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求，设的两根分别为，，由韦达定理可得：，，由题意知，进而可得的值；再检验所求的的值是否符合题意即可； （2）设，则，由列关于的方程，即可求得的值，进而可得的值，即可得点的坐标. 【详解】由可得： 设的两根分别为，， 则，， 由题意可知：，即， 所以解得：， 当时，， 由可得或， 由可得， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以为极大值点，为极小值点，满足两个极值点之差的绝对值为，符合题意， 所以. （2）由（1）知，， 设，则， 由题意可得：， 即，整理可得： ， 解得：或， 因为即为坐标原点，不符合题意，所以， 则， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，求极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）极小值为1，无极大值. （2） （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即可. （3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得. 【小问1详解】 当时，，定义域为，则， 当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为恒成立，得，，令，，求导的， 当,,当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则，所以的取值范围. 【小问3详解】 证明：由（2）知，时，即， 于是， ，， ， 因此 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通县第二中学2024~2025学年第二学期第一次教学质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章6.1~6.2. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 6 B. 24 C. 360 D. 720 2 已知函数，则（ ） A. 2 B. -2 C. -4 D. 4 3. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A. 108种 B. 90种 C. 72种 D. 36种 4. 函数的极大值为（ ） A. B. 0 C. e D. 1 5. 已知曲线在点处切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为(　　) A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 8. 已知则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 10. 已知，则的值可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在极小值 B. C. 当时， D 若函数有且仅有两个零点，则且 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 13. 已知函数，，则的最小值为________________. 14. 若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知有9本不同的书． （1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ （2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 16. 已知函数在处取得极值7. （1）求的单调区间； （2）求在上最值. 17. 为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛． （1）高二年级一共有多少不同的分组方案？ （2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 18. 已知函数的两个极值点之差的绝对值为. （1）求的值； （2）若过原点的直线与曲线在不同于原点的点处相切，求点的坐标. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $