精品解析：河南省洛阳市新安县2022-2023学年下学期九年级数学期末考试卷

2022~2023学年第二学期学科素养检测 九年级数学 友情提示： 1．本试卷共6页，三大题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题2．5分，满25分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 如图所示，该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据左视图的定义，画出左视图即可判断．熟练掌握三视图的定义，是解决问题的关键． 【详解】解：根据左视图的定义，从左边观察得到的图形，是， 故选：B． 2. 某文具超市有四种笔记本销售，它们的单价分别是2元/本、3元/本、4元/本、5元/本．某天该文具超市的笔记本销售情况如图所示，那么这天该文具超市销售的笔记本的单价的众数和平均数分别是（　　） A. 4元/本、元/本 B. 4元/本、元/本 C. 5元/本、5元/本 D. 3元/本、元/本 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，众数的含义，解题的关键是掌握加权平均数的定义．先根据加权平均数的含义列式，再计算可得平均数，再根据出现次数最多的数据是众数可得众数的答案． 【详解】解：这天该文具超市销售的笔记本的单价的平均值为 （元）． ∵4元的数量占总数的，数量最多， ∴众数是元； 故选：A． 3. 为庆祝中国共产党成立101周年，某班举行了歌咏比赛，参赛选手将随机抽取《在灿烂阳光下》《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《北京的金山上》4首歌中的一首演唱．小明和小红报名参加了比赛，则小明和小红选中不同歌曲的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由列表法求得小明和小红选中不同歌曲的概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：设《在灿烂阳光下》《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《北京的金山上》分别为， 列表得： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，小明和小红选中不同歌曲有12种情况， 小明获胜的概率； 故选：B． 4. 定义新运算：．例如：．若关于的方程没有实数根，则的值可以是（　　） A. 5 B. 6 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵该方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴k的值可以是7； 故选D． 5. 如图，点在反比例函数的图象上，，点，则的值为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，先过点C作轴，证明，结合，代入数值到，得出点的坐标为，即可作答． 【详解】解：过点C作轴，如图所示： ∵ ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 故选：C． 6. 如图，在四边形中， ．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，证明即可，设交于点，连接，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】证明：由作图可知，平分， ， ， ， ， ， 如图，设交于点，连接， 由作图可知：，平分， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 在中，， ， ． 故选：B． 7. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ） A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C. 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于 D. 当温度为时，甲、乙的溶解度相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象的意义可得答案． 【详解】解：由图象可知，A、B、C都正确， 当温度为t1时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键． 8. 已知直线与抛物线相交于两点（点在点左侧），，则的值为（　　） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先求得抛物线的对称轴为直线，设点横坐标为，由题意得，求得，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，得抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点到对称轴的距离为， 设点横坐标为， 则， ∴， 把代入得，， ∴点纵坐标为， ∴， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBiCiDiEi，则正六边形OAiBiCiDiEi（i＝4）的顶点Ci的坐标是（ ） A. （1，﹣） B. （1，） C. （1，﹣2） D. （2，1） 【答案】A 【解析】 【分析】由于正六边形旋转4次，每次转45°，所以点C与C4关于原点对称，可以直接把的C4坐标写出来． 【详解】解：∵正六边形旋转4次，即45°×4＝180°， ∴点C与C4关于原点对称， ∵C的坐标为（﹣1，）， ∴C4的坐标为（1，﹣）． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆，中心对称，解题的关键是读懂正六边形OABCDE绕点O每次顺时针旋转45°． 10. 如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，连接， 根据图2知：当点与点重合时，， 当与重合时，， ， ， 当点到达点时，， ， ． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满30分） 11. 写一个当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式__． 【答案】y＝x或y＝或y＝x2等（此题答案不唯一）． 【解析】 【分析】可根据二次函数、一次函数、反比例函数的性质作答． 【详解】解：若为一次函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k＞0，如y＝x； 若为反比例函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k＜0，如y＝； 若为二次函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴a＞0，对称轴y＝≤0，如y＝x2； ∴当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式为y＝x或y＝或y＝x2等（此题答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握函数的图象和性质是解题关键.． 12. 小松同学想要统计最受本班学生欢迎的北京冬奥会运动项目，以下是打乱的统计步骤：①整理问卷调查数据并绘制统计表；②从条形统计图中分析出最受欢迎的冬奥会项目；③制作调查问卷，对全班同学进行问卷调查；④根据统计表绘制条形统计图．正确的统计步骤顺序是_______． 【答案】③①④② 【解析】 【分析】本题考查调查与统计．熟练掌握调查统计的顺序，是解题的关键．根据统计步骤：先调查，再整理，然后制表，绘图，分析，进行排序即可． 【详解】解：根据统计步骤：先调查，再整理，然后制表，绘图，最后进行分析，可知： 正确的步骤为：③①④②； 故答案为：③①④②． 13. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】##3.5##3 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值； 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． ， 移项得， 左边提取公因式得， 两边同除以2得， ∴原式＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14. 如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中第一个不等式的解集，再根据不等式组的解集是，即可得到的取值范围．解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得： 关于的一元一次不等式组的解集是， ， 解得， 故答案为：． 15. 将一个含角的直角三角形和一个量角器按如图所示位置放置，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，，连接交于点，则图中的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，取中点，连接，，先根据等腰直角三角形的性质得到，，从而证明均在以为圆心，以为直径的圆上，利用圆周角定理求出的度数，即可利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：取中点，连接，，如图： ∵是等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， ∴均在以为圆心，以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 兔子输掉比赛后，后悔不已，决定跟乌龟再比一场．它们商定：从地跑或游到地，其中兔子从地出发翻过一座山后到达地，乌龟从地下水游到地．由于赛道不同，它们的比赛距离也不一样，最后同时到达地．请根据提供的比赛图象信息，判断下列说法中正确的是_______．（只填序号） ①兔子在上山过程中休息后，乌龟游过的路程刚好与兔子跑过的路程相同； ②乌龟在水中游动的速度是； ③兔子下山的速度比上山休息后的速度快； ④这场比赛，如果兔子在上山过程中少休息一会儿，它就能赢． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力．观察图象，横坐标是比赛用时，纵坐标是路程分钟内，乌龟一直匀速运动，24分钟共行进的路程为，分钟，兔子一直匀速运动，第分钟内路程不变，说明兔子在休息，分内，兔子匀速上山，第18分后开始下山，分钟内匀速运动，第24分到达终点，兔子的总路程为．要能根据函数图象的性质对图象上的数据分析得出有用信息将问题解决． 【详解】解：兔子在上山过程中休息6分钟后，乌龟游过的路程是，兔子跑过的路程是．故①正确； 乌龟在水中游动的速度（千米分）（千米时），故②正确； 兔子下山的速度（千米分）（千米时）， 上山休息后的速度（千米分）（千米时）， （千米时）， 兔子下山的速度比上山休息后的速度快50千米时．故③错误； 这场比赛，只要兔子在上山过程中少休息一会儿，则它到达终点的时间就小于分钟，兔子用的时间就比乌龟少了，它就能赢．故④正确． 故答案为：①②④． 17. 如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________． 【答案】##2.4 【解析】 【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线， ∵, ∴, ∴， ∴， ∴， ∴则PQ的最小值为， 故答案为：． 【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题． 18. 如图，将沿方向平移得到为的中点，连接．以点为圆心，长为半径画，分别交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，由平移的性质得到，，，解直角三角形求出，易证四边形为平行四边形．是等边三角形，四边形是矩形，由勾股定理求出，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵沿方向平移得到，，， ∴，，， ， ∴四边形为平行四边形． ∵，，， ∴是等边三角形，四边形是矩形， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，不规则图形的面积，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键． 19. 如图，大正方形中，，小正方形中，，在小正方形绕点旋转的过程中，当时，线段的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，通过证△AFC∽△AEB，利用对应边成比例和勾股定理即可算出BE的长． 【详解】解：①当旋转到如下图所示时，连接AF、AC，AC交EF于点M， 由正方形和正方形可知， ，，∠BAC=∠EAF=45°， 即， ∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°，∠EAF=∠CAF+∠EAC=45°， ∴∠BAE=∠CAF， ∴△AFC∽△AEB， ∴， 若，则C、F、G三点共线， ∵正方形和正方形，，， ∴，， 在直角三角形ACG中，， ∴， 将代入，得； ②当旋转到如下图所示时， 若，则C、F、G三点共线， 由①可知，，∠BAC=∠EAF=45°， ∴∠EAB=∠FAC=45°， ∴△AFC∽△AEB， ∴， 在直角三角形ACG中，， ， 将代入，得． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形，勾股定理，正方形的性质，正确找出相似三角形是解题的关键． 20. 如图，在边长为4的正方形中，点为边上一个动点（不与点重合），连接，点关于的对称点为，连接，，作直线．当直线经过正方形边的中点时，线段的长为_______． 【答案】2或 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，分情况分析求解是解题关键． 根据题意分两种情况分析：当直线经过边的中点Q时，当直线经过边的中点Q时，分别利用全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：分两种情况分析： 当直线经过边的中点Q时，延长交于点M，如图所示： ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 当直线经过边的中点Q时，延长交于点M，如图所示： 同理得：， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 综上可得：线段的长为2或， 故答案为：2或． 三、解答题（共5个小题，满45分） 21. 如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．的垂直平分线交反比例函数图象于点． （1）在图中用直尺和圆规作出点．（保留作图痕迹，不写画法） （2）连接．若． ①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式． ②连接，当时，求的长． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求． （2）①；② 【解析】 【分析】对于（1），分别以点A，B为圆心，以大于为半径画弧，交于两点，过两点作直线，交反比例函数于一点，即为所求作； 对于（2）①，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理求出，可知，根据矩形的性质求出点，进而得出答案； ②先求出，进而表示出点，点，可得关于a的方程，求出解，可得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，设线段的垂直平分线交于点． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵点的坐标为， ∴． 如图，过点作轴，于点，连接．则四边形是矩形． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ②∵， ∴． 设点，则点． ∵点在的图象上， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，求反比例函数关系式，矩形的性质，勾股定理等，理解反比例函数图像上的点即满足反比例函数关系式是解题的关键． 22. 给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索： （1）图象初探 ①列表如下 1 2 3 4 3 请直接写出m，n的值； ②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． 图① （2）性质再探 请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________； （3）学以致用 某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米． 设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：． 根据以上信息，请回答以下问题： ①水池总造价的最低费用为________千元； ②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ 【答案】（1）①，；②见解析 （2）1，3 （3）①5；② 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，数形结合是解此题的关键． （1）①把和分别代入解析式即可得出结论； ②把表格中，的对应值在平面直角坐标系中描出来，再用光滑的曲线连接起来； （2）根据图形得出结论； （3）①根据（2）可得结论； ②令，解不等式即可． 【小问1详解】 ①， 当时，， 当时，， ，； ②如图： 【小问2详解】 由图象可得：当时，的最小值为3， 故答案为：1，3； 【小问3详解】 ①由（2）可知，当时，的最小值为5， 水池总造价的最低费用为5千元， 故答案为：5； ②由题意， ， ， 解得：． 23. 下面是小明的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期五 只用无刻度的直尺也能作出已知角的余角 问题一：今天，在数学课上，老师提出了一个问题：如果要在如图1所示的中作的余角，然而手头只有一把无刻度的直尺，该怎么办呢？ 解法：如图2，过点作的直径，连接，则即为所求． 问题二：小明在老师提出的问题的基础上进一步思考，如果以点为顶点作的余角，该如何完成呢？ 问题三、如图3，在图2的基础上，设与交于点，连接．若，，求线段的长． 任务一：问题一的解法的依据是 ． 任务二：请在图1中完成问题二，并说明理由． 任务三：请直接写出问题三中线段的长． 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角；任务二：见解析；任务三： 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理的推论等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 任务一：由是的直径得，根据是直径所对的圆周角是直角； 任务二：作直径，连接，作射线，可推出，，从而是的余角； 任务三：连接，作于，可推出，从而，可设，，列方程即可求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：任务一：是的直径， （直径所对的圆周角是直角）， ， 是的余角， 故答案为：直径所对的圆周角是直角； 任务二：如图，作直径，连接，作射线，则是的余角， 理由如下： 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的余角； 任务三：如图3，连接，作于， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，， 在中，， ， 由得， ， ， ， ， ． 24. 已知抛物线：（）经过点． （1）求抛物的函数表达式． （2）将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值． （3）把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求解． （2）根据平移的性质即可求解． （3）根据平移的性质对称轴为直线，，开口向上，进而得到点P在点Q的左侧，分两种情况讨论：①当P，Q同在对称轴左侧时，②当P，Q在对称轴异侧时，③当P，Q同在对称轴右侧时即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式：． 【小问2详解】 ∵将抛物线向上平移m个单位得到抛物线， ∴抛物线的函数表达式：． ∴顶点， ∴它关于O的对称点为， 将代入抛物线得：， ∴． 【小问3详解】 把向右平移n个单位，得 ：，对称轴为直线，，开口向上， ∵点，， 由得：， ∴点P在点Q的左侧， ①当P，Q同在对称轴左侧时， ，即， ∵，∴， ②当P，Q在对称轴异侧时， ∵， ∴， 解得：， ③当P，Q同在对称轴右侧时，都有（舍去）， 综上所述：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换，熟练掌握待定系数法及平移的性质结，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键． 25. 综合与实践 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题： （1）图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）图③中，AB=2，BC=3，则 ； （3）当AB=m , BC=n时． ． （4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ． 【答案】（1） 解：，证明： ∵AB=BC，四边形ABCD为矩形， ∴四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC=∠CBE=90°， ∵E、F为BC，AB中点， ∴BE=BF， ∴△ABF≌△CBE， ∴AF=CE， ∵H为DF中点，G为AD中点， ∴GH=， ∴． （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先证明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可； （2）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可； （3）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，用含m、n的代数式表达出AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可； （4）过M作MH⊥AB于H，根据折叠性质得∠C=∠MPN，根据角平分线证明出∠C=∠PMH，设CM=PM=x，HM=y，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用△AHM∽△ABC，得到，代入解方程即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， 连接AF，如图所示， 由题意知，BF==1，BE==， ∴， 由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°， ∴△ABF∽△CBE， ∴AF：CE=2:3， ∵G为AD中点，H为DF中点， ∴GH=， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：， 连接AF，如图所示， 由题意知，BF==，BE==， ∴， 由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°， ∴△ABF∽△CBE， ∴AF：CE=m：n， ∵G为AD中点，H为DF中点， ∴GH=， ∴． 故答案为：． 【小问4详解】 解：过M作MH⊥AB于H，如图所示， 由折叠知，CM=PM，∠C=∠MPN， ∵PM平分∠APN， ∴∠APM=∠MPN， ∴∠C=∠APM， ∵AB=2，BC=3， ∴AC=， 设CM=PM=x，HM=y， 由知，， 即，， ∵HM∥BC， ∴△AHM∽△ABC， ∴， 即，， ∴， 解得：x=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022~2023学年第二学期学科素养检测 九年级数学 友情提示： 1．本试卷共6页，三大题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题2．5分，满25分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 如图所示，该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 某文具超市有四种笔记本销售，它们的单价分别是2元/本、3元/本、4元/本、5元/本．某天该文具超市的笔记本销售情况如图所示，那么这天该文具超市销售的笔记本的单价的众数和平均数分别是（　　） A. 4元/本、元/本 B. 4元/本、元/本 C. 5元/本、5元/本 D. 3元/本、元/本 3. 为庆祝中国共产党成立101周年，某班举行了歌咏比赛，参赛选手将随机抽取《在灿烂阳光下》《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《北京的金山上》4首歌中的一首演唱．小明和小红报名参加了比赛，则小明和小红选中不同歌曲的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 定义新运算：．例如：．若关于的方程没有实数根，则的值可以是（　　） A. 5 B. 6 C. D. 7 5. 如图，点在反比例函数的图象上，，点，则的值为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 6. 如图，在四边形中， ．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 6 7. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ） A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C. 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于 D. 当温度为时，甲、乙的溶解度相等 8. 已知直线与抛物线相交于两点（点在点左侧），，则的值为（　　） A. B. C. 4 D. 6 9. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBiCiDiEi，则正六边形OAiBiCiDiEi（i＝4）的顶点Ci的坐标是（ ） A. （1，﹣） B. （1，） C. （1，﹣2） D. （2，1） 10. 如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4.4 二、填空题（每小题3分，满30分） 11. 写一个当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式__． 12. 小松同学想要统计最受本班学生欢迎的北京冬奥会运动项目，以下是打乱的统计步骤：①整理问卷调查数据并绘制统计表；②从条形统计图中分析出最受欢迎的冬奥会项目；③制作调查问卷，对全班同学进行问卷调查；④根据统计表绘制条形统计图．正确的统计步骤顺序是_______． 13. 已知，则代数式的值为_________． 14. 如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是_______． 15. 将一个含角的直角三角形和一个量角器按如图所示位置放置，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，，连接交于点，则图中的度数是_______． 16. 兔子输掉比赛后，后悔不已，决定跟乌龟再比一场．它们商定：从地跑或游到地，其中兔子从地出发翻过一座山后到达地，乌龟从地下水游到地．由于赛道不同，它们的比赛距离也不一样，最后同时到达地．请根据提供的比赛图象信息，判断下列说法中正确的是_______．（只填序号） ①兔子在上山过程中休息后，乌龟游过的路程刚好与兔子跑过的路程相同； ②乌龟在水中游动的速度是； ③兔子下山的速度比上山休息后的速度快； ④这场比赛，如果兔子在上山过程中少休息一会儿，它就能赢． 17. 如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________． 18. 如图，将沿方向平移得到为的中点，连接．以点为圆心，长为半径画，分别交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为_______． 19. 如图，大正方形中，，小正方形中，，在小正方形绕点旋转的过程中，当时，线段的长为________． 20. 如图，在边长为4的正方形中，点为边上一个动点（不与点重合），连接，点关于的对称点为，连接，，作直线．当直线经过正方形边的中点时，线段的长为_______． 三、解答题（共5个小题，满45分） 21. 如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．的垂直平分线交反比例函数图象于点． （1）在图中用直尺和圆规作出点．（保留作图痕迹，不写画法） （2）连接．若． ①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式． ②连接，当时，求的长． 22. 给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索： （1）图象初探 ①列表如下 1 2 3 4 3 请直接写出m，n的值； ②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． 图① （2）性质再探 请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________； （3）学以致用 某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米． 设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：． 根据以上信息，请回答以下问题： ①水池总造价的最低费用为________千元； ②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ 23. 下面是小明的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期五 只用无刻度的直尺也能作出已知角的余角 问题一：今天，在数学课上，老师提出了一个问题：如果要在如图1所示的中作的余角，然而手头只有一把无刻度的直尺，该怎么办呢？ 解法：如图2，过点作的直径，连接，则即为所求． 问题二：小明在老师提出的问题的基础上进一步思考，如果以点为顶点作的余角，该如何完成呢？ 问题三、如图3，在图2的基础上，设与交于点，连接．若，，求线段的长． 任务一：问题一的解法的依据是 ． 任务二：请在图1中完成问题二，并说明理由． 任务三：请直接写出问题三中线段的长． 24. 已知抛物线：（）经过点． （1）求抛物的函数表达式． （2）将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值． （3）把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围． 25. 综合与实践 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题： （1）图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）图③中，AB=2，BC=3，则 ； （3）当AB=m , BC=n时． ． （4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $