内蒙古自治区包头市2025-2026学年第二学期高一年级期末教学质量监测数学试卷

试卷类型：A 绝密★启用前 2025一2026学年度第二学期高一年级期末教学质量监测试卷 数学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上。将条形码粘贴在规定区城。 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知复数：满足：=子（其中i为虚数单位），则1z= A.2 B.2 c.5 D.10 2.已知向量a=(4,2),=(x,1),且a∥6，则a·6= A.12 B.10 C.8 D.4 3.某枚从500名同学中用随机数法抽取30人参加一项调查.将这500名同学编号为001， 002,…500,假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 348442175572175455608331 0474476721763350 25839212 067663016378591695556719 A.331 B.047 C.455 D.447 4.已知a,B是两个不重合的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题中错误的是 A.若m∥n,nca,则m∥a B.若m∥a,m∥B,a∩B=n,则m∥n C.若ma,m⊥B,则a∥B D.若a⊥B,m⊥a,n⊥B,则m⊥n 数学试卷 第1页（共4页） 5.甲，乙两人每次射击命中目标的概率分别为与子，且每次射击命中与否互不形响，两人约 定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击：若没有命中，则继续射击，若约定 甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为 4 8.21 c号 D号 6已知co3(a-B)=,co3ac098=气，则co9(2a+28)1 A号 23 B.一25 c 7.如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基 点C与D,并测得∠BDC=120°，∠BCD=15°，CD=20米，在点C处测得塔顶A的仰角为 30°，则塔高AB= A.10万米 B.10米 C.106米 D.11米 8.已知三梭锥P-ABC的顶点均在球O的球面上，且球心O在棱AB上，若球0的表面积为 16m,则三棱锥P-ABC的体积最大值为 A号 B.2 C. 3 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是 A.这14天日促销量的中位数是196 每日促销量（单位：盒） 300275---- B.这14天日促销量的众数是214 260------269 250叶/4 -514-7 200 214 155 921- C.这14天日促销量的第80百分位数是260 150 100-- 138 50 80 83 D.这14天日促销量的极差为194 。。。 01234567891011121314日期 数学试卷 第2页（共4页） 10.已知函数八x)=co(2x-开)，下列说法正确的是 A.f代x)的最小正周期是π B.(x)可由函数y=co92x向右平移T个单位（纵坐标不变）得到 C)的图象关于：=受对称 D)图象的一个对称中心是(，0) 11.如图，正方体ABCD-A,B,C,D,棱长为2，E、F、G分别为棱AD,AB,BB,的中点，P是正方 体表面上的动点，则下列说法正确的是 A.B,D1∥平面EFG B B.若P为线段B,D,上一点，则三棱锥F-EGP的体积为定值 C若AP=2,则点P的轨迹长度为π D.过E、F、G三点的平面截正方体所得截面的面积为3√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a,6的夹角为g,à=5，「61=1，则12a+61= 13.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E是AD的中点，F是A,D,的中点，则异面直线DE和 C,F所成角的正弦值为 14.如图，三个全等的三角形△ABF,△BCD,△CAE拼成一个等边三角 形ABC,且△DEF为等边三角形，若EF=2AE,则tan∠ACE的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的 正方形，E、F分别是SC、BD的中点. (1)求证：EF∥平面SAB; (2)若SAL平面ABCD,且SA=2,求点A到平面SDB的距离. 数学试卷第3页（共4页） 16.(15分)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx- 2,xER. (1)求八x)在[0，π]的单调递减区间； (2)若o)-号，ae(-景)，求i2x的值， 17.（15分)包头市举行“高一年级π节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段.为了解初 赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布 直方图. (1)求频率分布直方图中α的值，并估计高一年级 个频率组距 0.035 初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区 0.030 间的中点值代替)； a (2)按照分层抽样从[60,70)和[70,80)两组中随0.010 0.005 机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取 05060708090100成绩/分 2名，求至少有1名学生的成绩在[60,70)内的概率， 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(sinA,sinB), 元=(cosB,cosA),且m·n=sin2C. (1)求角C的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，c=√5，求a+b的取值范围； (3)设△ABC的面积为√5，AB边上的中线CD长为2，求c的长. 19.（17分)如图，在直四棱柱ABCD-AB,C,D,中，BA=BC=BB,=2,AC=CD,AC⊥BD. (1)证明：A,C⊥BD; (2)若AC=2,求二面角A,-AC-D,的平面角的余弦值； (3)求直四棱柱ABCD-A1B,C,D,体积的最大值、 数学试卷第4页（共4页） 2025-2026学年度第二学期高一年级期末教学质量监测试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C2.B3.B 4.A5.D6.D 7.A8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BC 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.万 13.26 5 14.⑤ 7 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.(13分) (I)证明：取线段SB、AB的中点分别为H、G,连接EH,HG,FG, EHIIBC,EH=-BC,FGIIAD,FG=1AD, 又底面ABCD是正方形，即BC//AD,BC=AD, S 则EH/IFC,EH=FG,即四边形EFGH为平行四边形，4分 则EF∥HG,又EF平面SMB,HGc平面SAB, H 故EF/I平面SAB, 6分 （2)解：设点A到平面SDB的距离为h, B 由'AD=Vs-ABD ……8分 得h=SAARDSA AB-AD-SA 2 2 SASBD BD-SF V2xVSB2-BF2 V2x5-3 3 即点A到平面SDB的距离为号· 2 …13分 16.(15分) 解：(1)f闭=sn2x+sinxcosx--=g2+号n2x-生 …2分 -号n2x-i0s2x=9如ax-3, …4分 由+2m≤2x-s+2km,keZ,解得亚+mSx57+km,keZ, 42 8 8 …6分 第1页（共4页） 又x印，4所以代问的单河遮减区间为要受。 …7分 a)由ro-吾，所以竖ea-草-竖，所以a7-片 9分 6 又(}，所以a(5引 ……10分 所以ow2a-7--h2pa-孕=2， 3 …12分 所以6m2a=n2a-景+争-i(a-孕os经o2a孕sn牙 d 9 …15分 17.(15分) 解：(1)由颜率分布直方图得，10×(0.005+a+0.030+0.035+0.010)=1, 解得a=0.020. …2分 由颜率分布宜方图可知初粪成绩的众敏为0+90 =85, …4分 2 估计初赛成箭的平均数为，x=55×0.05+65×02+75×0.3+85×0.35+5×0.1=77.5, 所以a=0.020,众数为85，平期成领为7.5. …了分 (2)由（1)知，成领在[60,70)，[70,80)的颜率之比为0.20.3=23， …8分 测在6070中随机指取了5子-2人记为a,, 在70,80)中随机抽取了5x号-3人，记为，d,e …10分 从5人中随机抽取2人的样本空间为： 2={fab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,c%de,共10个样本点. …12分 设卒件D=“至少有1名学生的成馈在[60,70)内”， 则D={ah,agad,ae,c,bd,be,有7个样本点， …14分 因此P(D)=0, 所以至少有1名学生的成绩在[60,70)内的率为 …15分 10 18.(17分) 解：(l)由题意-元=sim4cosB+8 inBcos4=in(A+B)=sinC, 又，a=sin2C,所以inC=sin2C, …2分 又C∈(0，)，所以C=2C或C+2C=x,所以C= 31 …4分 第2页（共4页） b c55 (2)因为C-子c=5,由正弦定理得：血An8如C 3 2 32 则a=2sinA,b=2sinB. …5分 易知8=元-A骨行4， 所以a+b=2sinA+2sim g-A-a4+5co4-26n(4+8 …8分 0<A<π 因为△ABC为锐角三角形，所以 2-A ,解得<4< 6 …9分 0 3 2 所以写4+g否，所以5<如4+引s1,则3<25m4+看)525. 63 2 所以a+b的取值范围是3,25]. …11分 (3)由题意知，S=absinC=5b=5,所以ab=4. …12分 4 因为D为AB中点，所以cD-@+丽，两边平方得：4=6+a2+2acsC), 代入并整理：a2+b2=12, …15分 由余弦定理：c2=2+b-2bcos=d2+b2-b=8,所以c=22.…17分 3 19.（17分) (1)证明：在直四棱柱ABCD-ABGD中， 因为AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA⊥BD, …1分 又因为AC⊥BD,A4∩AC=A,AC,A4c平面AAC, 所以BD⊥平面AAC, …3分 又ACC平面AAC,所以BD⊥AC. …4分 A (2)解：连接AC,BD,记AC∩BD=O,AC∩BD=Q,连接OO,OD, B 易得OO/BB,BB1⊥平面ABCD,则OO⊥平面ABCD, 又ACC平面ABCD,故OO⊥AC, …6分 又因BA=BC,AC⊥BD,所以BD是AC的中垂线，得AD=CD=AC=2, 第3页（共4页） 因DD⊥平面ABCD,易得D=CD,又因O是AC中点，所以QD⊥C,…7分 故∠QOD就是二面角4-AC-D的平面角， …8分 又因00=B8=2,则0D,= 则m0pa-品-月-29. 即二面角4-4C-D的平面角的余弦位是27 …10分 (3)解：设∠AC=B,0<日<x,因AB=AC=2, 由余弦定理，AC2=AB+BC2-24B,BCco88=4+4-2×2×2c08日=8-8coa0, S地Bc0=SAG+Saum=×2×2sn0+5（8-8c08)=2t血9-25co80+25 46ga9a6-4m0-}2a5 …14分 因0<0<元，则-<-是<2 ， 3 33 放当9-号-受即0=爱时，血(0-司引取得最大值1， 此时$边cm的最大值为S=4+2W5, 16分 故宜四棱柱4BCD-AAG2体积的最大值乙=Sh=(4+2W月x2=8+4W3.…17分 第4页（共4页）